3 Expliciunt partes duodecimi capituli⁹. Incipit pars prima de collectionibus numerorum

Cum autem vis super aliquem datum numerum colligere numeros quotcumque ascendentes ab ipso dato numero equaliter, ut per ascensionem unitatis, vel binarii, vel ternarii, vel alterius cuiuslibet numeri, dimidium multitudinis cunctorum numerorum in collectione positorum per coniunctum ex extremis multiplica; 4 vel dimidium summe

19               16   22           13       25       10           28   7               31

¹⁰ extremorum, scilicet primi et ultimi numeri, per numerum multitudinis numerorum ducas, et habebis propositum. Verbi gratia: volo colligere super 7 numeros qui ascendunt per ternarium ab ipso septenario usque in 31, ut 7 et 10 et 13 et deinceps usque in 31. 5 Multitudo quidem numerorum predictorum est 9, hoc est quod novem numeri sunt in predicta collectione, ex quibus unus est septenarius, reliqui autem sunt octo qui habentur ex tertia de 24¹¹ que remanent de 31 extractis inde¹² 7. Coniunctum itaque ex extremis, scilicet de 7 et 31, est¹³ 38; quare si multiplicaveris dimidium de 9 per 38, vel dimidium de 38 per 9, reddunt 171 pro summa collectionis novem positorum numerorum. Per hanc quidem regulam possunt inveniri collectiones subscripte, quas etiam demonstrabimus alio modo.

6 De eodem alio modo

Si vis colligere aliquot numeros, qui ordinate ascendunt aut per ascensionem unitatis incipiendo ab uno, vel per ascensionem binarii incipiendo a 2, aut per ascensionem alicuius alterius numeri incipiendo ab ipso, ultimum numerum per primum divide et exeunti ex divisione unum adde et quod provenerit serva; ipsumque per dimidium¹⁴ ultimi numeri, vel ultimum numerum per dimidium¹⁵ servati multiplica. 7 Verbi gratia, volo colligere omnes numeros qui sunt ab uno usque in 60. Dividam ergo 60 per 1, et exeunti superaddam 1, erunt 61 que multiplicabo per dimidium de 60, vel 60 multiplicabo per dimidium de 61: venient 1830 pro summa dicte collectionis. Similiter si a binario colligere vis¹⁶ numeros qui ascendunt per binarium usque in 60, hoc est pares numeros, divide 60 per 2 et superadde 1: erunt 31, que multiplica per dimidium de 60. Similiter¹⁷ si vis colligere a 3 usque in 60, ascendendo per ternarium¹⁸, ut 3 et 6 et 9, unum plus tertia parte de 60, scilicet 21, per dimidium de 60 multiplica: erunt 630, et ita intelligas in¹⁹ reliquis similibus.

8 Nam si impares numeros tantum incipiendo ab 1 usque in alium quemlibet numerum colligere vis, potes per regulam priorem procedere. Vel, quod idem est, dimidium summe extremorum in se multiplica et habebis propositum. Verbi gratia: ut si vis colligere impares numeros qui sunt ab 1 usque in 19, dimidium summe coniunctionis²⁰ extremorum, scilicet 10, in se multiplica, scilicet in numerum multitudinis ipsorum numerorum (nam impares numeri qui sunt ab 1 usque in 19 sunt decem): exibunt 100 pro dicta collectione.

9 Si autem vis habere summam²¹ quadratorum omnium numerorum per ordinem qui sunt a quadrato unitatis, scilicet ab 1, usque in quadratum alicuius numeri, ut dicamus usque in quadratum decenarii, cuius quadratum est 100, pone 10 ex parte et ante ea pone numerum sequentem, scilicet 11, et coniunctum ex eis, scilicet 21, pone sub ipsis; et multiplica 10 per 11, que per 21, et divides summam per 6 et per 1 quod²² est differentia inter 10 et 11, et habebis 385 pro dicta summa; et erit semper possibile²³ evitare in his 6 in quibus fit divisio. 10 Et²⁴ si summam²⁵ quadratorum²⁶ qui fiunt per ordinem ab imparibus numeris habere vis usque in quadratum²⁷ novenarii, ante 9 pones sequentem imparem, hoc est 11, et coniunctum ex eis, scilicet 20, pone sub eis et hos tres²⁸ numeros insimul multiplica et summam²⁹ divides per 12, hoc est per 6 et per 2 que sunt differentia inter 9 et 11, et evitabis, scilicet tertiam de 9 multiplica per quartam de 20; erunt 15, que multiplica per 11: erunt 165, et hec est summa. 11 Et si collectionem quadratorum qui fiunt a numeris paribus per ordinem habere vis a quadrato binarii, qui³⁰ est 4, usque in quadratum decenarii, qui est 100, pone 10 et sequentem parem, scilicet 12, et coniunctum ex eis, scilicet 22, ex parte. Et³¹ supradicta ratione duodecimam partem de summa multiplicationis eorum accipe, que erit summa quesita; sed evitabis \({1 \over 12}\)³² et habebis 220.

12 Similiter potes habere summam omnium quadratorum qui fiunt a numeris ascendentibus ordinate per ternarium, vel per³³ quaternarium, vel per alium quemlibet numerum. Ut si vis habere summam quadratorum qui fiunt a numeris³⁴ ascendentibus per quaternarium incipiendo a quadrato quaternarii, qui est 16, usque in³⁵ quadratum alicuius numeri, ut dicamus usque in quadratum de 20, qui est 400, 13 pones primum 20 et ante ipsum scribes sequentem numerum per quaternarium ascendentem, scilicet 24. Sub ipsis quidem pones 44, scilicet numerum coniunctum ex eis, et multiplicabis 20 per 24, quod totum per 44³⁶, et divides summam per 6 et per numerum ascendentem, scilicet per 4, hoc est multiplicabis 20 per quartam sexte de 24, scilicet per 1, et per 44: exibunt 880 pro eorum summa, et sic fiet in ceteris. Probavi enim geometrice que hic sunt dicta de collectionibus quadratorum in libro³⁷ quem de quadratis composui.