309 De tribus hominibus qui inequaliter colligerunt bizantios⁶⁰⁶

Tres homines invenerunt bizantios, ex quibus unusquisque sumpsit inequaliter sic, quod multiplicatio bizantiorum primi in tertiam summe facit quantum multiplicatio bizantiorum secundi in quartam summe et quantum multiplicatio bizantiorum tertii in quintam eiusdem summe. Et hee tres multiplicationes equales in unum redacte faciunt eandem summam bizantiorum quam ipsi tres homines invenerant. Queritur que fuit illa summa et quot unusquisque ex ea assumpserat.

310 Pone itaque ut primus sumeret bizantios 3 et secundus 4 et tertius 5, ideo quia multiplicatio

36 5 4 3 12

⁶⁰⁷ cuiuslibet numeri in tertiam partem de 3 est quantum multiplicatio eiusdem numeri in quartam partem de 4, vel in quintam partem de 5; ergo et multiplicatio tertie cuiuslibet⁶⁰⁸ numeri in 3 est quantum multiplicatio quarte eiusdem numeri in 4, et quantum multiplicatio quinte eiusdem numeri in 5. Adde 3 et 4 et 5: erunt 12 pro summa bizantiorum inventorum. 311 Multiplica itaque 3, scilicet bizantios primi per tertiam summe, scilicet per 4: erunt 12, que serva. Et multiplica bizantios secundi, scilicet 4, per quartam partem summe, scilicet per 3: erunt similiter 12, que serva. Et multiplica iterum bizantios tertii, videlicet 5, per quintam summe, scilicet per \({2 \over 5}\) 2: erunt similiter 12par 312 Adde ergo has tres multiplicationes: erunt

primus 1 secundus \({1 \over 3} 1\) tertius \({2 \over 3} 1\)

⁶⁰⁹ 36, que vellent esse 12. Quare dices: pro 3 que pono in quantitate bizantiorum primi veniunt 36; quid ponam ut veniant tantum 12? Multiplicabis ergo 3 per 12 et divides per 36: exibit⁶¹⁰ bizantius 1, et tot sumpsit primus homo ex repertis bizantiis. Item eadem ratione multiplica 4, scilicet bizantios secundi, per 12 et divides per 36: exibit bizantius \({1 \over 3}\) 1, et tot sumpsit secundus homo ex ipsis bizantiis. Rursus suprascripta ratione multiplica bizantios 5 tertii hominis per 12 et divides iterum per 36: exibit bizantius \({2 \over 3}\) 1 pro quantitate inventionis⁶¹¹ tertii hominis.

313 Aliter: pro prescriptis \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) pone 3 et 4 et 5, et adde eos insimul; erunt 12, que divide per numerum hominum, scilicet per 3: exibunt 4, et tot bizantios reperierunt ipsi. Ex quibus primus sumpsit \({3 \over 3}\)⁶¹², hoc est bizantium 1; secundus \({4 \over 3}\), hoc est bizantium \({1 \over 3}\) 1. Tertius sumpsit \({5 \over 3}\) unius bizantii⁶¹³, hoc est bizantium \({2 \over 3}\) 1, ut prediximus.

314 De eodem de quinque hominibus

Item quinque homines bizantios reperierunt, ex quibus iterum sumpsit

25 7 6 5 4 3 5

⁶¹⁴ unusquisque inequaliter sic: quod multiplicatio bizantiorum primi in tertiam summe facit quantum multiplicatio bizantiorum secundi in quartam summe, et quantum multiplicatio bizantiorum tertii in quintam eiusdem summe, et quantum multiplicatio bizantiorum quarti hominis in sextam summe; etiam et quantum multiplicatio bizantiorum quinti hominis in septimam eiusdem summe, et hee quinque multiplicationes insimul iuncte faciunt eandem inventam summam.

315 Cum itaque hec positio per primam regulam,

summa 5 portio primi \({3 \over 5}\) secundi \({4 \over 5}\) tertii 1 quarti \({1 \over 5} 1\) quinti \({2 \over 5} 1\)

⁶¹⁵ hoc est per modum arborum, solvi possit, tamen qualiter aliter solvatur demonstrare cupimus. Pro predictis \({1 \over 3}\) et \({1 \over 4}\) et \({1 \over 5}\) et \({1 \over 6}\) et \({1 \over 7}\)⁶¹⁶ pone in ordinem 3 et 4 et 5 et 6 et 7, et adde ea⁶¹⁷ insimul: erunt 25, et tot quinte reperierunt ipsi, ideo quia equales multiplicationes fuerunt 5. Ex quibus quintis primus sumpsit \({3 \over 5}\) unius bizantii, secundus \({4 \over 5}\), tertius \({5 \over 5}\), hoc est bizantium 1, quartus \({6 \over 5}\), hoc est \({1 \over 5}\) 1, quintus \({7 \over 5}\), hoc est bizantium \({2 \over 5}\) 1.

316 Aliter de quinque hominibus

Rursus quinque homines bizantios invenerunt, ex quibus unusquisque collegit inequaliter sic: quod multiplicatio bizantiorum primi in tertiam summe, hoc est multiplicatio totius summe in tertiam partem bizantiorum ipsius primi, facit aliquem numerum. Et multiplicatio quarte partis totius summe in bizantiis secundi hominis, vel econverso, facit duplum multiplicationis predicte primi hominis. Et multiplicatio bizantiorum tertii in quintam partem summe et econverso, facit triplum multiplicationis secundi hominis, hoc est sexuplum multiplicationis primi. 317 Et multiplicatio bizantiorum quarti in sextam partem summe, vel econverso, facit quadruplum multiplicationis tertii hominis, hoc est vicuplum quadruplum multiplicationis primi hominis. Item et multiplicatio bizantiorum quinti hominis in septimam partem summe, vel septimam partem bizantiorum ipsius quinti hominis in totam summam, facit quincuplum multiplicationis quarti hominis, hoc est centuplum vicuplum multiplicationis primi hominis. Et hee quinque multiplicationes in unam coniuncte faciunt eandem repertam summam. Queritur que fuit illa summa et quot unusquisque ex ea collegit.

318 Quia preponitur quod multiplicatio totius summe in tertiam partem bizantiorum primi facit aliquem numerum, ponendum est quod primus homo colligeret aliquem numerum bizantiorum qui habeat \({1 \over 3}\). Ponatur ergo ut ipse colligeret bizantios 3, quorum tertia pars est bizantius 1, quo multiplicato in summa cunctorum bizantiorum facit aliquem numerum, scilicet ipsam eandem summam. 319 Et quia preponitur quod multiplicatio quarte partis bizantiorum secundi hominis in totam summam facit duplum multiplicationis tertie partis bizantiorum primi in ipsam eandem summam, ponendum est quod secundus colligeret talem numerum bizantiorum, quorum quarta pars sit duplum tertie partis bizantiorum primi; eritque numerus ille 8, cuius quarta pars est 2, que sunt duplum tertie partis bizantiorum primi, scilicet de 1. 320 Item quia multiplicatio quinte partis bizantiorum tertii hominis in totam summam preponitur facere triplum multiplicationis quarte partis bizantiorum secundi in eandem summam, oportet ergo ut tertius homo colligeret tot bizantios, ex quibus quinta pars sit triplum quarte partis bizantiorum secundi. Ergo pones ut ipse colligeret bizantios 30, quorum quinta pars, scilicet bizantii 6, est triplum quarte partis bizantiorum secundi, scilicet de 2. 321 Adhuc quia multiplicatio sexte partis bizantiorum quarti hominis in suprascriptam summam⁶¹⁸ preponitur facere quadruplum multiplicationis quinte partis bizantiorum tertii in ipsam summam⁶¹⁹, ponendum est ut ipse quartus homo colligeret tot bizantios, ex quibus sexta pars fiat quadruplum quinte partis bizantiorum tertii hominis; erunt bizantii 144, quorum sexta pars sunt bizantii 24, qui sunt quadruplum quinte partis bizantiorum tertii hominis, scilicet de 6. 322 Rursus quia multiplicatio septime partis bizantiorum quinti hominis in totam summam preponitur facere quincuplum multiplicationis sexte partis bizantiorum quarti hominis in ipsam summam, oportet quod ponatur quod quintus homo colligeret bizantios 840, ideo quia septima pars ipsorum sunt bizantii 120, qui sunt quincuplum de bizantiis 24, sexte videlicet partis bizantiorum quarti hominis.

323 Quo facto, colliges prescriptas bizantiorum positiones in unum, scilicet bizantios 3 primi hominis et bizantios 8 secundi et bizantios 30 tertii et bizantios 144 quarti et bizantios 840 quinti; erunt bizantii 1025, qui est numerus positus pro reperta summa. Deinde videas in quot ascenderint quinque suprascripte⁶²⁰ multiplicationes in ipsam summam. 324 Multiplicatio quidem tertie partis bizantiorum primi in ipsa summa, scilicet 1 in 1025, facit semel 1025; quare⁶²¹ servabis 1 ex parte. Item multiplicatio quarte partis bizantiorum secundi, scilicet 2, in totam summam, videlicet in 1025, facit bis 1025; quare servabis 2. Iterum quinta pars bizantiorum tertii hominis, scilicet 6, multiplicata in prescriptis 1025, faciet sexies 1025; quare servabis iterum 6. 325 Rursus sexta pars quarti hominis, scilicet 24, multiplicata in

153 840 144 30 8 3 1

⁶²² 1025, facit vigies⁶²³ quater 1025; quare servabis 24. Adhuc septima pars bizantiorum quinti hominis, scilicet bizantii 120, multiplicata in prescriptam summam, scilicet in 1025, facit centies vigies 1025; quare servabis 120, que addes cum 24 et cum 6 et cum 2 et cum 1 servatis: erunt 153. 326 Ergo in prescriptis quinque multiplicationibus exeunt centies quinquagies ter 1025; et cum ipse quinque multiplicationes non debeant facere nisi tantum semel ipsam summam, dices: pro 3 que pono in collectione bizantiorum venit centies quinquagies ter ipsa summa; quid ponam ut tantum ipsa perveniat semel? Multiplicabis ergo 3 per 1 et divides per 153: exibunt \({3 \over 153}\) unius bizantii, et tot reperit primus homo de reperta summa. 327

primus \({3 \over 153}\) secundus \({8 \over 153}\) tertius \({30 \over 153}\) quartus \({144 \over 153}\) quintus \({75 \over 153} 5\) summa \({107 \over 153} 6\)

⁶²⁴ Similiter si hoc⁶²⁵ feceris de positionibus bizantiorum reliquorum quattuor hominum, scilicet de bizantiis 8 secundi hominis et de bizantiis 30 tertii hominis et de bizantiis 144 quarti et de bizantiis 840 quinti hominis, reperies quod secundus homo collegit ex reperta summa \({8 \over 153}\) unius bizantii, et tertius homo colligit \({30 \over 153}\), et⁶²⁶ quartus \({144 \over 153}\), et quintus \({840 \over 153}\), hoc est bizantii \({75 \over 153}\) 5. Collige ergo has⁶²⁷ quinque collectiones in unum: faciunt \({1025 \over 153}\), hoc est bizantii \({107 \over 153}\) 6, et tot reperierunt ipsi.

328 De duobus hominibus qui invenerunt bizantios

Duo homines invenerunt bizantios ex quibus unusquisque collegit⁶²⁸ inequaliter, et id quod colligit primus fuit \({1 \over 13}\) \({1 \over 3}\) ex hoc quod colligit secundus. Et primus lucrando cum sua portione de bizantiis 11 fecit bizantios 12, alter vero de bizantiis 13 fecit 14, et sic inter utrumque habuerunt bizantios 100. Queritur quot sit summa inventa et quot unusquisque ex ea collegit.

329 Primum quidem invenias numerum in quo reperiantur \({1 \over 13}\) \({1 \over 3}\); eritque

summa secundus primus \({5 \over 11}\) 59 39 16         100

⁶²⁹ 39, et tot pone secundum collegisse. De quibus accipe \({1 \over 13}\) \({1 \over 3}\), scilicet 16, et tot bizantios pone pro collectione primi; qui cum de 11 fecisset 12, multiplica bizantios 16 per 12 et divide per 11: exibunt bizantii \({5 \over 11}\) 17, quos serva. Deinde quia secundus de 13 fecit 14, multiplica 39 per 14 et divide per 13; exibunt bizantii 42, quos adde cum bizantiis \({5 \over 11}\) 17: erunt bizantii \({5 \over 11}\) 59, qui vellent esse bizantii 100. 330

portio primi \({1~~\phantom{1}99 \over 3~~109} 26\) secundi \({65 \over 109} 65\)

⁶³⁰ Quare multiplicabis 16 per 100 et divides per \({5 \over 11}\) 59: exibunt pro portione primi hominis bizantii \({1~~\phantom{1}99 \over 3~~109}\) 26. Item eadem ratione multiplica 39 bizantios per 100 et divide per \({5 \over 11}\) 59: exibunt pro portione secundi hominis \({65 \over 109}\) 65 bizantii, quibus iunctis cum bizantiis \({1~~\phantom{1}99 \over 3~~109}\) 26 primi hominis, reddunt pro tota summa bizantios⁶³¹ \({1~~\phantom{1}55 \over 3~~109}\) 92.