331 Divisio de 11 in duas partes

Divide 11 in duas partes, quarum una multiplicata per 9 faciat quantum alia multiplicata per 10. Sciendum⁶³² est primum quod multiplicatio cuiuslibet partis cuiuslibet numeri in numerum ex quo ipsa pars ducit originem, facit quantum multiplicatio alie cuiuslibet partis eiusdem numeri in numero unde ipsa pars derivatur. 332 Verbi gratia: multiplicatio quidem tertie cuiuslibet numeri

secunda prima 19 9 10 11

⁶³³ in 3, ex quibus \({1 \over 3}\) ducit originem, facit quantum multiplicatio quarte⁶³⁴ eiusdem numeri in 4, a quibus \({1 \over 4}\) ducit originem; quare nona unius numeri multiplicata per 9 facit quantum \({1 \over 10}\) eiusdem numeri multiplicata per 10. Unde quam proportionem habet decima unius numeri ad nonam eiusdem numeri, eandem proportionem habebit una pars de 11 ad aliam. 333 Unde inveniendus est numerus in quo reperiantur \({1 \over 10}\) \({1 \over 9}\); eritque 90, cuius \({1 \over 9}\) et \({1 \over 10}\) sunt 10 et 9. Multiplicatio ergo de 9, scilicet decime de 90 in 10, facit quantum multiplicatio de 10, scilicet \({1 \over 9}\) de 90 in 9; unde iunge 9 et 10: erunt 19, que vellent esse 11. Multiplica ergo 10 per 11 et divide per 19: exibunt \({15 \over 19}\) 5, et tot erit una pars. Residuum vero quod est usque in 11, scilicet \({4 \over 19}\) 5, erit alia pars; qui numerus exiit ex multiplicatione de 9 in 11 divisa per 19.

334 Aliter: quia multiplicatio prime partis in 9 est equa multiplicationi secunde partis in 10, proportionaliter est sicut 10 ad 9 ita⁶³⁵ prima pars ad secundam⁶³⁶. Unde erit sicut coniunctum⁶³⁷ ex 10 et 9, scilicet 19, ad coniunctum⁶³⁸ ex partibus, scilicet ad 11, ita 10 ad primam partem et 9 ad secundam. Quare multiplicanda sunt 11 per 10 et per 9 et dividenda utraque multiplicatio per 19.

335 Si vero per regulam rectam vis procedere pone pro prima parte rem, quare secunda erit 11⁶³⁹ minus re; et multiplica rem, scilicet primam partem, per 9: egredientur 9 res. Item multiplica 11 minus re, scilicet secundam partem, per 10: erunt 110 minus 10 rebus, que equantur novem rebus. Quare si comuniter addantur 10 res, erunt 19 res que equantur 110. Divide itaque 110 per 19: erunt pro prima parte \({15 \over 19}\) 5, quibus extractis de 11, supererunt pro secunda parte \({4 \over 19}\) 5, ut superius invenimus⁶⁴⁰.

336 Divisio de 11 in tres partes

Item⁶⁴¹ si 11 in tres partes dividere volueris, quarum prima multiplicata per 4 faciet quantum alia multiplicata per 5 et quantum alia multiplicata per 6.

Quia multiplicatio quarte unius numeri per 4 facit quantum multiplicatio quinte eiusdem numeri in 5 et quantum multiplicatio sexte eiusdem numeri in 6, invenies numerum in quo reperiantur \({1 \over 6}\) \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\); eritque 60, cuius quarta est 15, quinta est 12, sexta est 10. 337 Adde ergo 15 et 12 et 10, eruntque 37, que vellent esse 11. Quare multiplicabis 15 et 12 et 10 singulariter per 11 et divides unamquamque multiplicationem per 37, et sic habebis pro prima parte \({17 \over 37}\) 4, pro secunda \({21 \over 37}\) 3, pro tertia \({36 \over 37} 2\)⁶⁴². Et sic possemus dividere 11 etiam et quemlibet alium numerum in plures partes.

338 Divisio de 11 in duas partes secundum alium modum

Item si proponatur dividere 11 in duas partes, quarum una multiplicata⁶⁴³ per 9 faciet

pars prima \({59 \over 72} 3\) secunda \({13 \over 72} 7\)

⁶⁴⁴ \({1 \over 4}\) 30 plus alia multiplicata similiter per 9.

Quia maior pars multiplicata per 9 facit \({1 \over 4}\) 30 magis alia multiplicatione, divides \({1 \over 4}\) 30 per 9: exibunt \({1~~3 \over 4~~9}\) 3, et in tot excedit maior pars minorem, ideo quia multiplicatis \({1~~3 \over 4~~9}\) 3 per 9 faciunt \({1 \over 4}\) 30. Ergo extrahes \({1~~3 \over 4~~9}\) 3 de 11; remanebunt \({3~~5 \over 4~~9} 7\)⁶⁴⁵, hoc est \({23 \over 36}\) 7, que divide in duo equa: exibunt \({59 \over 72}\) 3 pro qualibet parte, et tot fuit minor pars. Residuum vero quod est usque in 11, scilicet \({13 \over 72}\) 7, fuit alia.

339 ^[2] Aliter de eodem

Nam si proponatur dividere 11 in duas partes, quarum secunda multiplicata per 10 faciet \({1 \over 4}\) 30 plus multiplicatione prime partis in 9.

Extrahe de 11 numerum qui cum multiplicetur per 10 faciat \({1 \over 4}\) 30, qui numerus reperitur cum \({1 \over 4}\) 30 dividuntur per 10, eritque numerus ille \({1 \over 40}\) 3. Quo⁶⁴⁶ extracto de 11, remanent \({39 \over 40}\) 7, que divide in duas partes per suprascriptam regulam, ita quod multiplicatio prime partis per 9 faciat quantum alia multiplicata per 10; eritque prima pars \({3~~\phantom{1}7~~14 \over 4~~10~~19} 3\)⁶⁴⁷. 340 Qua⁶⁴⁸ inventa, extrahatur de 11, quod facies per modum quem in decimo capitulo demonstravi; scilicet accipe 3 que sunt super 4 et extrahe ea ex ipsis 4, et remanens 1⁶⁴⁹ pone super 4 cuiusdam protracte virge, sub qua sint per ordinem suprascripti rupti, scilicet \({1~~\phantom{1}0~~\phantom{1}0 \over 4~~10~~19}\), 341 et pro expletis 4 retine⁶⁵⁰ in

pars prima \({3~~\phantom{1}7~~14 \over 4~~10~~19} 3\) secunda \({1~~\phantom{1}2~~\phantom{1}4 \over 4~~10~~19} 7\)

⁶⁵¹ manu 1, quod adde cum 7 que sunt super 10; erunt 8, a quibus usque in 10 desunt 2, que pone super 10 et pro expletis decem retine 1, que adde cum 14 que sunt super 19; erunt 15, a quibus usque in 19 desunt 4, que pone super 19 protracte virgule et pro expletis 19 retine 1, quod adde cum 3 que sunt ante virgulam et⁶⁵² extrahe de 11: remanebunt 7, que pone ante protractam virgulam⁶⁵³, et sic habebis pro secunda parte \({1~~\phantom{1}2~~\phantom{1}4 \over 4~~10~~19}\) 7.

342 Item si 11 in tres partes dividere proponatur, quarum secunda multiplicata per 5 faciat 10 plus multiplicatione⁶⁵⁴ prime in 4, et multiplicatio tertie per 6 faciat 11 plus multiplicatione secunde in 5, hoc est 21 plus multiplicatione prime partis per 4.

Cum itaque ultima pars multiplicata per 6 faciat 21 plus quam prima pars multiplicata per 4, ergo si ex ipsa ultima parte extrahatur numerus quo multiplicato per 6 faciet 21, scilicet \({1 \over 2}\) 3 que exeunt ex divisione 21 per 6, remanet⁶⁵⁵ ex ipsa ultima parte numerus qui cum multiplicatus fuerit per 6 facit quantum prima pars multiplicata per 4. 343 Item quia secunda pars multiplicata per 5 facit 10 plus quam prima multiplicata per 4, si ex

prima \({1~~\phantom{1}8 \over 2~~37} 2\) secunda \({0~~29 \over 2~~37}\) 3 tertia \({1~~36 \over 2~~37} 4\)

⁶⁵⁶ secunda parte extrahatur numerus qui multiplicatus per 5 faciat 10, scilicet 2, remanebit ex ipsa secunda parte numerus quo multiplicato per 5 faciet quantum prima multiplicata per 4. 344 Ergo extrahantur 2 et \({1 \over 2}\) 3 de 11: remanebunt \({1 \over 2}\) 5, que divide per suprascriptam regulam in tres partes, quarum secunda multiplicata per 5 et tertia multiplicata per 6 faciunt quantum prima multiplicata per 4; eritque prima pars \({1~~\phantom{1}8 \over 2~~37}\) 2, secunda \({29 \over 37}\)⁶⁵⁷ 1, tertia \({18 \over 37}\)⁶⁵⁸ 1. Adde ergo 2 cum secunda parte: erunt \({29 \over 37}\) 3. Similiter adde \({1 \over 2}\) 3 cum tertia parte: erunt \({1~~36 \over 2~~37}\) 4, et sic potes facere de similibus.