166 De numero cui superadditur \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) et 12, et a quo extrahitur \({1 \over 6}\) \({2 \over 5}\) et 12, et nil remanet

Est numerus, super quem si addideris \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) et 12 et de collecta quantitate abstuleris \({1 \over 6}\) \({2 \over 5}\) et 12, nichil remanebit. Queritur quis⁴²⁰ sit numerus ille.

Primum⁴²¹ querendum est quis⁴²² sit numerus de quo si extraxeris \({1 \over 6}\) \({2 \over 5}\) et 12 nichil remaneat. Pro quo pone 30, de quibus extrahe \({1 \over 6}\) \({2 \over 5}\), scilicet 17, remanent 13. 167 Que cum velint esse 12, multiplica 12 per 30; erunt 360, que divide per 13; exibunt \({9 \over 13}\) 27, pro quibus iterum dices: est numerus, super quem si addideris \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) et 12, facient \({9 \over 13}\) 27. Quare extrahe 12 de \({9 \over 13}\) 27: remanebunt \({9 \over 13}\) 15. Deinde pone ut ipse numerus sit 12, super quem adde \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) ipsius; erunt 19, que cum vellent esse \({9 \over 13}\) 15, multiplicabis itaque 12 per \({9 \over 13}\) 15 et divides per 19: exibunt \({4~~17 \over 13~~19}\) 9, et tot erit numerus ille.

168 Verbi gratia: accipe \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) de \({4~~17 \over 13~~19}\) 9⁴²³, quas⁴²⁴ sic accipere eas⁴²⁵ demonstramus,

Numerus \({4~~17 \over 13~~19}\) 9

⁴²⁶ videlicet ut multiplices 9 per 19 et adde 17, que per 13 et adde 4: erunt 2448, super que adde \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) ipsorum⁴²⁷, que sunt 1428: erunt 3876, que divide per \({\phantom{1}1~~\phantom{1}0 \over 19~~13}\). Et ideo prius⁴²⁸ per 19 quam per 13, quia 3876 integraliter dividantur per 19: exibunt \({9 \over 13}\) 15, super que adde 12; erunt \({9 \over 13}\) 27, de quibus extrahe \({1 \over 6}\) \({2 \over 5}\), que sunt \({9 \over 13}\) 15: remanent 12, que cum⁴²⁹ abieceris nichil remanebit, ut prepositum est⁴³⁰.

169 De numero cui superadditur \({1 \over 9}\) \({3 \over 7}\) et 60

Item est numerus, super quem si addideris \({1 \over 9}\) \({3 \over 7}\) et denarios 60, et de collecta summa

Numerus \({17~~\phantom{1}8 \over 41~~97}\) 75

⁴³¹ extraxeris \({1 \over 8}\) \({1 \over 5}\) \({1 \over 3}\) et denarios 60, nichil remanebit.

Invenies numerum de quo extracta \({1 \over 8}\) \({1 \over 5}\) \({1 \over 3}\) remaneant 60. Erit numerus ille \({25 \over 41}\) 175, de quibus extrahe 60: remanent \({25 \over 41}\) 115. Pro quibus inveniendus est numerus super quem si addatur \({1 \over 9}\) \({3 \over 7}\) faciant \({25 \over 41}\) 115, quem sic invenies. 170 Pone igitur ut ipse sit 63, de quibus accipe \({3 \over 7}\), que sunt 27, et \({1 \over 9}\), que est 7; erunt 34, que adde cum 63: erunt 97, que vellent esse \({25 \over 41}\) 115. Unde multiplicanda sunt 63 per \({25 \over 41}\) 115, et dividenda per 97: exibunt \({17~~\phantom{1}8 \over 41~~97}\) 75 pro quesiti numeri quantitate.

171 Item alia consimilis

Item est numerus, super quem si addideris \({4 \over 9}\) \({3 \over 7}\) \({2 \over 5}\) ipsius numeri, et insuper alios duos numeros equales quoscumque volueris et \({1 \over 5}\) \({1 \over 3}\) unius ipsorum numerorum, et de collecta quantitate extraxeris \({3 \over 11}\) \({2 \over 9}\) \({2 \over 7}\) et tres numeros tales, quales fuerint ipsi duo quos primum iunxeris, et \({1 \over 9}\) \({1 \over 5}\) unius ipsorum numerorum, nichil remabebit.

172 Primum quidem inveniendi sunt qui sunt numeri illi qui debent addi in principio et extrahi in fine, quos sic invenies: videbis quis sit numerus in quo reperiantur \({1 \over 5}\) \({1 \over 3}\) et \({1 \over 9}\) \({1 \over 5}\); qui numerus est 45, et tot pone pro numero illo. Et quia proponitur in fine⁴³² quod extractis tribus numeris illis et \({1 \over 9}\) \({1 \over 5}\) unius illorum, multiplicabis 45 per 3: erunt 135, super que adde \({1 \over 9}\) \({1 \over 5}\) de 45, scilicet 14: erunt 149. 173 Deinde invenias per

Numerus \({3~~4~~\phantom{1}2~~127 \over 4~~8~~19~~179}\) 248

⁴³³ regulam secunde⁴³⁴ arboris quis sit numerus de quo extractis \({3 \over 11}\) \({2 \over 9}\) \({2 \over 7}\) remanent 149; que si secundum considerationem ipsius arboris regule invenire sciveris, ipsum esse \({1~~\phantom{1}6 \over 8~~19}\) 679 invenies. De quibus extrahe duplum de 45, et insuper \({1 \over 5}\) \({1 \over 3}\) de 45, hoc est 114; remanebunt \({1~~\phantom{1}6 \over 8~~19}\) 565, pro quibus vide per regulam tertie arboris qualis est numerus super quem si addideris \({4 \over 9}\) \({3 \over 7}\) \({2 \over 5}\) fiant⁴³⁵ \({1~~\phantom{1}6 \over 8~~19}\) 565⁴³⁶; eritque⁴³⁷ numerus ille \({3~~4~~\phantom{1}2~~127 \over 4~~8~~19~~179}\)⁴³⁸ 248, et sic omnes regulas huiusmodi operaberis.