571 De duobus hominibus et de⁹¹⁰ duobus equis per regulam proportionum

Duo homines bizantios habentes invenerunt duos equos ad vendendum, quorum secundus valebat bizantios 2 plus pretio primi. Et primus homo cum suis bizantiis proponit primum equum emere, habita \({1 \over 3}\) bizantiorum secundi; secundus vero habita \({1 \over 4}\) bizantiorum primi, proponit secundum equum emere, et fiant hec omnia in integris numeris. Queritur pretium uniuscuiusque equi et quot bizantios unusquisque habeat.

572 Quia⁹¹¹ primus cum \({1 \over 3}\) bizantiorum secundi habet pretium primi equi et secundus cum \({1 \over 4}\) bizantiorum primi⁹¹² habet pretium secundi equi, ergo primus cum \({1 \over 3}\) bizantiorum secundi habet 2 minus quam secundus cum \({1 \over 4}\) bizantiorum primi. 573 Unde si

primus homo vel primus 8 16 secundus secundus 12 21 primus equus primus equus 12 23 secundus secundus 14 25

⁹¹³ auferatur ex utroque \({1 \over 3}\) bizantiorum secundi, habebit primus bizantios 2 minus quam \({2 \over 3}\) bizantiorum secundi et \({1 \over 4}\) bizantiorum suorum. Quare si adhuc ex utroque auferatur \({1 \over 4}\) bizantiorum primi, remanebunt \({3 \over 4}\) bizantii primi bizantii 2 minus quam \({2 \over 3}\) bizantiorum secundi. Quare invenias duos integros numeros, quorum \({3 \over 4}\) unius sint 2 minus de \({2 \over 3}\) alterius. 574 Est enim modus reperiendi eos ut accipias \({3 \over 4}\) cuiusvis numeri qui dividatur integraliter per 4, cui cum⁹¹⁴ superaddideris 2 veniet numerus qui dividetur⁹¹⁵ integraliter per 2 que sunt super 3 de \({2 \over 3}\). Sitque numerus ille 8, super \({3 \over 4}\) cuius, scilicet super 6, adde 2 in quibus \({2 \over 3}\) bizantiorum secundi excedunt \({3 \over 4}\) bizantiorum primi: erunt 8, que 8 sunt \({2 \over 3}\) alicuius integri numeri, quem invenies cum multiplicaveris dimidium de 8, scilicet 4, in 3; quare numerus ille est 12par 575 Et quia \({3 \over 4}\) de 8 sunt 2 minus de \({2 \over 3}\) de 12, habet primus homo bizantios 8 et secundus 12; quorum \({1 \over 3}\), scilicet 4, additis super 8, reddit 12 pro pretio primi equi; cum quibus additis 2 reddunt 14 pro pretio secundi.

576 Item quia \({3 \over 4}\) de 16, scilicet 12, sunt 2 minus de \({2 \over 3}\) de 21, potest primus homo habere bizantios 16 et secundus bizantios 21. Et primus equus valeret 23, secundus 25. Et sic possemus infinitos numeros habere pro bizantiis uniuscuiusque, cum infiniti sint numeri qui sunt in dicta proportione, scilicet quod \({3 \over 4}\) unius sint 2 minus de \({2 \over 3}\) alterius.

577

primus homo cum secundus equus valeat 3 plus primo 20 secundus 27 primus equus 29 secundus 32

⁹¹⁶ Et si pretium secundi equi esset 3 plus pretio primi, invenires duos numeros quorum \({3 \over 4}\) unius essent 3 minus de \({2 \over 3}\) alterius; qui numeri similiter infiniti sunt, ex quibus unus est 20, alius 27; quare primus haberet bizantios 20, alius 27 et pretium primi equi esset 29, secundi 32.

578 De tribus hominibus et tribus equis, cum unus petat aliis⁹¹⁷ per ordinem, secundum regulam proportionum

Item homines sint tres, et equi similiter sint tres⁹¹⁸, quorum secundus valeat 2 plus primo et tertius valeat 3 plus quam secundus, scilicet 5 plus quam primus. Et primus homo cum \({1 \over 3}\) bizantiorum secundi habeat pretium primi equi; secundus cum \({1 \over 4}\) bizantiorum tertii habeat pretium secundi equi; tertius cum \({1 \over 5}\) bizantiorum primi habet pretium tertii equi. Queruntur in integrum bizantii uniuscuiusque hominis et equi.

579 Quia primus cum \({1 \over 3}\) bizantiorum secundi habet pretium primi equi et secundus cum \({1 \over 4}\) bizantiorum tertii habet pretium secundi equi, sunt ergo bizantii primi hominis cum \({1 \over 3}\) bizantiorum secundi bizantii 2 minus de bizantiis secundi hominis cum \({1 \over 4}\) bizantiorum tertii. Quare bizantii primi hominis sunt 2 minus de \({2 \over 3}\) bizantiorum secundi et de \({1 \over 4}\) bizantiorum tertii. 580 Item quia secundus cum \({1 \over 4}\) bizantiorum tertii habet pretium secundi equi et tertius homo cum \({1 \over 5}\) bizantiorum primi habeat pretium tertii equi, ergo secundus cum \({1 \over 4}\) bizantiorum tertii habet 3 minus quam tertius homo cum \({1 \over 5}\) bizantiorum primi. Unde⁹¹⁹ bizantii secundi hominis sunt 3 minus de \({3 \over 4}\) bizantiorum tertii et de \({1 \over 5}\) bizantiorum primi. 581 Rursus quia tertius homo cum \({1 \over 5}\) bizantiorum primi habet pretium tertii equi et primus cum \({1 \over 3}\) bizantiorum secundi habet pretium primi equi, ergo tertius homo cum \({1 \over 5}\) bizantiorum primi habet 5 plus quam primus cum \({1 \over 3}\) bizantiorum secundi. Unde bizantii tertii hominis sunt 5 plus⁹²⁰ de \({4 \over 5}\) bizantiorum primi et de \({1 \over 3}\) bizantiorum secundi. 582 His itaque intellectis, studeas invenire proportionem quam habent bizantii primi hominis ad bizantios secundi. Sunt enim bizantii primi 2 minus de \({2 \over 3}\) bizantiorum secundi et de \({1 \over 4}\) bizantiorum tertii hominis. Et quia bizantii tertii hominis sunt 5 plus de \({4 \over 5}\) bizantiorum primi et de \({1 \over 3}\) bizantiorum secundi, erit \({1 \over 4}\) de bizantiis tertii hominis \({1 \over 4}\) 1 plus de \({1 \over 5}\) bizantiorum primi et de \({1 \over 12}\) bizantiorum secundi; ergo bizantii primi hominis sunt 2 minus de \({2 \over 3}\) bizantiorum secundi et \({1 \over 4}\) 1⁹²¹ plus de \({1 \over 5}\) bizantiorum suorum et de \({1 \over 12}\) bizantiorum secundi. 583 Quare extracto \({1 \over 4}\) 1 de 2, remanebunt bizantii primi hominis minus \({3 \over 4}\) unius bizantii de \({2 \over 3}\) et \({1 \over 12}\) secundi⁹²² hominis et de \({1 \over 5}\) bizantiorum suorum; quare \({4 \over 5}\) bizantiorum primi hominis sunt \({3 \over 4}\) unius bizantii minus de \({2 \over 3}\) et \({1 \over 12}\), scilicet de \({3 \over 4}\) bizantiorum secundi. Unde si reperiantur duo numeri, quorum \({4 \over 5}\) unius sint \({3 \over 4}\) unius bizantii minus de \({3 \over 4}\) bizantiorum alterius, habebis bizantios primi et secundi hominis.

584 Quos numeros invenies sic: quia \({3 \over 4}\)⁹²³ unius bizantii suprascripti dividuntur per 3, ita quod non frangitur aliqua ex ipsis tribus quartis, invenias numerum quorum \({4 \over 5}\) dividantur integraliter per 3; eritque numerus ille 15, cuius \({4 \over 5}\) sunt 12. Cum quibus adde \({3 \over 4}\) unius bizantii; erunt \({3 \over 4}\) 12, que \({3 \over 4}\) 12 sunt \({3 \over 4}\) alicuius integri numeri, quem invenies esse 17, cum multiplicaveris \({3 \over 4}\) 12 per 4 et divides per 3. 585 Ergo primus homo habet bizantios 15 et secundus 17, si 17 haberet tertiam in integrum, quam petit ei primus. Unde invenies alios duos numeros, quorum \({4 \over 5}\) unius sint minus \({3 \over 4}\) unius bizantii de \({3 \over 4}\) alterius, et secundus numerus dividatur integraliter per 3; eruntque 30 et 33. 586 Ergo primus habet 30, secundus 33; quorum \({1 \over 3}\), scilicet

primus homo 30 secundus 33 tertius 40 primus equus 41 secundus 43 tertius 46

⁹²⁴ 11, addita super 30, reddit bizantios 41 pro pretio primi equi. Cum quibus adde bizantios 2: erunt bizantii 43 pro pretio secundi equi. Et quia secundus homo cum \({1 \over 4}\) bizantiorum tertii habet pretium secundi equi, scilicet 43, ergo differentia que est a 33 usque in 43, scilicet 10, erit \({1 \over 4}\) bizantiorum tertii hominis. 587 Quare tertius homo habet bizantios 40, cum quibus addita \({1 \over 5}\) de bizantiis primi hominis, scilicet de 30, reddunt bizantios 46 pro pretio tertii equi. Potes enim infinitos numeros habere pro bizantiis illorum, cum infiniti sint numeri ex quibus \({4 \over 5}\) unius sint \({3 \over 4}\) unius integri minus de \({3 \over 4}\) alterius.

588 Et si secundus equus valeret 2 plus primo, ut diximus, et tertius valeret 4 plus secundo, scilicet 6 plus primo, invenires suprascriptis dispositis quod \({4 \over 5}\) bizantiorum primi essent \({1 \over 2}\) unius bizantii minus de \({3 \over 4}\) bizantiorum alterius. De qua re si regulam habere vis⁹²⁵, considera quod⁹²⁶ secundus homo petat tertio. 589 Petit enim ei \({1 \over 4}\); pro qua \({1 \over 4}\)⁹²⁷ accipe \({1 \over 4}\) de 6, in quibus pretium

cum tertius equus valeat 6 plus primo primus homo primus equus 5 7 secundus secundus 6 9 tertius tertius 12 13

⁹²⁸ tertii equi excedit pretium primi; erit \({1 \over 2}\) 1, que extrahe de 2, in quibus pretium secundi equi excedit pretium primi: remanebit ipsum⁹²⁹ \({1 \over 2}\), in quo \({3 \over 4}\) bizantiorum secundi excedit \({4 \over 5}\) bizantiorum primi. In qua proportione infinitos potes reperire integros numeros, ex quibus primi sunt 5 et 6; cum quibus reperies quod tertius homo habet bizantios 12 et pretium primi equi est 7, secundi 9, tertii 13. 590 Et si pretium tertii⁹³⁰

cum tertius equus valeat 8 plus primo primus homo primus equus 45 61 secundus secundus 48 63 tertius tertius 60 69

⁹³¹ equi excederet bizantiis 8 pretium primi; cum \({1 \over 4}\) ipsorum 8, scilicet 2, fuerint extracta de 2 in quibus pretium secundi equi excedit pretium primi, remanebunt tantum \({4 \over 5}\) bizantiorum primi hominis esse \({3 \over 4}\) bizantiorum secundi. Quare primus haberet 45, secundus 48, et pretium primi equi esset 61; et tertius homo haberet 60, et pretium secundi equi esset 63, tertii 69.

591 Rursus si pretium tertii equi excederet bizantiis 10 pretium primi; cum \({1 \over 4}\) ipsorum, scilicet \({1 \over 2}\) 2,

cum tertius equus valeat 10 plus primo primus primus equus 40 54 secundus secundus 42 56 tertius tertius 56 64

⁹³² sint \({1 \over 2}\) plus de 2 in quibus secundus equus excedit primum, erunt \({4 \over 5}\) bizantiorum primi \({1 \over 2}\) unius bizantii plus de \({3 \over 4}\) bizantiorum secundi. 592 In qua proportione infinitos poteris in integrum invenire numeros, ex quibus sunt 40 et 42; quare primus habet 40, secundus 42, tertius 56. Et primus equus valeret 54, secundus 56, tertius 64. In hac enim questione ad impediendum ipsum quem interrogaveris, poteris adiungere quod tertius homo habeat pretium secundi equi; et tunc in aliis numeris preter quam in suprascriptis hec questio nullatenus poterit⁹³³ solvi.

593 De quattuor hominibus et quattuor equis per eandem regulam proportionum

Item homines sint 4 et⁹³⁴ equi sint 4; et primus cum \({1 \over 3}\) bizantiorum secundi emat primum equum, et secundus cum \({1 \over 4}\) bizantiorum tertii emat secundum, et tertius cum \({1 \over 5}\) bizantiorum quarti emat tertium, et quartus cum \({1 \over 6}\) bizantiorum primi emat quartum equum. Et valeat secundus equus bizantios 2 plus primo, tertius bizantios 3 plus secundo, scilicet 5 plus primo, quartus bizantios 5 plus tertio, scilicet bizantios 10 plus primo.

594 Si secundum positiones petitionum⁹³⁵ ipsorum⁹³⁶ et secundum pretia equorum modo suprascripto considerare sciveris, invenies quod primus habet bizantios 2 minus de \({2 \over 3}\) bizantiorum secundi et de \({1 \over 4}\) bizantiorum tertii, et secundus habet \({3 \over 4}\) bizantiorum tertii et \({1 \over 5}\) bizantiorum quarti minus bizantiis 3, et tertius habet \({4 \over 5}\) bizantiorum quarti et \({1 \over 6}\) bizantiorum primi minus bizantiis 5, et quartus habet bizantios 10 plus de \({5 \over 6}\) primi hominis et de \({1 \over 3}\) secundi. 595 Et quia primus habet 2 minus de \({2 \over 3}\) secundi et de \({1 \over 4}\) bizantiorum tertii, redigemus hanc \({1 \over 4}\) bizantiorum tertii in portiones quarti hominis et primi. Sunt enim omnes bizantii tertii hominis bizantii 5 minus de \({4 \over 5}\) bizantiorum quarti et de \({1 \over 6}\) bizantiorum primi; quare \({1 \over 4}\) bizantiorum tertii sunt minus quarta parte bizantiorum 5⁹³⁷, scilicet \({1 \over 4}\) 1, de quarta parte de \({4 \over 5}\) bizantiorum quarti et de quarta parte de \({1 \over 6}\) bizantiorum primi. 596 Ergo bizantii primi hominis sunt bizantii 2 minus de \({2 \over 3}\) bizantiorum secundi, et \({1 \over 4}\) 1 minus de \({1 \over 5}\) bizantiorum quarti et de \({1 \over 24}\) bizantiorum suorum; quare si comuniter auferatur \({1 \over 24}\) bizantiorum primi, tunc \({23 \over 24}\) bizantiorum primi erunt bizantii \({1 \over 4}\) 3 minus de \({2 \over 3}\) bizantiorum secundi et de \({1 \over 5}\) bizantiorum quarti. 597 Quam \({1 \over 5}\) bizantiorum quarti rediges iterum in partes primi et secundi. Sunt enim bizantii quarti hominis bizantii 10 plus de \({5 \over 6}\) bizantiorum primi et de \({1 \over 3}\) bizantiorum secundi; quare \({1 \over 5}\) bizantiorum quarti est bizantii 2 plus de \({1 \over 6}\) bizantiorum primi et de \({1 \over 15}\) bizantiorum secundi. Ergo \({23 \over 24}\) bizantiorum primi sunt \({1 \over 4}\) 3 minus et bizantii 2 plus de \({1 \over 15}\) \({2 \over 3}\), scilicet de \({11 \over 15}\), bizantiorum secundi, et de \({1 \over 6}\) bizantiorum suorum. 598 Unde extractis bizantiis 2, qui sunt plus, de bizantiis \({1 \over 4}\) 3 qui sunt minus, et

primus homo 54 secundus 60 tertius 64 quartus 75 primus equus 74 secundus 76 tertius 79 quartus 84

⁹³⁸ \({1 \over 6}\) bizantiorum primi de \({23 \over 24}\) bizantiorum ipsius, remanebunt \({19 \over 24}\) bizantiorum primi quantum \({11 \over 15}\) bizantiorum secundi minus bizantiis \({1 \over 4}\) 1. Quare invenies duos numeros, quorum \({19 \over 24}\) unius sint \({1 \over 4}\) 1 minus de \({11 \over 15}\) alterius, quos invenies sic: primum invenies numerum, ex quo cum acceperis \({19 \over 24}\) ipsius et super ipsum addideris \({1 \over 4}\) 1, facient integrum numerum qui dividatur per 11 integraliter. 599 Eritque numerus ipse 54, cuius \({19 \over 24}\) sunt \({3 \over 4}\) 42, cum quibus addito \({1 \over 4}\) 1 faciunt 44, quorum \({1 \over 11}\), que est 4, multiplica per 15: reddet pro alio numero 60. Ergo primus habet bizantios 54, secundus 60; quorum tertia, scilicet 20, addita cum 54, reddit bizantios 74⁹³⁹ pro pretio primi equi. Per quorum inventionem invenies bizantios tertii hominis esse 64, quarti 75, pretium secundi equi 76, tertii 79, quarti 84.

600 Et nota quod si \({1 \over 5}\) de bizantiis 10, in quibus pretium quarti equi excedit pretium primi, esset equalis de bizantiis \({1 \over 4}\) 3 suprascriptis, remanent \({19 \over 24}\) bizantiorum primi quantum \({11 \over 15}\) bizantiorum secundi; et si esset plus dicta \({1 \over 5}\) de \({1 \over 4}\) 3, hoc est quod in loco decenarii ex positione alicuius alie similis questionis caderet aliquis numerus maior de 10, cuius \({1 \over 5}\) esset plus de \({1 \over 4}\) 3, tunc remanerent \({19 \over 24}\) bizantiorum primi quantum \({11 \over 15}\) bizantiorum secundi, et plus hoc quod esset \({1 \over 5}\) ipsius numeri magis de bizantiis \({1 \over 4}\) 3 predictis.

601 De quinque hominibus et totidem equis secundum eandem regulam

Item homines sint quinque et equi similiter. Et primus petat secundo \({1 \over 3}\), secundus tertio \({1 \over 4}\), tertius quarto \({1 \over 5}\), quartus quinto \({1 \over 6}\), quintus primo \({1 \over 7}\). Et sic emat primus primum equum, secundus secundum equum qui valet bizantios 2 plus primo, et tertius⁹⁴⁰ tertium qui valet bizantios 3 plus pretio secundi, et quartus emat quartum qui valet bizantios 5 plus tertio, et quintus homo emat quintum equum qui valet bizantios 7 plus quarto, scilicet bizantios 17 plus primo.

602 Invenies quidem ordine demonstrato, qualiter bizantii primi sunt bizantii 2 minus de \({2 \over 3}\) bizantiorum secundi et de \({1 \over 4}\) bizantiorum tertii. Et qualiter bizantii secundi sunt 3 minus de \({3 \over 4}\) bizantiorum tertii et de \({1 \over 5}\) bizantiorum quarti; etiam et qualiter bizantii tertii hominis sunt bizantii 5 minus de \({4 \over 5}\) bizantiorum quarti et de \({1 \over 6}\) bizantiorum quinti; etiam et qualiter bizantii quarti hominis sunt bizantii 7 minus de \({5 \over 6}\) bizantiorum quinti et de \({1 \over 7}\) bizantiorum primi, et qualiter bizantii quinti hominis sunt bizantii 17 plus de \({6 \over 7}\) bizantiorum primi et de \({1 \over 3}\) bizantiorum secundi. 603 Tunc studebis redigere \({1 \over 4}\) bizantiorum tertii in partes bizantiorum primi et secundi. Sunt enim omnes bizantii tertii hominis 5 minus de \({4 \over 5}\) bizantiorum quarti et de \({1 \over 6}\) bizantiorum quinti; quare \({1 \over 4}\) bizantiorum tertii sunt \({1 \over 4}\) 1 minus de \({1 \over 5}\)⁹⁴¹ bizantiorum quarti et de \({1 \over 24}\) bizantiorum quinti. Ergo bizantii⁹⁴² primi hominis sunt 2 minus de \({2 \over 3}\) bizantiorum secundi et \({1 \over 4}\) 1 minus de \({1 \over 5}\) bizantiorum quarti et de \({1 \over 24}\) bizantiorum quinti; hoc est bizantii primi hominis sunt \({1 \over 4}\) 3 minus de \({2 \over 3}\) secundi et de \({1 \over 5}\) quarti et de \({1 \over 24}\) quinti. 604 Sunt enim omnes bizantii quarti hominis 7⁹⁴³ minus de \({5 \over 6}\) bizantiorum quinti et de \({1 \over 7}\) bizantiorum primi; quare \({1 \over 5}\) bizantiorum quarti sunt \({2 \over 5}\) 1 minus de \({1 \over 6}\) bizantiorum quinti et de \({1 \over 35}\) bizantiorum primi. Ergo bizantii primi hominis sunt \({1 \over 4}\) 3 et \({2 \over 5} 1\), scilicet \({13 \over 20}\) 4 minus de \({2 \over 3}\) bizantiorum secundi et de \({1 \over 24}\) et \({1 \over 6}\) bizantiorum quinti et de \({1 \over 35}\) bizantiorum suorum. 605 Quare si comuniter auferatur \({1 \over 35}\) bizantiorum primi, tunc \({34 \over 35}\) bizantiorum eius erunt bizantii \({13 \over 20}\) 4 minus de \({2 \over 3}\) bizantiorum secundi et de \({5 \over 24}\) bizantiorum quinti. Et quoniam omnes bizantii quinti hominis sunt 17 plus de \({6 \over 7}\) bizantiorum primi et de \({1 \over 3}\) bizantiorum secundi, ergo \({5 \over 24}\) bizantiorum quinti erunt \({5 \over 24}\) de bizantiis 17, scilicet bizantii \({13 \over 24}\) 3⁹⁴⁴ plus de \({5 \over 24}\) de \({6 \over 7}\) bizantiorum primi et de \({5 \over 24}\) de \({1 \over 3}\) bizantiorum secundi. 606 Nam \({5 \over 24}\) de \({6 \over 7}\) bizantiorum primi sunt \({5 \over 28}\) bizantiorum ipsius, et \({5 \over 24}\) de \({1 \over 3}\) bizantiorum secundi sunt \({5 \over 72}\) ipsius. Quare \({34 \over 35}\) bizantiorum primi sunt bizantii \({13 \over 20}\) 4 minus de \({2 \over 3}\) bizantiorum secundi, et plus \({13 \over 24}\) 3 de \({5 \over 28}\) bizantiorum ipsius et de \({5 \over 72}\) bizantiorum secundi; quare extractis \({5 \over 28}\) bizantiorum primi de \({34 \over 35}\) bizantiorum ipsius, remanebunt \({111 \over 140}\) eiusdem, qui \({111 \over 140}\) sunt \({13 \over 20}\) 4 minus et \({13 \over 24}\) 3 plus de \({53 \over 72}\) secundi. 607 Quare extractis \({13 \over 24}\) 3 de \({13 \over 20}\)⁹⁴⁵ 4, remanebunt \({13 \over 120}\) 1; ergo \({111 \over 140}\) bizantiorum primi sunt bizantii \({13 \over 120}\) 1⁹⁴⁶ minus de \({53 \over 72}\) bizantiorum secundi. Quare pro bizantiis primi et secundi hominis⁹⁴⁷ reperiendi sunt duo numeri, quorum \({111 \over 140}\) unius sint \({13 \over 120}\) 1 minus de \({53 \over 72}\) alterius; eruntque 1589 et 1713, qui reperiuntur sic: quia \({111 \over 140}\) unius sunt minus \({13 \over 120}\) 1 de \({53 \over 72}\) alterius, oportet ut reperiatur numerus, de quo acceptis \({111 \over 140}\) et addito \({13 \over 120}\) 1 super ipsas⁹⁴⁸, faciant numerum qui dividatur integraliter per 53. 608 Quem numerum invenire non poteris, nisi querendo per numeros qui sunt integra pars vel partes de 140; et quia super \({111 \over 140}\) oportet addere \({13 \over 120}\) 1, inveniendus est maior numerus in quo 140 et 120 integraliter dividantur, qui numerus est 20. In quo divide 140; exibunt 7, a quibus incipies querere numeros suprascriptos, scilicet pones quod primus numerus sit 7, quorum \({111 \over 140}\) sunt vigesima de 111, sicut 7 sunt vigesima pars de 140. 609 Vigesima enim pars de 111 est \({111 \over 20}\); ex quibus fac centesimas vigesimas. Et quoniam unaqueque vigesima est \({6 \over 120}\), ergo \({111 \over 20}\) sunt \({666 \over 120}\). Deinde divide \({13 \over 120}\) 1, scilicet \({133 \over 120}\)⁹⁴⁹, per 53, ut scias quid ex ipsa divisione remaneat. Divisis enim 133 per 53, remanent 27, a quibus usque in 53 desunt 26, et tot oportet superare de \({111 \over 140}\) illius numeri quem in portione primi posueris. 610 Unde dividas \({111 \over 140}\) positorum 7 pro primo numero, scilicet \({666 \over 120}\) per 53, videns quid ex ipsa divisione remaneat. Remanent enim 30; que 30 cum non sint 26 ut oportet, pones in portione primi hominis alia 7 super priora 7, ex quibus accipe \({111 \over 140}\); erunt duplum de \({666 \over 120}\), quibus divisis per 53 remanent duplum de 30, scilicet 60; quibus 60 divisis per 53 remanent 7. 611 Que cum non⁹⁵⁰ sint 26, triplicabis ipsa 30, vel quadruplicabis⁹⁵¹, vel per 5 multiplicabis, vel per alium numerum, donec ex multiplicatione proveniat numerus qui cum divisus fuerit⁹⁵² per 53 remaneat 26. Ergo multiplicabis 30 per 15: erunt 450, quibus divisis⁹⁵³ per 53, remanent 26, ut oportet. Quare pones pro quantitate primi numeri quindecies 7, scilicet 105, de quibus accipe \({111 \over 140}\), scilicet quindecies \({11 \over 20}\) 5, hoc est \({1 \over 4}\) 83, et adde super ipsa \({13 \over 120}\) 1; erunt \({43 \over 120}\) 84, que divide per 53⁹⁵⁴; venit \({71 \over 120}\) 1⁹⁵⁵, per que multiplica 72 sic: 612 multiplicatio de 1 in 72 facit 72; et multiplicatio de \({1 \over 120}\) in 72 facit \({3 \over 5}\), cum 72 sint \({3 \over 5}\) de 120. Quare multiplicatio de \({71 \over 120}\) in 72 facit septuaginta unam vices \({3 \over 5}\), scilicet quintas 213, que sunt integra \({3 \over 5}\) 42; quibus additis cum 72 reddent⁹⁵⁶ pro secundo numero \({3 \over 5}\) 114. Qui numerus cum non sit integer, oportet ut super 105 ponamus totiens 7 et 7, donec habeamus secundum numerum in⁹⁵⁷ integrum. 613 Unde si addemus semel 7 super 105, remanebunt ex \({111 \over 140}\) ipsorum 7 ut prediximus \({30 \over 120}\), cum divise fuerint per 53. Quare si super 105 predictis posuerimus bis 7, remanebunt bis 30 ex divisione de \({111 \over 140}\) ipsorum 14 per 53. Quare ex triplo septenario remanebunt ter 30, et cum non oporteat aliquid remanere ex ipsa divisione, pone super ipsa 105 quinquaginta tres vices 7, scilicet 371; et sic habebis pro primo numero 476. 614 Et cum \({111 \over 140}\) ipsorum 476 fuerint additi cum \({13 \over 120}\)⁹⁵⁸ 1 et multiplicata⁹⁵⁹ \({1 \over 53}\) ipsorum per 72 non faciant integrum numerum, oportet iterum super 476 addere 371 semel, bis, et donec procreetur numerus cuius \({111 \over 140}\) et \({13 \over 120}\)⁹⁶⁰ 1 additis, et multiplicata⁹⁶¹ \({1 \over 53}\) ipsorum per 72 faciat integrum numerum. 615 Unde si super 476 addideris ter 371, scilicet 1113, venient

primus homo primus equus 1589 2160 secundus secundus 1713 2162 tertius tertius 1796 2165 quartus quartus 1845 2170 quintus quintus 1950 2177

⁹⁶² 1589, quorum \({111 \over 140}\) acceptis et eis⁹⁶³ superaddito \({13 \over 120}\) 1 et eorum \({1 \over 53}\) multiplicata⁹⁶⁴ per 72, procreantur pro secundo numero 1713. Ergo primus homo habet 1589, secundus 1713. Quorum 1713 tertia parte, scilicet 571, addita cum bizantiis primi hominis, scilicet cum 1589, venit 2160 pro pretio primi equi; quare pretium secundi equi erit 2162, pretium quoque tertii 2165, pretium quarti 2170, pretium quinti 2177. Et tertius homo habebit⁹⁶⁵ 1796, quartus 1845, quintus 1950.

616 Modus alius, cum unusquisque petit duobus illorum per ordinem in questione quattuor hominum et unius equi

Quattuor homines bizantios habentes equum emere voluerunt; ex quibus primus petit secundo et tertio homini \({1 \over 3}\), secundus tertio et quarto petit \({1 \over 4}\), tertius quarto et primo querit \({1 \over 5}\), quartus quoque primo et secundo querit \({1 \over 6}\) suorum bizantiorum, et sic unusquisque proponit ipsum emere equum.

617 Quia primus cum \({1 \over 3}\) bizantiorum secundi et tertii hominis proponit ipsum emere equum sicut secundus cum \({1 \over 4}\) bizantiorum tertii et quarti et sicut tertius homo cum \({1 \over 5}\) bizantiorum quarti et primi et sicut quartus cum \({1 \over 6}\) bizantiorum primi et secundi, ergo primus cum \({1 \over 3}\) bizantiorum secundi et tertii habet tantum quantum secundus cum \({1 \over 4}\) bizantiorum tertii et quarti, et quantum tertius cum \({1 \over 5}\) bizantiorum quarti et primi, et quantum quartus cum \({1 \over 6}\) bizantiorum primi et secundi. 618 Et quoniam primus cum \({1 \over 3}\) bizantiorum secundi et tertii habet quantum secundus cum \({1 \over 4}\) bizantiorum tertii et quarti, si de secundo auferatur \({1 \over 3}\) bizantiorum suorum, remanebit primus cum \({1 \over 3}\) bizantiorum tertii equalis de \({2 \over 3}\) bizantiorum secundi cum \({1 \over 4}\) bizantiorum tertii et quarti. Unde si de \({1 \over 3}\) bizantiorum tertii auferatur \({1 \over 4}\) bizantiorum tertii, remanebit primus cum \({1 \over 12}\) bizantiorum tertii equalis de \({2 \over 3}\) bizantiorum secundi⁹⁶⁶ cum \({1 \over 4}\) bizantiorum quarti.

619 Similiter, eisdem dispositis, invenies secundum hominem habere cum \({1 \over 20}\) bizantiorum quarti quantum \({3 \over 4}\) bizantiorum tertii⁹⁶⁷ cum \({1 \over 5}\) bizantiorum primi. Etiam invenies tertium hominem cum \({1 \over 30}\) bizantiorum primi habere quantum \({4 \over 5}\) bizantiorum quarti⁹⁶⁸ cum \({1 \over 6}\)⁹⁶⁹ bizantiorum secundi. 620 Item quia quartus cum \({1 \over 6}\) bizantiorum primi et secundi habet quantum primus cum \({1 \over 3}\) bizantiorum secundi et tertii, si de primo auferatur \({1 \over 6}\) bizantiorum suorum, remanebit quartus cum \({1 \over 6}\) bizantiorum secundi equalis de \({5 \over 6}\) bizantiorum primi cum \({1 \over 3}\) bizantiorum secundi et tertii. Quare si de \({1 \over 3}\) bizantiorum secundi auferatur \({1 \over 6}\) bizantiorum ipsius, remanebit quartus homo equalis de \({5 \over 6}\) bizantiorum primi et de \({1 \over 6}\) bizantiorum secundi et de \({1 \over 3}\) bizantiorum tertii. 621 Rursus quia primus cum \({1 \over 12}\) bizantiorum tertii habet quantum \({2 \over 3}\) bizantiorum secundi cum \({1 \over 4}\) bizantiorum quarti, hanc \({1 \over 4}\) bizantiorum quarti rediges in partes primi et secundi sic: quia omnes bizantii quarti hominis sunt \({5 \over 6}\) bizantiorum primi et \({1 \over 6}\) bizantiorum secundi et \({1 \over 3}\) bizantiorum tertii, ergo quarta pars bizantiorum quarti est \({1 \over 4}\) de \({5 \over 6}\), scilicet \({5 \over 24}\) bizantiorum primi, et \({1~~0 \over 4~~6}\) bizantiorum secundi, scilicet \({1 \over 24}\), et \({1 \over 4}\) de \({1 \over 3}\), scilicet \({1 \over 12}\) bizantiorum tertii. 622 Ergo bizantii primi hominis cum \({1 \over 12}\) bizantiorum tertii sunt \({2 \over 3}\) et \({1 \over 24}\) bizantiorum secundi et \({1 \over 12}\) bizantiorum tertii et \({5 \over 24}\) bizantiorum suorum; unde si ex utraque parte relinquatur \({1 \over 12}\) bizantiorum tertii et \({5 \over 24}\) bizantiorum primi, remanebunt \({19 \over 24}\) bizantiorum primi equales de \({1 \over 24}\) \({2 \over 3}\), scilicet de \({17 \over 24}\) bizantiorum secundi. Quare inveniendi sunt duo numeri, quorum \({19 \over 24}\) unius sint \({17 \over 24}\) alterius, eruntque 17 et 19; quare bizantii primi hominis sunt ad bizantios⁹⁷⁰ secundi in ipsa proportione in qua sunt 17 ad 19.

623 Deinde ut invenias proportionem quam primus vel secundus habet ad bizantios tertii, considerabis⁹⁷¹ qualiter primus cum \({1 \over 3}\) bizantiorum secundi et tertii hominis sunt quantum bizantii tertii hominis cum \({1 \over 5}\) bizantiorum quarti et primi, ut superius demonstravimus. Quare si auferatur comuniter \({1 \over 3}\) bizantiorum tertii et \({1 \over 5}\) bizantiorum primi, remanebunt \({4 \over 5}\) bizantiorum primi cum \({1 \over 3}\) bizantiorum secundi equales de \({2 \over 3}\) bizantiorum tertii et de \({1 \over 5}\) bizantiorum quarti. 624 Ostensum est autem quod bizantii quarti hominis sunt \({5 \over 6}\) bizantiorum primi et \({1 \over 6}\) bizantiorum secundi et \({1 \over 3}\) bizantiorum tertii; quare \({1 \over 5}\) bizantiorum quarti est \({1 \over 5}\) de \({5 \over 6}\), scilicet \({1 \over 6}\) bizantiorum primi, et est \({1~~0 \over 5~~6}\), scilicet \({1 \over 30}\) bizantiorum secundi, et \({1 \over 5}\) de \({1 \over 3}\), scilicet \({1 \over 15}\) bizantiorum tertii. Et quia \({2 \over 3}\) bizantiorum tertii cum \({1 \over 5}\) bizantiorum quarti est quantum \({4 \over 5}\) bizantiorum primi cum \({1 \over 3}\) bizantiorum secundi, ergo \({2 \over 3}\) bizantiorum tertii cum \({1 \over 6}\) bizantiorum primi et cum \({1 \over 30}\) bizantiorum secundi et cum \({1 \over 15}\) bizantiorum suorum, scilicet tertii, sunt quantum \({4 \over 5}\) bizantiorum primi cum \({1 \over 3}\) bizantiorum secundi. 625 Verum \({1 \over 15}\) \({2 \over 3}\) bizantiorum tertii sunt \({11 \over 15}\) bizantiorum ipsius; quare \({11 \over 15}\) bizantiorum tertii cum \({1 \over 6}\) bizantiorum primi et cum \({1 \over 30}\) bizantiorum secundi sunt quantum \({4 \over 5}\) bizantiorum primi cum \({1 \over 3}\) bizantiorum secundi. Quare si de \({4 \over 5}\) bizantiorum primi auferatur \({1 \over 6}\) bizantiorum ipsius, remanebunt \({19 \over 30}\). Similiter si de \({1 \over 3}\) bizantiorum secundi auferatur \({1 \over 30}\) bizantiorum ipsius, remanebunt \({9 \over 30}\). Unde \({11 \over 15}\) bizantiorum tertii sunt \({19 \over 30}\) bizantiorum primi et \({9 \over 30}\) bizantiorum secundi. 626 Demonstratum est igitur quod \({19 \over 24}\) bizantiorum primi sunt \({17 \over 24}\) bizantiorum secundi. Et quia partes ipsorum sunt ex eodem numero, scilicet de 24, erunt similiter 19 partes quelibet bizantiorum primi 17 partes ex eisdem partibus bizantiorum secundi. Quare \({19 \over 30}\) bizantiorum primi⁹⁷² sunt \({17 \over 30}\) bizantiorum secundi; et quia \({11 \over 15}\) bizantiorum tertii sunt \({19 \over 30}\) bizantiorum primi et \({9 \over 30}\) bizantiorum secundi, erunt similiter ipse \({11 \over 15}\) bizantiorum tertii \({17 \over 30}\) bizantiorum secundi et⁹⁷³ \({9 \over 30}\) bizantiorum secundi. 627 Verum \({17 \over 30}\) et \({9 \over 30}\) bizantiorum secundi sunt \({26 \over 30}\), scilicet \({13 \over 15}\) bizantiorum ipsius; ergo \({13 \over 15}\) bizantiorum secundi sunt \({11 \over 15}\) bizantiorum tertii. Quare reperiendi sunt duo numeri, quorum \({13 \over 15}\) unius sint \({11 \over 15}\) alterius; eruntque 11 et 13. Ergo sicut 11 est ad 13, ita bizantii secundi hominis sunt ad bizantios tertii.

628 Sunt enim et bizantii secundi hominis ad bizantios primi ut 19 est ad 17. Quare reperiendi sunt tres numeri, quorum primus sit ad secundum sicut 17 est ad 19 et secundus ad tertium sit sicut 11 est ad 13, quos invenies si multiplicabis proportionem quam secundus habet ad tertium per numerum proportionis quam primus habet ad secundum, scilicet 11 per 17: erunt 187, qui est primus numerus. Deinde multiplicabis numeros proportionum quas secundus numerus habet ad primum et ad tertium⁹⁷⁴, scilicet 19 per 11: erunt 209, qui est secundus numerus. 629 Rursus multiplicabis numerum⁹⁷⁵ proportionis quam secundus habet ad primum,

equus 339 primus secundus tertius quartus 187 209 247 273

⁹⁷⁶ scilicet 19, per numerum⁹⁷⁷ proportionis quam tertius habet ad secundum, scilicet per 13⁹⁷⁸: erunt 247. Ergo primus homo habet 187, secundus 209, tertius 247. Et quia primus homo petit secundo et tertio \({1 \over 3}\) bizantiorum suorum, adde bizantios secundi et tertii in unum, scilicet 209 et 247; erunt bizantii 456, quorum tertiam partem, scilicet 152, adde super bizantios primi hominis, scilicet super 187: erunt bizantii 339, et tot bizantios valuit equus. 630 Rursus quia secundus cum \({1 \over 4}\) bizantiorum tertii et quarti hominis proponit habere ipsos bizantios 339, scilicet pretium equi, extrahe bizantios secundi hominis de 339: remanent 130, qui sunt quartum de bizantiis tertii et quarti hominis; quare quadruplum de 130, scilicet 520, habent inter tertium et quartum hominem; ex quibus 520, cum tertius habeat 247, quartus homo habebit bizantios 273 qui sunt a bizantiis 247 usque in 520.

631 Modus alius de emptione equi inter tres homines secundum regulam proportionum

Tres homines equum emere volentes, primus et secundus petunt tertio homini \({1 \over 3}\) et proponunt ipsum emere equum; secundus quoque et tertius petunt primo \({1 \over 4}\); tertius et primus petunt secundo \({1 \over 5}\).

Quia primus et secundus cum \({1 \over 3}\) bizantiorum tertii habent quantum secundus et tertius cum \({1 \over 4}\) bizantiorum primi, scilicet pretium equi, si comuniter auferatur \({1 \over 4}\) bizantiorum primi et \({1 \over 3}\) bizantiorum tertii, remanebunt \({3 \over 4}\) bizantiorum primi cum bizantiis secundi quantum bizantii secundi cum \({2 \over 3}\) bizantiorum tertii. 632 Quare si comuniter auferantur bizantii secundi, remanebunt \({3 \over 4}\) bizantiorum primi quantum \({2 \over 3}\) bizantiorum tertii. Rursus quia secundus et tertius cum \({1 \over 4}\) bizantiorum primi habent quantum tertius et primus cum⁹⁷⁹ \({1 \over 5}\) bizantiorum secundi, si comuniter auferatur \({1 \over 4}\) bizantiorum primi et \({1 \over 5}\) bizantiorum secundi et bizantii⁹⁸⁰ tertii, remanebunt \({3 \over 4}\) bizantiorum primi quantum \({4 \over 5}\) bizantiorum secundi. Que \({3 \over 4}\) bizantiorum primi sunt \({2 \over 3}\) bizantiorum tertii.

633 Vel aliter: cum tertius dat \({1 \over 3}\) primo et secundo, remanent ei \({2 \over 3}\), que sunt residuum quod est a pretio equi usque in summam bizantiorum trium hominum; quod etiam residuum remanet primo, cum dat reliquis \({1 \over 4}\), quod residuum est \({3 \over 4}\) bizantiorum suorum. Similiter cum secundus dat \({1 \over 5}\) primo et tertio, remanent \({4 \over 5}\) suorum bizantiorum pro eodem residuo; ergo \({3 \over 4}\) bizantiorum primi sunt quantum \({4 \over 5}\) bizantiorum secundi, et quantum \({2 \over 3}\) bizantiorum tertii, ut prediximus.

634 Quare reperies tres numeros quorum \({3 \over 4}\) unius sint \({4 \over 5}\) alterius et \({2 \over 3}\) tertii numeri, quos invenies sic. Positis \({3 \over 4}\) et \({4 \over 5}\) et \({2 \over 3}\), multiplicabis 4 que sunt sub 3 per 4 que sunt super 5, que per 2 que sunt super 3: erunt 32. Item multiplicabis 5 per 3 que sunt super 4, que per 2 que sunt super 3: erunt 30. Item multiplicabis 3 que sunt sub 2 per 4 que sunt super 5, que per 3 que sunt super 4: erunt 36. 635 Et quoniam 32 et 30 et 36 dividuntur integraliter per 2, divide ipsa per 2 ut habeas ea in minoribus numeris, et habebis pro bizantiis primi 16, pro bizantiis secundi 15, pro bizantiis tertii 18. Additis⁹⁸¹ ergo \({1 \over 3}\) de bizantiis 18, scilicet 6, super bizantios primi et secundi, habebis⁹⁸² bizantios 37 pro pretio equi.