14 De duobus viatoribus³⁸, quorum unus imitatur³⁹ alterum per ascensionem numerorum per ordinem

Ostensis quidem regulis de collectionibus numerorum, nunc vero que ad eas pertinent ostendantur, videlicet ut cum dictum fuerit: sunt duo homines qui longum iter agere proposuerunt , quorum unus ibat cotidie miliaria⁴⁰ 20, alter vero in primo die⁴¹ miliarium 1, in secundo 2, in tertio 3, et sic semper unum miliarium cotidie⁴² addendo iter suum perficere conabatur. Queritur in quot diebus alter alterum consequetur. 15 Quod sic inveniendum est, videlicet ut duplicentur 20; erunt 40, de quibus extrahas 1: remanent 39, et in tot diebus eum consecutus est. Quia ipse qui cotidie ibat miliaria 20 perrexit in illis 39 diebus 20 vices 39 miliaria, que fuerunt in summa 780. Alter vero in eisdem 39 diebus perrexit tot miliaria, quot sunt in summa numerorum qui sunt ab uno usque in 39, que summa reperitur similiter ex multiplicatione de 20 in 39.

16 Aliter de duobus viatoribus, quorum unus sequitur alterum per impares numeros ascendendo

Item si propositum fuerit quod unus iret cotidie miliaria 21, alter vero iret per impares numeros

dies 21

⁴³ ordinate, ab uno videlicet incipiendo, donec eum esset consecutus. Eritque manifestum quod in diebus 21 eum consequetur. Quia si numeri 21 impares per ordinem accipiantur, erit collectio eorum ab uno usque in 41. Unde collectio imparium numerorum qui sunt⁴⁴ ab uno usque in 41 ascendit in multiplicatione de 21 in se ipsa⁴⁵.

17 De duobus⁴⁶ viatoribus, quorum alter alterum per pares numeros imitatur

Verum si proponatur quod unus cotidie iret miliaria 30, alter vero per pares numeros augendo iter

dies 29

⁴⁷ suum faceret donec eum esset consecutus, sic faciendum est. Tolle 1 de 30; remanent 29, et in tot diebus eum consecutus est. Ideo quia 29 pares numeri a binario usque in 58 ascendunt, et quia collectionis summa⁴⁸ parium numerorum usque in 58 exit⁴⁹ ex multiplicatione de 29 in 30, ipsum esse⁵⁰ consecutum non dubitatur⁵¹.

18 Aliter cum unus imitatur alterum per ternarii ascensionem vel alicuius alii⁵² numeri

Verum si propositum fuerit quod unus eat cotidie miliaria quotlibet, que dividi possint integraliter per ascensionem cotidianam miliariorum alterius, qui eat per ascensionem numerorum qui ascendunt per ternarium, vel quaternarium, vel quinarium, seu per ascensionem alicuius alterius numeri donec eum consequatur, sic est faciendum. 19 Numerum miliariorum que primus cotidie vadit per ascensionem alterius divide, et quod inde exierit duplica et de duplicata

dies 39

⁵³ summa 1 abice: residuum erit quantitas dierum in quibus eum consecutus erit. Verbi gratia: ponatur⁵⁴ quod unus eat cotidie miliaria 60, alter vero vadat ascendendo per ternarium, hoc *:estG:om. in primo 3, in secundo 6, in tertio 9, et deinceps. 20 Divide 60 per 3; exibunt 20, que duplica; erunt⁵⁵ 40 de quibus abice unum: remanent 39, et in tot diebus eum consecutus erit⁵⁶, ideo quia 39 numeri qui ascendunt per ternarium veniunt usque in triplum de 39, hoc est in 117. Collectio enim numerorum qui ascendunt per ternarium a 3 usque in 117 ascendit in multiplicatione de 39 in 60, ut per primam regulam invenitur, et ipse qui cotidie ibat miliaria 60 perrexit similiter in illis 39 diebus per 39 vices miliaria 60.

21 De eodem per quinarii⁵⁷ ascensionem

Item si per ascensionem quinarii alter alterum imitaretur, quinta de 60 duplicata⁵⁸ et

dies 23

⁵⁹ uno inde⁶⁰ dempto, 23 pro numero dierum iunctionis ipsorum reperies. Et sic⁶¹ potes⁶² facere per quamlibet numerorum aliorum ascensionem.

22 Aliter cum numerus miliariorum⁶³ illius qui cotidie vadit equaliter per ascensionem alterius integraliter non⁶⁴ dividatur

Nam si numerus ipsius qui semper equaliter vadit minime per ascensionem alterius integraliter dividi possit, aliter quam predictum sit erit faciendum. Videlicet ut si proponatur⁶⁵ quod ipse qui equaliter vadit eat cotidie miliaria 10, alter vero per ascensionem ternarii ipsum imitetur, accipies⁶⁶ tertiam⁶⁷ de 10, que est \({1 \over 3}\) 3, et duplica ea; erunt \({2 \over 3}\) 6, de quibus abice 1; remanent \({2 \over 3}\) 5, de quibus etiam abice fractiones, scilicet \({2 \over 3}\): remanent 5, et in tot diebus eum fere⁶⁸ consecutus est.

23 Sed ut veritatem coniunctionis eorum addiscas, vide quot ipse qui equaliter vadit in diebus⁶⁹ 5 vadat⁷⁰. Vadit enim miliaria 50. Alter vero vadit in ipsis diebus 5 quantitatem ascensionis numerorum qui sunt a 3 usque in 15, videlicet per ternarium ascendendo, unde habetur in ipsa ascensione numerus 45, a quo usque in 50 desunt 5, que serva. 24 Et quia manifestum est in ipsis 5 diebus eum consecutum non esse, de itinere sexti⁷¹ diei erit sumendum. In quo sexto die

dies \({5 \over 8}\) 5

⁷² ipse qui ascendit per ternarium vadit miliaria 18, alter vero miliaria 10 quia equaliter ire consueverat; a quibus 10 usque in 18 desunt 8, in quibus divide 5 servata; exibunt \({5 \over 8}\), quas iunge cum diebus 5 superius inventis: erunt \({5 \over 8}\) 5, et in tot diebus eum consecutus est.

25 Aliter: summam miliariorum ipsius qui vadit ascendendo per ternarium in diebus 5 predictis, scilicet 45, divide per 8 modo inventa: exibunt similiter \({5 \over 8}\) 5, ut prediximus; et sic de omnibus similibus facere potes.