345 De duobus numeris reperiendis secundum datam quandam proportionem⁶⁵⁹

Sunt duo numeri, quorum \({1 \over 5}\) unius est \({1 \over 7}\) alterius, et eorum multiplicatio

35 7 5 12

⁶⁶⁰ est quantum eorum additio. Invenias primum duos numeros quorum \({1 \over 5}\) unius sit \({1 \over 7}\) alterius, eruntque 5 et 7, que pone pro quesitis numeris et adde 5 cum 7: erunt 12. Sed multiplicatio de 5 in 7 facit 35, que cum velint esse 12, multiplica 12⁶⁶¹ per 5 et 12 per 7 et divides utramque multiplicationem per 35, et habebis primum numerum \({5 \over 7}\) 1, secundum \({2 \over 5}\) 2. Vel aliter suprascripta 12 divide per 7 et per 5.

346 Aliter⁶⁶²

Et⁶⁶³ si proponatur quod addita quinta parte unius cum septima alterius faciat quantum multiplicatio numerorum ad invicem, addes quintam de 5, scilicet 1⁶⁶⁴, cum \({1 \over 7}\) de 7: erunt 2, que multiplica per 5 et per 7 et divide utramque multiplicationem per 35, vel ipsa 2 divide per 7 et per 5, et habebis primum numerum \({2 \over 7}\), secundum \({2 \over 5}\).

347 Aliter⁶⁶⁵

Rursus si proponatur quod multiplicata quinta parte⁶⁶⁶ unius per septimam alterius faciat quantum additio unius numeri cum alio, multiplicabis quintam de 5 per \({1 \over 7}\) de 7,

1 7 5 12

⁶⁶⁷ scilicet 1 per 1⁶⁶⁸, erit 1; et adde 5 cum 7 ut supra: erunt 12, que multiplicabis per 5 et per 7 et divides utramque multiplicationem per 1 quod fuit summa multiplicationis de uno in unum⁶⁶⁹ supradictis, et habebis primum numerum 60, quorum quinta est 12; secundum est 84, quorum septima est 12 similiter, ut oportet; nam multiplicatio⁶⁷⁰ 12 per 12 facit quantum additio de 60 cum 84.

348 Modus alius de duobus numeris reperiendis

Item quinta unius numerorum sit septima alterius, et multiplicata quinta parte unius per septimam alterius facit quantum addita quinta parte unius cum septima alterius. Multiplicabis 1 per 1 ut supra: erit unum, et addes ipsas unitates insimul: erunt 2, per que multiplicabis 5 et 7⁶⁷¹ et divides utramque multiplicationem per unum, et habebis primum numerum 10, secundum 14.

349 Questio alia de duobus numeris

Adhuc si proponatur quod multiplicato uno numero per alium faciat aliquod multiplex eorundem additionis, ut dicamus duplum. Addes tunc 5 cum 7; erunt 12, que duplicabis: erunt 24. Multiplicabis ergo 24 per 5 et 24 per 7 et divides utramque multiplicationem per multiplicationem de 5 in 7, scilicet per 35, et habebis primum numerum \({3 \over 7}\) 3, secundum \({4 \over 5}\) 4. Et nota quia in omnibus suprascriptis, etiam et in sequentibus, semper damus divisionem numero qui ex multiplicatione duorum numerorum colligitur multiplicatorum.

350 Questio alia de duobus numeris

Iterum si proponatur quod additio numerorum faciat aliquam multiplicitatem

105 7 5 12

⁶⁷² multiplicationis eorundem, ut dicamus triplum. Multiplicabis 12 que sunt additio de 5 et 7 per eosdem numeros: erunt 60 et 84, que divide per dictam multiplicitatem multiplicationis de 5 in 7, scilicet per triplum de 35, idest per 105, et habebis primum numerum \({4 \over 7}\), secundum \({4 \over 5}\).

351 Aliter secundum aliam questionem

Rursus multiplicatio numerorum in se ipsos faciat aliquod multiplex, ut dicamus quadruplum,

35 7 5 8

⁶⁷³ additionis quinte partis unius numeri cum septima parte alterius. Quadruplum de 2 que sunt additio quinte partis de 5 et septime partis de 7, scilicet 8, multiplica per 5 et per 7: erunt 40 et 56, que divide per multiplicationem de 5 in 7, scilicet per 35, et habebis primum numerum \({1 \over 7}\) 1, secundum \({3 \over 5}\) 1.

Item additio quinte partis unius cum septima alterius faciat quincuplum multiplicationis unius numeri in alium. Multiplicabis 2 suprascripta per 5 et per 7: erunt 10 et 14, que divide per quincuplum de 35, scilicet per 175, et habebis primum numerum \({2 \over 35}\), secundum \({2 \over 25}\).

352 Item questio alia de duobus numeris

Adhuc multiplicatio quinte partis unius in septimam alterius sit sexcuplum

1 7 5 12

⁶⁷⁴ additionis earundem partium. Addes \({1 \over 5}\) de 5 cum \({1 \over 7}\) de 7: erunt 2⁶⁷⁵ quorum sexcuplum, scilicet 12, multiplica per 5 et per 7: erunt 60 et 84, que divide per multiplicationem quinte partis de 5 in septimam partem de 7, scilicet per unum, et habebis primum numerum 60, secundum 84.

353 De eodem secundum aliam divisionem

Iterum additio quinte partis unius cum septima parte alterius faciat septuplum

7 7 5 2

⁶⁷⁶ multiplicationis earundem partium in se. Multiplicabis 2 per 5 et⁶⁷⁷ per 7: erunt 10 et 14, que divides per septuplum multiplicationis quinte partis de 5 in septimam partem de 7, scilicet per 7, et habebis primum numerum \({3 \over 7}\) 1, secundum 2. Possumus enim multas alias questiones varias ex suprascriptis proponere, quorum solutiones per suprascriptas satis competenter reperiri possunt.

354 Divisio alia inter duos numeros

Item sunt duo numeri, ex quibus \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) unius sunt \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\) alterius, et multiplicatis

945 35 27 62

⁶⁷⁸ insimul faciunt iunctionem eorundem. Primum quidem⁶⁷⁹ invenies duos numeros quorum \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) unius sit \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\) alterius; eruntque 27 et 35, et addes 27 cum 35: erunt 62, per que multiplica 27 et 35 et divides utramque multiplicationem per summam multiplicationis de 27 in 35, vel divide 62 per 35 et per 27, et habebis primum numerum \({27 \over 35}\) 1, secundum \({8 \over 27}\) 2.

355 De eodem

Et si propositum fuerit quod multiplicatio unius dictorum numerorum in alium sit

945 35 27 124

⁶⁸⁰ duplum additionis eorundem. Duplum de 62, scilicet 124, multiplica per 27 et per 35 et divide utramque multiplicationem per summam multiplicationis de 27 in 35, vel 124 divide per 35 et per 27, et habebis primum numerum \({19 \over 35}\) 3, secundum \({16 \over 27}\) 4.

356 De eodem⁶⁸¹

Et si additio sit duplum multiplicationis eorundem, multiplicatio de 62 in 27 et in 35 divides per duplum multiplicationis de 27 in 35, vel divide 62 per duplum de 35 et de 27, et habebis primum numerum \({31 \over 35}\), secundum \({4 \over 27}\) 1.

357 De eodem

Item \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) primi numeri sit \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\) secundi, et multiplicatio primi in secundum faciat

945 35 27 \({1 \over 2} 31\)

⁶⁸² quantum additio cuiuslibet partis vel quarumlibet partium primi in quamlibet partem vel partes secundi, ut dicamus quod additio⁶⁸³ \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) unius cum \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\) alterius sit quantum multiplicatio unius numeri in alium. Accipe \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) de 27, que sunt \({3 \over 4}\) 15, et adde ea cum \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\) de 35, scilicet cum \({3 \over 4}\) 15: erunt \({1 \over 2}\) 31. Multiplicabis \({1 \over 2}\) 31 per 27 et \({1 \over 2}\) 31 per 35 et divides utramque multiplicationem per summam multiplicationis de 27 in 35, vel \({1 \over 2}\) 31 divides per 35 et per 27, et habebis pro primo numero \({9 \over 10}\), pro secundo \({1 \over 6}\) 1.

358 De eodem

Et si multiplicatio numerorum sit quadruplum additionis de \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) unius cum \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\) alterius, quadruplum \({1 \over 2}\) 31, scilicet 126, multiplica per 27 et per 35 et divide utramque multiplicationem per summam multiplicationis de 27 in 35, vel 126 divide per 35 et per 27, et habebis pro primo numero \({3 \over 5}\) 3, pro secundo \({2 \over 3}\) 4.

359 De eodem⁶⁸⁴

Et⁶⁸⁵ si multiplicatio de \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) primi numeri in \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\) secundi sit quantum additio primi numeri cum

3969 140 108 248

⁶⁸⁶ secundo. Quia \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) de 27 et \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\) de 35 non cadunt in integrum, cum sint \({3 \over 4}\) 15, oportet ut multiplicentur 27 et 35 per 4: erunt 108 et 140; et accipe \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) de 108, que sunt 63, et multiplica ea per 63, que sunt \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\) de 140: erunt 3969. Et adde 108 cum 140: erunt 248, que multiplica per 108 et per 140, et divide utramque multiplicationem per regulam de 3969, et evitabis hoc quod evitare poteris, et habebis primum numerum \({2~~1~~5 \over 3~~7~~7}\) 6, secundum \({4~~6~~6 \over 7~~9~~9}\) 8.

360 De eodem⁶⁸⁷

Et si multiplicatio de \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) primi in \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\) secundi sit quincuplum additionis numerorum. Quincuplum de 248, scilicet 1240, multiplica per 108 et per 140 et divides utramque multiplicationem per regulam de 3969, et evitabis, et habebis primum numerum \({1~~1~~5 \over 3~~7~~7}\)⁶⁸⁸ 33, secundum \({6~~5~~6 \over 7~~9~~9}\) 43.

361 Rursus⁶⁸⁹ \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\), ut diximus, primi numeri sit \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\) secundi, et multiplicatio de \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\)

3969 140 108 126

⁶⁹⁰ primi in \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\) secundi faciat additionem de \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) primi cum⁶⁹¹ \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\) secundi. Adde 63 cum 63, scilicet \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) de 108 cum \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\) de 140: erunt 126, per que multiplica 108 et 140 et divide utramque multiplicationem per 3969, et evitabis, et habebis primum numerum \({3 \over 7}\) 3, secundum \({4 \over 9}\) 4.

362 De eodem

Et si multiplicatio de \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) unius in \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\) alterius sit sexcuplum additionis de \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\)

3969 140 108 756

⁶⁹² unius cum⁶⁹³ \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\) alterius. Sexcuplum de 126 multiplicabis per 108 et per 140 et divides utramque multiplicationem per 3969, et evitabis hoc quod poteris⁶⁹⁴, et habebis primum numerum \({4 \over 7}\) 20, secundum \({2 \over 3}\) 26.

363 Et⁶⁹⁵ si additio de \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) unius cum \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\) alterius sit septuplum multiplicationis

23814 140 108 126

⁶⁹⁶ de \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) unius per⁶⁹⁷ \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\) alterius, multiplicationes de 126 in 108 et in 140 divides per septuplum de 3969, et evitabis, et habebis pro primo numero \({3~~3 \over 7~~7}\), pro secundo \({5~~5 \over 7~~9}\).

364 De duobus numeris reperiendis, qui sint ad invicem in data proportione

Accepi \({1 \over 6}\) \({1 \over 5}\) unius numeri, extraxi⁶⁹⁸ de \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) alterius, et quod remansit multiplicavi per \({1 \over 4}\) 9 et habui 100.

Divides itaque 100 per \({1 \over 4}\) 9: exibunt \({30 \over 37}\) 10; quare reperiendi sunt duo numeri, quorum \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) unius excedant \({1 \over 6}\) \({1 \over 5}\) alterius in \({30 \over 37}\) 10. Pone pro primo numero 30 et pro secundo 24. Extrahe⁶⁹⁹ \({1 \over 6}\) \({1 \over 5}\) de 30, scilicet 11, de \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) de 24, scilicet de 14: remanent 3, 365 que cum vellent⁷⁰⁰ esse \({30 \over 37}\) 10, multiplicabis \({30 \over 37}\) 10 per 30 et per 24 et divides utramque multiplicationem per 3: exibunt pro primo numero \({4 \over 37}\) 108, pro secundo \({18 \over 37}\) 86.

Vel habeas pro primo numero 30, et super \({1 \over 6}\) \({1 \over 5}\) eorum adde \({30 \over 37}\) 10: erunt \({30 \over 37}\) 21, que sunt \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) secundi numeri. Quare multiplica 12 per \({30 \over 37}\) 21 et divide per 7. Et si vis, sit secundus numerus 24, de quorum \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) deme \({30 \over 37}\) 10: remanebunt \({7 \over 37}\) 3, que sunt \({1 \over 6}\) \({1 \over 5}\) primi numeri.

366 Et si proponatur quod \({2 \over 3}\) primi sint \({3 \over 5}\) secundi, et ex ipsis proveniant supradicta, invenies duos numeros quorum \({2 \over 3}\) unius sint \({3 \over 5}\) alterius; erunt 9 et 10, quos multiplica per 30 ut que necessaria sunt habeantur in integra; eruntque pro primo numero 270, pro secundo 300. Extrahe ergo \({1 \over 6}\) \({1 \over 5}\) de 270, scilicet 99, de \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) de 300, scilicet de 175: remanent 76, que cum velint esse \({30 \over 37}\) 10, multiplicabis \({30 \over 37}\) 10 per 270 et per 300 et divides unamquamque multiplicationem per 76: exibunt pro primo numero \({\phantom{1}1~~15 \over 19~~37}\) 38, pro secundo \({18~~24 \over 19~~37}\) 42.

367 Et si vis ut multiplicato residuo in se quod est inter \({1 \over 6}\) \({1 \over 5}\) primi numeri et \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) secundi faciat⁷⁰¹ unum ex ipsis duobus numeris qualem vis, ut dicamus primum, pones pro ipso primo numero numerum habentem radicem, cuius \({1 \over 6}\) \({1 \over 5}\) sint integre, sitque 900, super \({1 \over 6}\) \({1 \over 5}\) quorum adde radicem eorum⁷⁰², scilicet 30: erunt 360. 368 Quare invenias numerum cuius \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) sit 360, scilicet multiplicationem de 12 in 360 divide per 7: exibunt pro secundo numero \({1 \over 7}\) 617. Rursus si vis ut⁷⁰³ multiplicatio predicti residui in se⁷⁰⁴ faciat secundum numerum, pone ipsum secundum numerum esse 144, de quorum \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\), scilicet de 84, abice radicem eorum, que est 12: remanebunt 72. Invenies ergo numerum cuius \({1 \over 6}\) \({1 \over 5}\) sint 72, eritque \({4 \over 11}\) 196 pro primo⁷⁰⁵ numero.

369 Item multiplicavi \({1 \over 6}\) \({1 \over 5}\) primi numeri per \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) secundi et fuit illud quod provenit 100. Invenias duos numeros qui insimul multiplicati faciant 100, sint 5 et 20. Quare pro primo numero habebis numerum cuius \({1 \over 6}\) \({1 \over 5}\) sunt 5, et pro secundo habebis ipsum numerum cuius \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\)⁷⁰⁶ sunt 20. 370 Quare multiplica 30 per 5 et divide per 11, et 12 per 20 et divide per 7, et habebis primum numerum \({7 \over 11}\) 13, secundum \({2 \over 7}\) 34.

Aliter: quia ex ductis 10 in se proveniunt 100, invenias pro primo numero numerum cuius \({1 \over 6}\) \({1 \over 5}\) sint 10; eritque \({3 \over 11}\) 27, et pro secundo invenias numerum ex quo 10 sint \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\); eritque \({1 \over 7}\) 17. Et sic possumus infinitas questiones per regulas arborum solvere.