261 Questio consimilis inter tres homines

Item tres homines habent denarios, quorum unus dixit ceteris duobus: si daretis mihi 7 vestrorum⁵⁵² denariorum haberem quinquies tantum quam vos. Secundus dixit ceteris: si daretis mihi 9 vestrorum denariorum⁵⁵³, haberem sexies⁵⁵⁴ tantum quam vos. Tertius petit denarios 11 et preponit se habere septies tantum quam ipsi. Queritur quot unusquisque habebat.

262 Hec enim regula per regulam quinte⁵⁵⁵ arboris facienda est sic: videbis de unoquoque quam partem habebat totius summe denariorum eorum, habitis ipsis denariis quos ipse petit ceteris. Quod sic videndum est: cum primus, acceptis 7 denariis ab aliis, preponit se habere quinquies tantum quam ipsi, si tunc habuit quinque quaslibet quantitates, et reliqui duo habebunt unam ex eisdem quantitatibus. Quare primus habet \({5 \over 6}\) cunctorum denariorum minus ipsis 7 denariis quos petit⁵⁵⁶. Eademque⁵⁵⁷ ratione secundus habet \({6 \over 7}\) totius summe minus 9⁵⁵⁸ denariis quos petit reliquis. 263 Similiter et tertius habet \({7 \over 8}\) totius summe eorum minus ipsis 11 denariis quos petit reliquis. Ergo inter omnes habent \({7 \over 8}\) \({6 \over 7}\) \({5 \over 6}\) totius summe minus denariis 7 et 9 et 11, hoc est denariis 27⁵⁵⁹; ergo \({7 \over 8}\) \({6 \over 7}\) \({5 \over 6}\) cunctorum denariorum ipsorum superhabundant summe eorum in denariis 27. Unde assimilatur hec questio arbori illi, cuius⁵⁶⁰ \({7 \over 8}\) \({6 \over 7}\) \({5 \over 6}\) superant longitudinem arboris palmis 27.

264 Quare inveniendus est numerus in quo reperiantur \({1 \over 8}\) \({1 \over 7}\) \({1 \over 6}\), scilicet in 168; de

263 140 27

⁵⁶¹ quo accipe \({5 \over 6}\) que sunt 140, et \({6 \over 7}\) que sunt 144, et \({7 \over 8}\) que sunt 147, et addes insimul; erunt 431, de quibus extrahe 168: remanebunt 263, que vellent esse 27. Quare multiplicabis 140 per 27 et divide per 263: exibunt denarii \({98 \over 263}\) 14, et tot habuit primus homo⁵⁶² habitis 7 denariis quos petit reliquis. Quare extrahe 7 de \({98 \over 263}\) 14: remanebunt \({98 \over 263}\) 7, et tot habuit primus. 265 Iterum ut habeas denarios secundi, multiplica 144 per 27 et divide per 263; exibunt \({206 \over 263}\) 14, de quibus extrahe denarios 9 quos secundus petit reliquis: remanebunt denarii \({206 \over 263}\) 5, et tot habuit secundus. Item ut habeas denarios tertii⁵⁶³ hominis, multiplica 147 per 27 et divide iterum per 263; exibunt \({24 \over 263}\) 15, de quibus extrahe denarios 11 quos tertius petit: remanebunt denarii \({24 \over 263}\) 4, et tot habuit tertius. Cum vero primus⁵⁶⁴ petat secundo, secundus tertio, et tertius primo, invenies modum solutionis in quarta parte huius capituli, etiam et in secunda parte elchataym.

266 De eodem secundum alium modum

Item homines sint tres; et primus, habitis 7 ex denariis aliorum, habeat quinquies tantum quam ipsi et unum plus. Secundus, habitis 9 ab aliis, habeat sexies⁵⁶⁵ tantum quam ipsi et unum plus. Tertius, habitis 11 ab aliis, habeat septies tantum quam ipsi et unum similiter plus.

In hac autem due summe considerande sunt, quarum maior est quantitas illorum trium, minor est 1 minus maiori. 267 Et quoniam primus cum 7 ex denariis aliorum habet quinquies tantum quam ipsi et 1 plus, ipsum \({5 \over 6}\) minoris summe minus denariis 6 habere necesse est. Propter eadem ergo, secundum cum denariis 9 reliquorum \({6 \over 7}\) eiusdem minoris summe minus denariis 8 habere invenies, cum ipse cum 9 denariis habeat sexies⁵⁶⁶ tantum quam reliqui et 1 plus. 268 Rursus cum tertius, habitis 11 ex denariis aliorum, habeat septies tantum quam ipsi et 1 plus, ipsum habere \({7 \over 8}\) minoris summe minus denariis 10 non dubitatur. Ergo inter omnes habent \({7 \over 8}\) \({6 \over 7}\) \({5 \over 6}\) minoris summe minus⁵⁶⁷ denariis 6 et 8 et 10, scilicet minus 24. Habent etiam et ipsi maiorem summam; ergo \({7 \over 8}\) \({6 \over 7}\) \({5 \over 6}\) minoris summe minus denariis 24 faciunt maiorem summam. 269 Quare si extrahatur inde 1 in quo maior summa superhabundat minorem, remanebunt \({7 \over 8}\) \({6 \over 7}\) \({5 \over 6}\) minoris summe minus denariis 25 equales eiusdem minoris summe; quare \({7 \over 8}\) \({6 \over 7}\) \({5 \over 6}\) minoris summe superhabundant ipsam summam in 25. Quare ut in antecedente questione fecimus, multiplicabis 140⁵⁶⁸ per 25 et divides per 263 et habebis pro \({5 \over 6}\) minoris summe \({81 \over 263}\) 13, de quibus extrahe 6 quos primus habet minus de \({5 \over 6}\) minoris summe: remanebunt \({81 \over 263}\) 7, et tot habet primus. 270 Item⁵⁶⁹ multiplicabis 144 per 25 et divides per 263, et pro \({6 \over 7}\) minoris summe habebis \({181 \over 263}\) 13, de quibus extrahe 8 quos secundus habet minus \({6 \over 7}\) minoris summe: remanebunt \({181 \over 263}\) 5, et tot habet secundus⁵⁷⁰. Item multiplicabis 147 per 25 et divides per 263, et habebis pro \({7 \over 8}\) minoris summe \({256 \over 263}\) 13; de quibus extractis 10 quos tertius habet minus de \({7 \over 8}\) minoris summe remanebunt \({256 \over 263}\) 3, et tot habuit tertius.

271 Item primus petat reliquis 7 et habeat 1 plus quam quinquies ipsi, secundus petat 9 et habeat 2 plus quam sexies⁵⁷¹ ipsi, tertius petat reliquis 11 et habeat 3 plus quam septies ipsi.

In hac autem questione⁵⁷² quattuor summe sunt considerande, quarum prima et maior est quantitas denariorum ipsorum, secunda 1 minus, tertia 2 minus prima vel 1 minus secunda, quarta et minor est⁵⁷³ 3 minus prima vel 2 minus secunda vel 1 minus tertia. 272 Et quoniam primus habitis 7 ex denariis reliquorum hominum habet quinquies tantum quam ipsi et 1 plus, necesse est ipsum habere \({5 \over 6}\) secunde summe minus denariis 6⁵⁷⁴, quia 1 remanet ei ex 7 predictis, sine quo efficitur ipsa secunda summa. Ex hoc autem comprehendere poteris quod secundus habet \({6 \over 7}\) tertie summe minus 7, cum superhabundent⁵⁷⁵ ei 2 ex 9 quos petit reliquis. Et tertius habet 3 demptis de 11, scilicet 8, minus de \({7 \over 8}\) minoris summe. 273 His itaque intellectis, potes redigere denarios uniuscuiusque in portione cuiuslibet quattuor dictarum summarum. Rediguntur enim in minori summa sic: quoniam secunda summa est 2 plus minori, erunt \({5 \over 6}\) secunde summe \({5 \over 6}\) de denariis 2, scilicet \({2 \over 3}\) 1, plus de \({5 \over 6}\) minoris summe. Unde cum primus habeat \({5 \over 6}\) secunde summe minus 6, habebit⁵⁷⁶ \({5 \over 6}\) minoris minus \({1 \over 3}\) 4, quia extractis \({2 \over 3}\) 1 de 6 remanent \({1 \over 3}\) 4. 274 Item quia tertia summa est 1 plus minore, erunt \({6 \over 7}\) tertie summe \({6 \over 7}\) ipsius denarii plus de \({6 \over 7}\) minoris summe. Unde cum secundus habeat \({6 \over 7}\) tertie summe minus 7, habebit \({6 \over 7}\) minoris minus denariis \({1 \over 7}\) 6. Habet etiam et tertius homo \({7 \over 8}\) minoris summe minus denariis 8; ergo inter omnes habent \({7 \over 8}\) \({6 \over 7}\) \({5 \over 6}\) minoris summe minus denariis \({1 \over 3}\) 4 et \({1 \over 7}\) 6 et 8, scilicet minus \({1 \over 7}\) \({1 \over 3}\) 18. Habent etiam et ipsi 3 plus minoris summe, scilicet maiorem summam. 275 Quare extractis ipsis 3 ex utraque equali portione, remanebunt \({7 \over 8}\) \({6 \over 7}\) \({5 \over 6}\) minoris summe minus denariis \({1 \over 7}\) \({1 \over 3}\) 21 equales minori summe⁵⁷⁷. Quare secundum hoc quod superius diximus, multiplicabis \({5 \over 6}\) de 168, scilicet 140, per \({1 \over 7}\) \({1 \over 3}\) 21 et divides⁵⁷⁸ summam per 263 et extrahes inde \({1 \over 3}\) 4, et invenies primum habere \({26 \over 263}\) 7. 276 Rursus multiplicabis \({1 \over 7}\) \({1 \over 3}\) 21 per 144, que sunt \({6 \over 7}\) de 168, et divide summam per 263 et extrahes inde \({1 \over 7}\) 6, et habebis denarios secundi \({162 \over 263}\) 5. Item multiplicabis \({1 \over 7}\) \({1 \over 3}\) 21 per 147, que sunt \({7 \over 8}\) de 168, et divides per 263 et extrahes inde 8, et habebis denarios tertii \({1 \over 263}\) 4.

Potes enim ex predictis satis aperte comprehendere si de multiplicitatibus⁵⁷⁹ ipsorum aliquid minuerit, etiam et de pluribus hominibus operari, cum unus eorum petat reliquis omnibus.

277 Modus alius inter tres homines

Sunt iterum tres homines, quorum primus et secundus petant tertio homini denarios 7 et habeant quinquies quam ipse. Secundus quoque et tertius petant primo denarios 9 et habeant sexies⁵⁸⁰ quam ipse. Tertius et primus petant secundo 11 et habeant septies quam ipse.

Quia primus et secundus, habitis 7 ex denariis tertii, habent quinquies quam ipse, tertium hominem \({1 \over 6}\) totius summe et insuper denarios 7 habere necesse est. 278 Similiter ex petitionibus et⁵⁸¹ ex propositionibus⁵⁸² reliquorum hominum comprehenditur primum habere \({1 \over 7}\) totius summe et denarios 9, secundum \({1 \over 8}\) eiusdem summe et denarios 11; ergo inter omnes habent \({1 \over 8}\) \({1 \over 7}\) \({1 \over 6}\) et denarios 27. Quare pones ut inter omnes habeant 168, quorum \({1 \over 6}\), scilicet 28, et \({1 \over 7}\), scilicet 24, et \({1 \over 8}\), scilicet 21, in unum coniunctis faciunt 73, a quibus usque in 168 sunt 95. 279 Que 95⁵⁸³ cum velint esse 27, ut habeat \({1 \over 6}\) totius summe eorum multiplicabis 27 per 28 et divides per 95; exibunt \({91 \over 95}\) 7, cum quibus adde 7 quos tertius homo habet plus de \({1 \over 6}\) totius summe: erunt \({91 \over 95}\) 14, et tot habuit tertius. Item multiplica 27 per 24 et divide per 95 et superadde 9: erunt \({78 \over 95}\) 15, et tot habuit primus. 280 Rursus multiplicabis 27 per 21 et divides per 95 et superaddes 11: erunt \({92 \over 95}\) 16, et tot habuit secundus. Potes enim secundum hoc operari de pluribus hominibus, cum reliqui petant uni eorum per ordinem aliquem numerum et excedant eum in aliqua multiplicitate. Etiam si de supradictis non immemor extiteris, poteris operari cum superatione vel diminutione multiplicitatum ipsorum.