636 De quattuor hominibus, cum duo petant uni eorum per ordinem secundum eandem regulam

Item homines sint quattuor, et primus et secundus petant tertio \({1 \over 3}\), secundus et tertius quarto \({1 \over 4}\), tertius et quartus primo \({1 \over 5}\), quartus et primus secundo petant \({1 \over 6}\).

Quoniam primus et secundus cum \({1 \over 3}\) bizantiorum tertii habent quantum secundus et tertius cum \({1 \over 4}\) bizantiorum quarti, scilicet pretium equi, si comuniter auferantur bizantii secundi hominis et \({1 \over 3}\) bizantiorum tertii, invenies bizantios primi esse \({2 \over 3}\) bizantiorum tertii et \({1 \over 4}\) bizantiorum quarti. 637 Similiter, si de reliquis inspexeris, invenies bizantios secundi esse \({3 \over 4}\) bizantiorum quarti et \({1 \over 5}\) bizantiorum primi, et bizantios tertii esse \({4 \over 5}\) bizantiorum primi et \({1 \over 6}\) bizantiorum secundi, et bizantios quarti esse \({5 \over 6}\) bizantiorum secundi et \({1 \over 3}\) bizantiorum tertii. Sunt itaque, ut diximus, bizantii primi \({2 \over 3}\) bizantiorum tertii et \({1 \over 4}\) bizantiorum quarti⁹⁸³; bizantii⁹⁸⁴ vero tertii sunt \({4 \over 5}\) bizantiorum primi et \({1 \over 6}\) bizantiorum secundi. 638 Quare \({2 \over 3}\) bizantiorum tertii sunt \({2 \over 3}\) de \({4 \over 5}\) bizantiorum primi, scilicet \({8 \over 15}\), et sunt \({2~~0 \over 3~~6}\)⁹⁸⁵ bizantiorum secundi, scilicet \({1 \over 9}\); ergo bizantii primi hominis sunt \({8 \over 15}\) eiusdem et \({1 \over 9}\)⁹⁸⁶ bizantiorum secundi et \({1 \over 4}\) bizantiorum quarti. Quare si comuniter auferantur⁹⁸⁷ \({8 \over 15}\) bizantiorum primi, remanebunt \({7 \over 15}\) bizantiorum primi equales de \({1 \over 9}\) bizantiorum secundi et \({1 \over 4}\) bizantiorum quarti. 639 Et quoniam bizantii secundi hominis sunt \({3 \over 4}\) bizantiorum quarti et \({1 \over 5}\) bizantiorum primi, erit \({1 \over 9}\) bizantiorum secundi \({1 \over 9}\) de \({3 \over 4}\), scilicet \({1 \over 12}\) bizantiorum quarti, et \({1 \over 9}\) de \({1 \over 5}\) bizantiorum primi, scilicet \({1 \over 45}\). Quare \({7 \over 15}\) bizantiorum primi sunt \({1 \over 4}\) \({1 \over 12}\)⁹⁸⁸, scilicet \({1 \over 3}\) bizantiorum quarti, et \({1 \over 45}\) bizantiorum primi. Unde si comuniter auferatur \({1 \over 45}\) bizantiorum primi, remanebunt \({20 \over 45}\) bizantiorum primi quantum \({1 \over 3}\) bizantiorum quarti.

640

primus 15 secundus 18 tertius 15 quartus 20 equus 38

⁹⁸⁹ Quare invenias duos numeros, quorum \({20 \over 45}\), scilicet \({4 \over 9}\) unius, sint \({1 \over 3}\) alterius, eruntque 15 et 20; ergo primus habet 15 et quartus 20. Et quoniam primus habet quantum \({2 \over 3}\) bizantiorum tertii cum \({1 \over 4}\) bizantiorum quarti, si de bizantiis 15 primi hominis auferatur \({1 \over 4}\) de bizantiis 20 quarti homini, remanebunt 10 pro \({2 \over 3}\) bizantiorum tertii; quare tertius homo habet 15. 641 Et⁹⁹⁰ quoniam secundus habet quantum \({3 \over 4}\) bizantiorum quarti et \({1 \over 5}\) bizantiorum primi, accipe \({3 \over 4}\) de bizantiis 20 quarti hominis, scilicet 15, et adde cum \({1 \over 5}\) de bizantiis 15 primi: habebis 18 pro bizantiis secundi. Additis itaque bizantiis 15 primi cum bizantiis 18 secundi; erunt 33, cum quibus adde \({1 \over 3}\) bizantiorum tertii, scilicet 5: habebis 38 pro pretio equi.

642 De quinque hominibus et uno equo, cum tres petant uni eorum, secundum regulam proportionum

Rursus homines sint quinque, et primus et secundus et tertius petant quarto homini \({1 \over 4}\), secundus vero et tertius et quartus petant quinto \({1 \over 5}\), tertius namque et quartus et quintus petant primo \({1 \over 6}\), quartus quidem et quintus et primus petant secundo \({1 \over 7}\), quintus vero et primus et secundus petant tertio \({1 \over 8}\); et proponant ipsum equum emere.

643 Quoniam primus cum secundo et tertio et cum \({1 \over 4}\) bizantiorum quarti habet quantum secundus et tertius et quartus cum \({1 \over 5}\) bizantiorum quinti, si comuniter auferantur secundus et tertius et \({1 \over 4}\) bizantiorum quarti, remanebit primus equalis de \({3 \over 4}\) bizantiorum quarti cum \({1 \over 5}\) bizantiorum quinti. 644 Si de reliquis inspexeris, invenies secundum habere \({4 \over 5}\) bizantiorum quinti et \({1 \over 6}\) bizantiorum primi, et tertium habere \({5 \over 6}\) bizantiorum primi et \({1 \over 7}\) bizantiorum secundi, et quartum \({6 \over 7}\) bizantiorum secundi et \({1 \over 8}\) bizantiorum tertii. Et invenies similiter quintum hominem habere \({7 \over 8}\) bizantiorum tertii et \({1 \over 4}\) bizantiorum quarti. 645 Et quoniam primus habet \({3 \over 4}\) bizantiorum quarti et \({1 \over 5}\) bizantiorum quinti, et quartus habet \({6 \over 7}\) bizantiorum secundi et \({1 \over 8}\) bizantiorum tertii, erunt ergo \({3 \over 4}\) bizantiorum quarti \({3 \over 4}\) de \({6 \over 7}\) bizantiorum secundi et \({3~~0 \over 4~~8}\), scilicet \({3 \over 32}\) bizantiorum tertii. Nam \({3 \over 4}\) de \({6 \over 7}\) bizantiorum secundi sunt \({9 \over 14}\) bizantiorum ipsius; ergo primus habet \({9 \over 14}\) bizantiorum secundi et \({3 \over 32}\) bizantiorum tertii et \({1 \over 5}\) bizantiorum quinti. 646 Et quoniam bizantii tertii hominis sunt \({5 \over 6}\) bizantiorum primi et \({1 \over 7}\) bizantiorum secundi, ergo \({3 \over 32}\) bizantiorum tertii erunt \({3 \over 32}\) de \({5 \over 6}\) bizantiorum primi et \({3 \over 32}\) de \({1 \over 7}\) bizantiorum secundi. Nam \({3 \over 32}\) de \({5 \over 6}\) bizantiorum primi sunt \({5 \over 64}\) bizantiorum ipsius, et \({3 \over 32}\) de \({1 \over 7}\) bizantiorum secundi sunt \({3 \over 224}\) bizantiorum ipsius; ergo primus habet \({9 \over 14}\) et \({3 \over 224}\) bizantiorum secundi et \({5 \over 64}\) bizantiorum suorum et \({1 \over 5}\) bizantiorum quinti. 647 Quare si comuniter auferantur⁹⁹¹ \({5 \over 64}\) bizantiorum primi, remanebunt \({59 \over 64}\) bizantiorum primi equales de \({9 \over 14}\) et \({3 \over 224}\)⁹⁹² bizantiorum secundi et de \({1 \over 5}\) bizantiorum quinti. Sed \({9 \over 14}\) et \({3 \over 224}\)⁹⁹³ bizantiorum secundi sunt \({21 \over 32}\) bizantiorum ipsius; ergo \({59 \over 64}\) bizantiorum primi sunt \({21 \over 32}\) bizantiorum secundi et \({1 \over 5}\) bizantiorum quinti. Rursus quia bizantii secundi hominis sunt \({4 \over 5}\) bizantiorum quinti et \({1 \over 6}\) bizantiorum primi, ergo \({21 \over 32}\) bizantiorum secundi sunt \({21 \over 32}\) de \({4 \over 5}\) bizantiorum quinti et de \({1 \over 6}\) bizantiorum primi. 648 Nam \({21 \over 32}\) de \({4 \over 5}\) bizantiorum quinti sunt \({21 \over 40}\) bizantiorum ipsius, et \({21 \over 32}\) de \({1 \over 6}\) bizantiorum primi sunt \({7 \over 64}\) bizantiorum ipsius; ergo \({59 \over 64}\) bizantiorum primi sunt \({21 \over 40}\) et \({1 \over 5}\) bizantiorum quinti et \({7 \over 64}\) bizantiorum suorum; quibus \({7 \over 64}\) extractis de \({59 \over 64}\) bizantiorum primi, remanebunt \({52 \over 64}\), scilicet \({13 \over 16}\) bizantiorum primi equales de \({21 \over 40}\)⁹⁹⁴ et de \({1 \over 5}\), scilicet de \({29 \over 40}\) bizantiorum quinti.

649 Quare reperies duos numeros, quorum \({13 \over 16}\) unius sint \({29 \over 40}\) alterius. Multiplicabis ergo 16 per 29 et 40 per 13, et evitabis \({1 \over 8}\) ex utraque multiplicatione, cum possibile sit, et habebis 58 pro primo numero et 65 pro secundo, scilicet pro bizantiis quinti hominis. Sed quia primo homini petitur \({1 \over 6}\), ex qua in 58 non reperitur nisi \({1 \over 2}\), multiplicabis utrumque numerum per 3, et habebis 174 pro bizantiis primi hominis et 195 pro bizantiis quinti. 650 Et quoniam bizantii primi hominis sunt⁹⁹⁵ \({3 \over 4}\) bizantiorum quarti et \({1 \over 5}\) bizantiorum quinti, si \({1 \over 5}\) bizantiorum quinti, scilicet 39, auferatur de bizantiis primi, scilicet de 174, remanebunt 135 pro \({3 \over 4}\) bizantiorum quarti. Quare multiplicabis 135 per 4 et divides per 3: exibunt 180 pro bizantiis quarti hominis. Item quia secundus habet \({4 \over 5}\) bizantiorum quinti et \({1 \over 6}\) bizantiorum primi, accipe \({4 \over 5}\) de 195, scilicet 156, et adde cum \({1 \over 6}\) de 174, scilicet cum 29, et habebis 185 pro bizantiis secundi hominis. 651 Rursus quia tertius

primus 1218 secundus 1295 tertius 1200 quartus 1260 quintus 1365 equus 4028

⁹⁹⁶ homo habet \({5 \over 6}\) bizantiorum primi et \({1 \over 7}\) bizantiorum secundi, accipe \({5 \over 6}\) de 174, que sunt 145, et adde ipsa cum \({1 \over 7}\) de 185, et habebis \({3 \over 7}\) 171 pro bizantiis tertii. Qui cum non sint in integrum, multiplicabis omnes numeros inventos per 7, et habebis pro bizantiis primi hominis 1218 et pro bizantiis secundi 1295 et pro bizantiis tertii 1200 et pro bizantiis quarti 1260 et pro bizantiis quinti 1365. 652 Deinde ut habeas pretium equi, adde bizantios primi cum bizantiis secundi et cum bizantiis tertii; erunt 3713, cum quibus adde \({1 \over 4}\) de bizantiis quarti hominis, scilicet 315: erunt bizantii 4028, qui sunt pretium equi.