653 Modus alius de tribus hominibus et uno equo, cum unusquisque petat reliquis per ordinem

Sint iterum tres homines bizantios habentes, qui equum emere concupiscant. Et cum nullus illorum ipsum emere posset, primus petat reliquis duobus hominibus \({1 \over 3}\) suorum bizantiorum. Et secundus petat \({1 \over 4}\) bizantiorum reliquorum duorum hominum. Similiter et tertius petat \({1 \over 5}\) reliquis; et sic proponat unusquisque ipsum emere equum.

Describatur \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) et vocetur⁹⁹⁷ de positione prima, et extrahatur 1 quod est super 3 de ipsis 3: remanent 2, super que ponat ipsum 1 cum virgula, ut faciant \({1 \over 2}\). 654 Item extrahatur 1 quod est super 4 de ipsis 4: remanent 3, super que

positio prima \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) positio secunda \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) \({1 \over 2}\)

⁹⁹⁸ ponatur ipsum 1 cum virgula, et facient \({1 \over 3}\). Rursus extrahe 1 quod est super 5 de ipsis 5: remanent 4, super que pone 1 cum virgula, et faciet \({1 \over 4}\). 655 Post hec pone in ordinem \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) \({1 \over 2}\), et vocentur de positione secunda. Et vide in quo numero reperiantur ipse, scilicet in 12, que multiplica per 3 prime positionis; erunt 36, que divide per 2 secunde positionis: exibunt 18, que serva. Item multiplica eadem 12 per 4 prime positionis et divide per 3 secunde: exibunt 16. Iterum multiplica prescripta 12 per 5 prime positionis et divide per 4 secunde; exibunt 15, que adde cum 18 et cum 16: erunt 49, que sunt summa bizantiorum illorum trium hominum. 656 Deinde extrahatur unus

primus 13 secundus 17 tertius 19 equus 25

⁹⁹⁹ homo de ipsis tribus: remanent 2, per que multiplica eadem 12; erunt 24, que extrahe de 49: remanent 25, que sunt pretium equi. Post hec multiplica prescripta 24 per 1 quod est super 2 secunde positionis et divide per ipsa 2; exibunt 12, que extrahe de 25, scilicet de pretio equi: remanent 13, et tot habuit primus. 657 Item multiplica eadem 24 per 1 quod est super 3 eiusdem secunde positionis et divide per eadem 3: exibunt 8, a quibus usque in dicta 25 desunt 17, et tot habuit secundus. Adhuc multiplica 24 per 1 quod est super 4 secunde positionis et divide per 4: exibunt 6, a quibus usque in 25 desunt 19, et tot habuit tertius.

658 De eodem inter quattuor homines

Et si homines essent quattuor, et primus illorum peteret reliquis tribus medietatem suorum

positio prima \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) \({1 \over 2}\) positio secunda \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) \({1 \over 2}\) 1

¹⁰⁰⁰ bizantiorum, et secundus peteret tertiam reliquis, et tertius peteret quartam reliquis, et quartus peteret quintam reliquis.

Hanc enim positionem per suprascriptam regulam reperies, videlicet ut describas in ordinem \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) \({1 \over 2}\), et vocabis eas de positione prima. Deinde extrahas figuram que est super unamquamque virgulam de figura que est sub eadem virgula, faciens¹⁰⁰¹ ex eis secundam positionem sic: \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) \({1 \over 2}\) 1. 659 Deinde videas de \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) \({1 \over 2}\) 1 in quo numero reperiantur, scilicet in 12. Quare multiplicabis 12 per 2 prime positionis; erunt 24, que divide per 1 secunde: exibunt 24, que serva. Et

primus 1 secundus 19 tertius 25 quartus 28 equus 37

¹⁰⁰² multiplica eadem 12 per 3 prime positionis et divide per 2 secunde: exibunt 18 que serva, multiplicans 12 per 4 prime positionis et dividens per 3 secunde: exibunt 16 que serva; et iterum multiplica 12 per 5 prime positionis, et divides per 4 secunde: exibunt 15. 660 Addes itaque 24 et 18 et 16 et 15: erunt 73, que sunt summa bizantiorum illorum quattuor hominum. Deinde extrahe 1 de illis quattuor hominibus; remanent 3, per que multiplica 12 prescripta; erunt 36, que extrahe de 73: remanent 37, et tot valuit equus. Deinde divide prescripta 36 per 1 secunde positionis; exibunt 36, que extrahe de 37: remanet 1, et tot habuit primus. 661 Postea vero accipe dimidium de 36 propter \({1 \over 2}\) secunde positionis, scilicet 18, et extrahe de 37: remanent 19, et tot habuit secundus. Similiter accipe \({1 \over 3}\) de 36 pro ipsa \({1 \over 3}\) que est in secunda positione et extrahe de 37: remanent 25, et tot habuit tertius. Rursus pro \({1 \over 4}\) que est in secunda positione accipe \({1 \over 4}\) de 36, scilicet 9, que extrahe de 37: remanent 28, et tot habuit quartus.

662 Nam si unde hec regula procedat nosse volueris, considera igitur quia cum primus homo petat reliquis \({1 \over 2}\) ipsorum bizantiorum, cum habeat ipsam medietatem, non habet amplius quam pretium equi; ergo remanet reliquis tribus, scilicet secundo et tertio et quarto, a pretio equi usque in summam¹⁰⁰³ omnium bizantiorum illorum quattuor hominum. Et cum secundus habeat \({1 \over 3}\) bizantiorum reliquorum trium hominum et non habeat tunc nisi tantum pretium equi, ergo reliquis tribus, scilicet primo et tertio et quarto, remanet hoc idem quod est inter pretium equi et summam bizantiorum illorum quattuor. 663 Similiter cum tertius homo habuerit \({1 \over 4}\) bizantiorum reliquorum trium hominum et habuerit tantum pretium equi, ergo¹⁰⁰⁴ reliquis tribus, scilicet quarto et primo et secundo, remanet illud idem quod est a pretio equi usque in summam¹⁰⁰⁵ bizantiorum illorum quattuor. 664 Propter eandem¹⁰⁰⁶ primo et secundo et tertio remanet illud idem quod est a pretio equi usque in summam prescriptam, videlicet data quinta illorum bizantiorum quarto homini. Ergo cum quilibet illorum petat, et sua petitione ab ipsis recepta, remanet eis una et eadem quantitas¹⁰⁰⁷, scilicet ea¹⁰⁰⁸ que est a pretio equi usque in summam omnium bizantiorum illorum quattuor hominum. 665 Post hanc itaque considerationem describe petitiones eorum in ordinem sic: \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) \({1 \over 2}\), de quibus superius fecimus primam positionem. Deinde considera quam partem quilibet tres illorum tribuant suo petitori ex¹⁰⁰⁹ hoc quod eis remanet; quod sic considerandum est. Cum secundus et tertius et quartus tribuant suo petitori, videlicet primo, medietatem ipsorum bizantiorum, ergo si ipsi habent duos bizantios dant ei 1, et remanet eis alius; ergo tantum dant¹⁰¹⁰ quantum remanet eis. 666 Quare scribitur superius in principio secunde positionis 1. Item cum tertius et quartus et primus tribuant secundo homini \({1 \over 3}\) suorum bizantiorum ut ipse petit eis, ergo si ipsi habent bizantios 3, dant ei 1 ex ipsis tribus bizantiis et remanent eis 2; ergo dant medietatem eius quod remanet eis. Quare describitur \({1 \over 2}\) in secunda positione sub \({1 \over 3}\) prime positionis, ut in descriptione ostenditur. 667 Item cum¹⁰¹¹ quartus et primus et secundus tribuant tertio homini \({1 \over 4}\) ipsorum bizantiorum sicut ipse petit eis, ergo si ipsi tres habent bizantios 4, dant ei 1 ex ipsis pro quarta parte et remanent eis bizantii¹⁰¹² 3; ergo dant tertiam ex eo quod eis remanet. Quare¹⁰¹³ describitur \({1 \over 3}\) in secunda positione sub \({1 \over 4}\) prime positionis. Rursus cum primus et secundus et tertius tribuant quarto homini \({1 \over 5}\) bizantiorum eorum ut ipse petit eis, ergo si ipsi tres habeant bizantios 5, dant ei 1 ex ipsis pro quinta parte et remanent eis bizantii 4; ergo dant \({1 \over 4}\) ex hoc quod remanet eis. Et ideo describitur \({1 \over 4}\) in fine secunde positionis, ut in prescripta descriptione demonstratur.

668 Deinde, quia manifestum est residuum quod remanet quibuslibet¹⁰¹⁴ tribus hominibus illorum post datam petitionem quesitam eorum petitori semper est idem, ponamus ut ipsum residuum sit 12, ideo quia in 12 reperiuntur partes secunde positionis, scilicet \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) \({1 \over 2}\) 1. 669 Et quia iterum manifestum est quod secundus et tertius et quartus homo dant primo homini tantum quantum eis remanet, ergo si remansit eis 12, ut pro residuo quorumlibet illorum trium hominum posuimus, alia 12 ipsos dedisse necesse est; ergo ipsi tres habuerunt in principio bizantios 24, et hoc est quod in precedenti regula multiplicavimus 12 per 2 prime positionis et divisimus per 1 secunde, et sic habuimus 24. 670 Item quia tertius et quartus et primus homo dant secundo homini medietatem bizantiorum quos ei remanent, ergo si remanent eis bizantii 12, ut positum est, et ei dederunt bizantios 6, scilicet medietatem de 12; ergo habuerunt in principio ipsi tres bizantios 18, et hoc est quod multiplicavimus in suprascripta regula 12 per 3 prime positionis et divisimus per 2 secunde, et habuimus 18. 671 Rursus quia quartus et primus et secundus dant tertio homini tertiam bizantiorum quos eis remanent, ergo si remanent eis 12, ut prediximus, ei dederunt bizantios 4, scilicet tertiam¹⁰¹⁵ de 12; ergo habuerunt ipsi tres bizantios 16, quos habuimus superius cum multiplicavimus 12 per 4 prime positionis et divisimus per 3 secunde. 672 Adhuc quia primus et secundus et tertius dant quarto homini quartam bizantiorum quos¹⁰¹⁶ eis remanent, ergo si remanserint eis bizantii 12 ut ceteris quibuslibet tribus, et ei dederunt bizantios 3, scilicet \({1 \over 4}\) de 12; ergo habuerunt ipsi tres bizantios 15 in principio, quod superius invenimus cum multiplicavimus 12 per 5 prime positionis et divisimus per 4 secunde. 673 Ergo cum addidimus bizantios 24 quos habent inter secundum et tertium et quartum hominem cum bizantiis 18 quos habent inter tertium et quartum et primum et cum bizantiis 16 quos habent inter quartum et primum et secundum et cum bizantiis 15 quos habent inter primum et secundum et tertium hominem, habuimus in summa bizantios 73. 674 In qua summa, cum unusquisque ipsorum ter computatus sit, pro eorum bizantiorum summa tertiam de bizantiis 73 habere necesse est, ideo quia 73 triplum est summe eorum propter triplam computationem ipsorum. Sed quia \({1 \over 3}\) de 73 sine rupto esse non potest, relinquimus 73 pro eorum summa, ut prediximus, et triplicamus residuum, scilicet 12. 675 Que triplicatio¹⁰¹⁷ est 36, secundum quod superius invenimus quando multiplicavimus 12 per 3, scilicet per numerum quattuor hominum prescriptorum, uno videlicet ex eis extracto; ergo si summa eorum est 73, et residuum quod remanet quibuslibet tribus eorum est 36. Et prescriptum residuum, scilicet 36, distat pretium equi ad summam bizantiorum illorum, videlicet a 73, ut superius demonstravimus; ergo quot distant 36 a 73, scilicet 37, tot¹⁰¹⁸ valet equus. 676 Unde quia primus petit reliquis tantum quantum eis remanet, pro quo tanto in secunda positione 1 describitur, ergo quesivit eis bizantios 36, a quibus usque in pretium equi, videlicet in 37, deest 1. Ergo tot habuit primus, quia addito ipso bizantio cum bizantiis 36 quos querit¹⁰¹⁹ reliquis, nimirum in pretium equi, scilicet in 37 ascendit. 677 Item quia secundo homini datur ab aliis medietas predicti residui, scilicet 18, ergo oportet eum habere bizantios 19, videlicet differentiam que est a 18 usque in 37. Et hoc est cum in precedenti accepimus \({1 \over 2}\) de 36 pro \({1 \over 2}\) secunde positionis, extraximus ipsam medietatem, scilicet 18, de pretio equi, videlicet de 37, et sic habuimus 19 pro bizantiis secundi. 678 Rursus quia ad tertium hominem reliqui tres dant tertiam de residuo eorum, videlicet de 36, ergo dant ei 12, a quibus usque in 37 desunt bizantii 25, et tot oportet ut habeat ipse. Et hoc est quod superius fecimus, cum accepimus \({1 \over 3}\) de 36, scilicet 12, et extraximus de 37, et sic habuimus tunc 25 pro bizantiis tertii hominis. 679 Adhuc quia quarto homini reliqui tres dant quartam residui eorum, videlicet de 36, ergo dant ei 9, a quibus usque in bizantios 37 desunt bizantii 28, et tot oportet habere quartum hominem. Et hoc est cum superius accepimus \({1 \over 4}\) de 36, scilicet 9, et extraximus¹⁰²⁰ de 37, et tunc habuimus similiter 28 pro bizantiis quarti hominis. 680 Et sic per eandem considerationem poteris quaslibet similes questiones, sive trium, sive plurium facillime denodare. Sed quia nobis gravissimum est singula singulis demostrationibus demonstrare, alias huiusmodi questiones in sequentibus secundum priorem datam regulam te docebimus denodare.

681 Questio alia de quattuor hominibus

Proponamus enim aliam quattuor hominum questionem, ut que dicta sunt in suprascripta regula apertius intelligantur. Ut si dicatur: sunt quattuor homines equum emere volentes, et primus petat aliis tribus hominibus \({2 \over 5}\) eorum bizantiorum, et alter petat reliquis tribus \({3 \over 8}\), et tertius petat \({4 \over 11}\). Quartus querat reliquis \({6 \over 19}\).

682 Describe¹⁰²¹ itaque per ordinem \({6 \over 19}\) \({4 \over 11}\) \({3 \over 8}\) \({2 \over 5}\), in quibus continetur prima positio, et extrahatur unusquisque numerorum qui sunt super virgulas¹⁰²² de numero ei existenti¹⁰²³ sub virgula, idest 2 de 5 et 3 de 8 et 4 de 11 et 6 de 19: remanebunt 3 et 5 et 7 et 13, super quibus ponantur virgule, et¹⁰²⁴ super 3 ponantur 2, et super 5 ponantur 3, et super 7 ponantur 4, et super 13 ponantur 6, et habebuntur pro secunda positione \({6 \over 13}\) \({4 \over 7}\) \({3 \over 5}\) \({2 \over 3}\), que sunt partes per ordinem que dant tres homines eorum petitori de his que remanent eis, sicuti in precedenti demonstratione demonstravimus. 683 Et pone secundam positionem sub prima, ut inferius

positio prima \({6 \over 19}\) \({4 \over 11}\) \({3 \over 8}\) \({2 \over 5}\) positio secunda \({6 \over 13}\) \({4 \over 7}\) \({3 \over 5}\) \({2 \over 3}\)

¹⁰²⁵ ostenditur. Deinde vide in quo numero ipsi rupti secunde positionis reperiantur; reperiuntur enim in 1365. Deinde multiplica 1365 per 5 que sunt sub prima virgula prime positionis et divide per 3 que sunt sub prima virgula secunde positionis: exibunt 2275, que serva. 684 Iterum multiplica 1365 per 8 de prima positione et divide per 5 secunde: exibunt 2184. Rursus multiplica 1365 per 11 prime et divide per 7 secunde: exibunt 2145. Adhuc multiplica 1365 per 19 et divide per 13; exibunt 1995, que adde cum 2275 et cum 2184 et cum 2145: erunt 8599, que sunt summa cunctorum bizantiorum illorum.

685 Postea quia homines sunt quattuor et unus illorum semper petit reliquis, extrahatur 1 de 4; remanent 3, in quibus multiplicentur¹⁰²⁶ 1365: erunt 4095, qui numerus est illud residuum quod semper remanet quibuslibet tribus illorum post emptionem equi, que extrahantur de 8599: remanet 4504 pro pretio equi. Deinde ut habeas bizantios primi hominis, pro \({2 \over 3}\) que sunt in secunda positione accipe \({2 \over 3}\) de 4095; exibunt 2730, que extrahe de pretio equi, scilicet de 4504: remanent 1774, et tot habuit primus. 686 Item ut

equus 4504 primus 1774 secundus 2047 tertius 2164 quartus 2614

¹⁰²⁷ habeas bizantios secundi, accipe \({3 \over 5}\) de 4095 pro \({3 \over 5}\) que sunt in secunda positione; erunt 2457, que extrahe de 4504: remanent 2047, et tot habuit secundus. Rursus pro \({4 \over 7}\) secunde positionis accipe \({4 \over 7}\) de 4095, que sunt 2340, et extrahe ea de 4504: remanent 2164, et tot habuit tertius. Iterum accipe \({6 \over 13}\) de 4095, que sunt 1890, et extrahe ea de 4504: remanent 2614, et tot habuit quartus.

687 Possumus hoc idem per aliam regulam promtius operari, videlicet cum secundus homo et tertius et quartus dant primo \({2 \over 5}\), remanent eis \({3 \over 5}\) bizantiorum suorum, que \({3 \over 5}\) sunt residuum quod est a pretio equi in summam bizantiorum quattuor hominum. Item cum reliqui dant secundo \({3 \over 8}\), remanent eis \({5 \over 8}\) bizantiorum, que sunt idem residuum. Rursus cum reliqui dant tertio \({4 \over 11}\), remanent eis \({7 \over 11}\) pro eodem residuo. 688 Adhuc cum reliqui dant quarto homini \({6 \over 19}\), remanent eis pro residuo supradicto \({13 \over 19}\); ergo \({3 \over 5}\) bizantiorum secundi et tertii et quarti sunt quantum \({5 \over 8}\) bizantiorum tertii et quarti et primi hominis et quantum \({7 \over 11}\) quarti et primi et secundi et quantum \({13 \over 19}\) bizantiorum primi, secundi et tertii hominis. Quare reperiendi sunt quattuor numeri, quorum \({3 \over 5}\) primi sint quantum \({5 \over 8}\) secundi et quantum \({7 \over 11}\) tertii et quantum \({13 \over 19}\) quarti numeri. 689 Erunt 2275 et 2184 et 2145 et 1995, sicut in secunda parte huius capituli similes proportiones docuimus invenire. Ex quibus quattuor numeris primus est summa bizantiorum secundi et tertii et quarti hominis, secundus numerus tertii et quarti et primi hominis, tertius numerus est summa quarti et primi et secundi hominis, quartus numerus est summa bizantiorum primi et secundi et tertii hominis. 690 Quare ipsi quattuor numeri in unum coniuncti¹⁰²⁸ reddunt 8599, qui numerus est triplum summe bizantiorum ipsorum quattuor, cum quilibet ipsorum sit ter in ipso computatus; quare summa ipsorum quattuor est tertia pars istius numeri. Sed cum iste numerus per ternarium integre non dividatur et nos velimus sanos omnes¹⁰²⁹ habere numeros, retinemus 8599 pro summa ipsorum quattuor. 691 Quare tres illorum per ordinem habebunt triplum dictorum numerorum, scilicet secundus et tertius et quartus homo 6825, tertius et quartus et primus 6552, quartus et primus et secundus 6435, primus et secundus et tertius 5985. Et quoniam summa ipsorum quattuor est 8599, de qua secundus et tertius et quartus homo habent 6825, ergo residuum quod est inter utrumque, scilicet 1774, habet primus. Propter quod si extraxerimus 6552 de 8599, remanent pro bizantiis secundi hominis 2047. 692 Similiter extracto tertio et quarto numero de 8599, remanent tertio homini 2164, quarto 2614. Et ut habeamus pretium equi, multiplica 3 que sunt super 5 per 5 que sunt super 8, et hoc totum per 7 que sunt super 11, que per 13 que sunt super 19; erunt 1365, que triplica sicut alios numeros triplicasti: erunt 4095, que est summa predicti residui, quibus extractis de 8599 remanent pro pretio equi 4504, ut per aliam regulam invenimus.

693 Et nota quod per hanc regulam omnes illas poteris solvere questiones, in quibus unus petit ab omnibus aliis sibi suorum bizantiorum partem aliquam vel partes¹⁰³⁰ exhiberi. Et si primus peteret reliquis \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\), scilicet \({7 \over 12}\), et secundus \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\), scilicet \({9 \over 20}\); et tertius \({1 \over 6}\) \({1 \over 5}\), scilicet \({11 \over 30}\); et quartus \({1 \over 7}\) \({1 \over 6}\), scilicet \({13 \over 42}\), invenies ordine suprascripto primum habere 1376, secundum 54272, tertium 76022, quartum 87902, et pretium equi esse 128657.