371 Incipit pars quarta duodecimi capituli de inventione bursarum

Duo homines qui habebant denarios invenerunt bursam unam denariorum; qua inventa, primus dixit secundo: si hos⁷⁰⁷ denarios burse cum denariis quos habeo haberem, haberem utique ter tantum quam tu. Cui econtra alter respondit: et si ego haberem denarios burse cum denariis meis, haberem quater tantum quam tu. Queritur quot unusquisque habebat et quot ipsi reperierunt in bursa.

372 Notandum est quidem quod quia cum primus, habita bursa, habeat ter tantum secundo, si ipse cum bursa habet 3, et secundus habet 1. Ergo inter utrumque cum bursa habent 4, ex quibus primus cum bursa habet 3; ergo habet \({3 \over 4}\) totius summe denariorum illorum et burse. Propter eadem et secundus, cum habeat cum bursa quater tantum primo, eiusdem summe \({4 \over 5}\) eum habere necesse est. 373 Quare invenias numerum in quo reperiantur \({4 \over 5}\) \({3 \over 4}\); eritque 20. Pone ergo ut summa denariorum illorum sit 20, de quibus primus cum bursa habet \({3 \over 4}\), scilicet 15, et secundus cum bursa habet \({4 \over 5}\), scilicet 16; ergo inter utrumque cum bursa bis computata habent 31. Superfluum vero quod est a 20 usque in 31, scilicet 11, est summa denariorum burse, ideo quia bursa computata est bis, cum non debeat computari nisi tantum semel. 374 Quare computatio burse fuit semel magis quam debuit⁷⁰⁸; unde denarii superflui qui sunt a 20 usque in 31, videlicet 11, sunt semel id quod in bursa repertum fuit. Quare extrahes 11 de 15: remanent 4, et tot habuit primus. Deinde extrahe 11 de 16: remanent 5, et tot habuit secundus. Ergo primus habet 4 et secundus 5, quibus additis cum 11 de bursa faciunt 20, ut pro eorum summa posuimus.

375 Aliter: quia primus cum bursa habet \({3 \over 4}\) totius summe denariorum ipsorum et

primus 4 secundus 5 bursa 11

⁷⁰⁹ burse, ergo secundus habet \({1 \over 4}\) totius summe. Et primus habet \({1 \over 5}\) totius summe, ideo quia secundus cum bursa habet \({4 \over 5}\) summe. Quare accipe \({1 \over 5}\) de 20, que est 4, et tot habuit primus. Item accipe \({1 \over 4}\) de 20, que est 5, et tot habuit secundus. Ergo inter utrumque habent 9, a quibus usque in 20 remanent 11 pro burse quantitate, ut prediximus.

376 Item aliter. Pone primum habere rem; quare cum bursa habet rem et bursam, que sunt triplum denariorum secundi; ergo secundus habet tertiam rei et burse. Quare si habuerit bursam, habebit bursam et tertiam burse et insuper tertiam rei, que equantur quattuor rebus, scilicet quadruplo denariorum primi, cum secundus cum bursa habeat quater tantum quam primus. 377 Extrahe ergo ab utraque parte tertiam rei: remanebunt bursa et tertia burse, que equantur quattuor rebus minus tertia rei. Quare triplum unius burse et tertie, scilicet burse 4, equatur triplo quattuor rerum minus tertia, scilicet rebus 11. Et quia quater 11 equantur undecies quattuor, erit proportio denariorum burse ad denarios primi hominis sicut 11 est ad 4. Unde si in bursa sunt denarii 11, primus homo habet 4, quorum omnium tertia, scilicet 5, necessario habet secundus, cum primus cum bursa habeat triplum eius.