769 Incipit pars sexta de viagiorum propositionibus atque eorum similium

Quidam pergens negotiando Lucam, fecit ibi duplum et expendit inde denarios 12. Qui egrediens inde perrexit Florentiam, fecitque ibi duplum et expendit denarios 12. Cum rediret Pisas et ibi faceret duplum et expenderet denarios 12, nil ei proponitur remansisse. Queritur quot ipse in principio habuit.

770 Quia preponitur ipse semper duplum fecisse, manifestum est quod de uno faciebat 2. Unde videndum est de 1 que pars sit de 2, scilicet \({1 \over 2}\), quod describatur ter propter tria viagia que¹¹⁴³ ipse fecerat, sic: \({1 \over 2}\) \({1 \over 2}\) \({1 \over 2}\). Et multiplicetur 2 per 2 et per alia 2 que sunt sub virgulis: erunt 8, de quibus accipe \({1 \over 2}\), scilicet 4, de quibus accipe \({1 \over 2}\), scilicet 2, et de ipsis 2 accipe \({1 \over 2}\), scilicet 1. 771 Post hec adde 4 cum 2 et cum 1; erunt 7, que multiplica per 12 denarios quos ipse

capitale \({1 \over 2}\) 10

¹¹⁴⁴ expendebat; erunt 84, que divide per 8: exibunt denarii \({1 \over 2}\) 10, et tot habuit homo ille. Verbi gratia: fecit duplum de denariis \({1 \over 2}\) 10; fuerunt 21, de quibus expendit 12; remanserunt 9, quibus duplicatis faciunt 18, de quibus expendit 12; remanserunt 6, quibus iterum duplicatis faciunt 12, de quibus extracto expendio, scilicet 12, nil ei, ut propositum est, remansisse comperitur. Et sic de quattuor vel pluribus viagiis poteris operari.

772 De eodem¹¹⁴⁵

Si autem proponitur quod in ultimo prescriptorum viagiorum post expendium ei denarii

capitale \({5 \over 8}\) 11

¹¹⁴⁶ quilibet remansissent, ut dicamus 9, addantur 9 cum 84 superius inventis; erunt denarii 93, qui dividantur per 8, ut prediximus: exibunt \({5 \over 8}\) 11, et tot habuisset ille.

773 De eodem

Verum si diceretur quod in fine¹¹⁴⁷ dictorum trium viagiorum lucratus esset post expendia denarios 9, aliter quam predictum sit erit faciendum. Videlicet reperiantur quot denarii ei necessarii essent ut de expensis semper suum salvaret capitale. Quos ita reperiendos esse demonstravimus. Quia ipse facit duplum, lucratur de unoquoque quem habuit denarium alium; ergo de 12 denariis lucratus est denarios 12, scilicet expendium. 774 Qui 12 serventur ex parte, et videatur quid ei necessarium sit ut lucretur denarios 9, semper duplum faciendo et nil inde pro expendio extrahendo. Quod videndum est per positionem alicuius numeri, secundum quod in arborum regulis et in eis similibus demonstravimus. Unde ponamus quod ipse haberet denarium 1 ultra denarios 12 ex parte positos, de quo 1 facit in primo viagio denarios 2, de quibus in secundo facit 4, de quibus in tertio facit denarios 8. 775 Ergo in illis tribus viagiis de 1 denario facit denarios 8, de quibus extracto 1, scilicet capitali¹¹⁴⁸, remanent 7; ergo de 1 denario lucratur 7. Quare dices: pro 1 denario quem pono pro illius capitali, lucratur 7; quid ponam ut lucretur denarios 9? Multiplica 1 per 9 et divide per 7; exibit \({2 \over 7} 1\), quem adde cum denariis 12 cum quibus lucratur expendium: erunt \({2 \over 7} 13\), et tot esset illius capitale.

776 Et si hanc solutionem per regulam rectam habere vis, pone capitale ipsius hominis fuisse rem, quam duplicavit in primo viagio et expendit denarios 12, et sic habuit duas res minus denariis 12, quos¹¹⁴⁹ duplicavit in secundo viagio, et fuerunt 4 res minus denariis 24, ex quibus expendit denarios 12; ergo remanserunt ei 4 res minus denariis 36. 777 Quibus iterum duplicatis in tertio viagio fuerunt 8 res minus denariis 72, ex quibus expendit denarios 12; remanserunt ei in fine trium viagiorum octo res minus denariis 84, que equantur uni rei et denariis 9, scilicet capitali eius et lucro. Quare adde denarios 84 utrique parti: provenient quod 8 res equantur uni rei et denariis 93. 778 Tolle ergo rem ab utraque parte: remanebunt 7 res equales de denariis 93. Ergo divisis 93 per 7 reddunt denarios \({2 \over 7} 13\) pro quantitate uniuscuiusque rei, et tot fuit capitale ipsius. Per hanc enim regulam solvuntur omnes questiones viagiorum similium.

779 De eodem

Rursus fecit tria viagia et portavit secum denarios \({1 \over 2} 10\), cum quibus, ut prediximus, in unoquoque viagio fecit duplum et in quolibet expendit unam et eandem quantitatem, et nil ei remansit. Queritur quantitas expendii illius. Supradicta¹¹⁵⁰ ratione pone \({1 \over 2}\) \({1 \over 2}\) \({1 \over 2}\) et multiplica 2 per 2 que per 2: erunt 8, que serva. Et accipe inde \({1 \over 2}\), scilicet 4, de quibus accipe \({1 \over 2} 2\), scilicet 2¹¹⁵¹, de quibus accipe \({1 \over 2}\), scilicet 1, et adde insimul: erunt 7, ut superius invenimus. Et multiplica 8 per ipsius capitale, videlicet per \({1 \over 2}\) 10; erunt 84, que divide per 7: exibunt denarii 12, et tot fuit expendium illius.

780 De eodem

Iterum capitale illius sit denarii \({5 \over 8}\) 11 et peractis prescriptis tribus viagiis remanserunt ei denarii 9, et¹¹⁵² quot in unoquoque viagio expendebat ignoratur. Reperies quidem suprascripta¹¹⁵³ 8 et¹¹⁵⁴ 7, et multiplicabis \({5 \over 8} 11\) per 8; erunt 93, ex quibus extrahes denarios 9 qui proponuntur ei remanere; remanent denarii 84, quos divide per 7: exibunt iterum denarii 12 pro ipsius expendio.

781 Adhuc capitale ipsius sit \({2 \over 7} 13\) et in fine remanserunt ei denarii 9 ultra suum capitale, et queritur iterum ipsius expendium. Addes itaque \({2 \over 7}\) 13, scilicet capitale ipsius, cum 9, videlicet cum lucro; erunt \({2 \over 7}\) 22, quos extrahe ex multiplicatione de \({2 \over 7}\) 13 in 8, que est \({2 \over 7}\) 106; remanent 84, que divide per 7: exibunt denarii 12 pro ipsius expendio, ut prediximus.

782 De eodem in quattuor viagiis

Nam si ipsum quattuor fecisse viagia proposueris, in quibus suum semper triplicaret capitale et inde expenderet in unoquoque viagiorum denarios 18, et nil ei in fine remanere predixeris. Secundum suprascriptum modum scribes tertiam quater vicibus pro quattuor viagiis sic: \({1 \over 3}\) \({1 \over 3}\) \({1 \over 3}\) \({1 \over 3}\), ideo quia preponitur¹¹⁵⁵ quod de 1 faciebat 3, unde capitale est \({1 \over 3}\) sui et lucri. 783 Et multiplica numeros qui sunt sub virgulis, videlicet 3 per 3 que per 3 que per 3: erunt 81, que habeas loco expendii. De quibus accipe tertiam partem, que est 27, que habeas loco capitalis primi expendii, quia semel triplicatis faciunt 81; de quibus iterum accipe tertiam, que est 9, que habeas loco capitalis ex quo fit secundum expendium, quia triplicatis 9 in primo viagio faciunt 27, quibus triplicatis in secundo faciunt 81, scilicet expendium. 784 Ex quibus etiam 9 accipe \({1 \over 3}\): erunt 3 pro capitali tertii expendii. Ex quibus rursus accipe \({1 \over 3}\): proveniet 1 pro capitali ultimi expendii. Adde ergo 27 et 9 et 3 et 1: erunt 40, que habeantur loco capitalis quattuor expendiorum, hoc est si expendium esset 81, capitale itaque eius esset 40. Et quia ponitur expendium fuisse 18, cadit proportionaliter, videlicet sicut 81 sunt ad 40, ita 18 sunt ad quesitum capitale. Quare multiplicabis 18 per 40 et divides per 81, et evitabis inde \({1 \over 9}\): exibunt denarii¹¹⁵⁶ \({8 \over 9} 8\), et tot fuit capitale illius hominis.

785 De eodem

Nam si dixeris quod ipse haberet in suo capitali in principio illorum quattuor viagiorum denarios \({8 \over 9} 8\) et quesieris quot in unoquoque expendebat viagio, cum in fine ei nil remansisse ponatur et expendium sit semper equale. Erit ergo proportio de \({8 \over 9} 8\) ad expendium quesitum sicut 40 ad 81. Multiplicetur¹¹⁵⁷ \({8 \over 9}\) 8 per 81; erunt 720, que divide per 40: exibunt 18, et tot expendit in unoquoque viagio.

786 De eodem

Nam si ei denarii 12 remansisse in fine proposueris, et expendium eius sit 18, adde

capitale \({1 \over 27}\) 9

¹¹⁵⁸ 12 multiplicationi de 18 in 40, scilicet cum 720; erunt 732, que divide per 81: exibunt \({1 \over 27} 9\), et tot esset ipsius capitale.

787 Quod si econtra dicatur quod suum capitale fuit denarii \({1 \over 27} 9\) et ei in fine

expendium 18

¹¹⁵⁹ remanserunt denarii 12, et quot in unoquoque viagio expendebat ignoretur, multiplica \({1 \over 27} 9\) per 81; erunt 732, de quibus extrahe 12; remanent 720, que divide per 40: exibunt 18, et tot esset ipsius expendium.

788 De eodem¹¹⁶⁰

Verum si dixeris quod in fine illorum quattuor viagiorum suum capitale ei tantum remansisset, sic facies: quia fecit in unoquoque viagio de 1 tres, ergo de unoquoque denario lucratur 2. Quare multiplicabis 1, scilicet capitale, per 18 expendii et divide per 2, scilicet per lucrum: exibunt 9, et tot esset illius capitale.

789 De eodem

Et si proposueris quod in fine dictorum viagiorum ultra suum capitale denarii¹¹⁶¹ 20 ei remansissent, cum expendium eius sit semper 18, invenies prescripta 9 cum quibus lucratur suum expendium et vide quantum ipse lucretur de uno denario in illis quattuor viagiis, nil inde expendendo. Quia in primo viagio facit de 1 denario tres, in secundo de ipsis tribus facit 9, in tertio de illis 9 facit 27, de quibus in quarto viagio¹¹⁶² facit 81, 790 ergo in illis quattuor viagiis de 1 denario facit denarios 81; ergo de 1 denario ipse lucratur 80. Quare dices: pro 1 denario quod pono in ipsius capitale, lucratur denarios 80; quid ponam, ut tantum lucretur denarios 20? Multiplicabis itaque 1 per 20 et divide per 80: exibit \({1 \over 4}\) unius denarii, qua addita cum denariis 9 erunt denarii \({1 \over 4}\) 9, et tantum esset illius capitale.

791 Item capitale eius sit \({1 \over 4}\) 9, et ignoretur expendium, et in fine lucratus est 20. Doceam quidem hanc solutionem invenire per regulam rectam. Pone pro ignorato expendio rem, et triplica \({1 \over 4}\) 9; erunt \({3 \over 4}\) 27, de quibus tolle rem pro expendio primi viagii: remanent \({3 \over 4}\) 27 minus re. Quibus iterum triplicatis, facient \({1 \over 4} 83\) tribus rebus diminutis, de quibus tolle expendium secundum, scilicet rem: remanent \({1 \over 4}\) 83 minus quattuor rebus. 792 Quibus triplicatis, erunt \({3 \over 4}\) 249 minus 12 rebus; de quibus extracta re, scilicet expendium tertium, remanebunt \({3 \over 4}\) 249 minus 13 rebus; quibus ultimo¹¹⁶³ triplicatis, faciunt \({1 \over 4}\) 749 minus 39 rebus; a quibus diminuta re, remanebunt \({1 \over 4}\) 749 diminutis 40 rebus que equantur denariis \({1 \over 4}\) 9 et 20, scilicet capitali et lucro. Restaura ergo 40 res: remanebunt \({1 \over 4}\) 749, que equantur 40 rebus et denariis \({1 \over 4} 29\). Tolle ergo denarios \({1 \over 4}\) 29 de \({1 \over 4}\) 749: remanent denarii 720 qui equantur 40 rebus. Quare divide 720 per 40: exibunt 18 pro quesito expendio.

793 Quod etiam reperitur per regulam versam sic: pone iterum rem pro expendio, qua addita cum capitali et lucro eius, erunt res et denarii \({1 \over 4}\) 29 que habuit homo ille in quarto viagio ex triplo denariorum qui remanserunt illi post expendium tertii viagii. Quare accipe \({1 \over 3}\) eorum; venient tertia¹¹⁶⁴ rei et denarii \({3 \over 4}\) 9, cum quibus adde expendium tertii viagii, scilicet rem: erunt quattuor tertie rei et denarii \({3 \over 4}\) 9, que habuit in tertio viagio ex triplo denariorum qui remanserunt ei post expendium secundi viagii¹¹⁶⁵. 794 Quare accipe tertiam eorum, scilicet \({4 \over 9}\) rei et denarii \({1 \over 4}\) 3, super que adde rem, scilicet expendium secundi viagii: erunt \({13 \over 9}\) rei et denarii \({1 \over 4}\) 3, que habuit in secundo viagio ex triplo denariorum qui remanserunt ei post expendium primi viagii. Quare accipe tertiam eorum; erunt \({13 \over 27}\) rei et denarii \({1 \over 12}\) 1, cum quibus adde rem quam expendit in primo viagio: erunt \({40 \over 27}\) rei et denarii \({1 \over 12}\) 1 que equantur triplo capitalis ipsius, scilicet denariis \({3 \over 4}\) 27. 795 Tolle ergo denarios¹¹⁶⁶ \({1 \over 12}\) 1 ex denariis \({3 \over 4}\) 27: remanebunt¹¹⁶⁷ denarii \({2 \over 3} 26\), qui equantur \({40 \over 27}\) <rei>. Quare est: sicut 40 ad 27, ita \({2 \over 3}\) 26 sunt ad quesitum expendium. Multiplicabis ergo 27 per \({2 \over 3}\) 26; erunt 720, que divides per 40: venient 18, ut oportet.

796 Questio alia de tribus viagiis

Item alia huiusmodi proponatur questio ut que dicta sunt melius intelligantur, videlicet ex quodam qui fecit tria viagia, qui in primo fecit de duobus tres, in secundo de quattuor quinque, et in tertio de 6 fecit 7, et expendebat denarios 15 in unoquoque viagio, <et nil ei in fine remansit>.

Quia in primo viagio de duobus fecit tres, ergo proportio capitalis ipsius ad capitale et lucrum eiusdem viagii est sicut 2 ad 3; quare capitale eius fuit \({2 \over 3}\) eiusdem capitalis et lucri; quare pone \({2 \over 3}\). 797 Eademque ratione pro quattuor quinque pone \({4 \over 5}\), et pro sex septem pone \({6 \over 7}\) et colloca eos sic: \({6 \over 7}\) \({4 \over 5}\) \({2 \over 3}\). Et multiplica numeros qui sunt sub virgulis in seipsos, videlicet 3 per 5 que per 7: erunt 105, de quibus accipe \({2 \over 3}\) que sunt 70, de quibus sume¹¹⁶⁸ \({4 \over 5}\) que sunt 56, de quibus sume \({6 \over 7}\) que sunt 48, que adde cum 56 et cum 70: erunt 174, que serva. 798 Possunt enim eadem 174 promtius invenire, videlicet ut multiplices 2 que sunt super 3 per 5, que per 7 que sunt sub virgulis: erunt 70. Item multiplica eadem 2 per 4 que sunt super 5, que per 7: erunt 56; rursus multiplica eadem 2 per eadem 4, que per 6 que sunt super 7: erunt 48, quibus insimul iunctis redeunt eadem 174. Que¹¹⁶⁹ Que multiplica per expendium, videlicet per 15, et divide per 105: exibunt \({6 \over 7}\) 24, et tot est ipsius capitale.

799 De eodem

Et si proposueris quod suum capitale sit denarii \({6 \over 7}\) 24, et queratur quantum sit expendium, multiplica \({6 \over 7}\) 24 per 105 et divide per 174: exibunt denarii 15 pro ipsius expendio.

800 De eodem

Rursus expendium sit denarii 15, et in fine ei denarii 21 remansisse proponatur¹¹⁷⁰. Adde

capitale \({16 \over 35}\) 34

¹¹⁷¹ multiplicationem de 21 in 48 superius inventis, que est 1008, super summam multiplicationis de 15 in 174; erunt 3618, que divide per 105: exibunt \({16 \over 35}\) 34 pro ipsius capitali.

801 Nam si econtra dicatur quod suum capitale sit \({16 \over 35}\) 34, et in fine ei remanserint¹¹⁷²

expendium 15

¹¹⁷³ denarii 21, et quot ipse expendebat queratur. Multiplica \({16 \over 35}\) 34 per 105; erunt 3618, de quibus extrahe 1008 que surgunt ex multiplicatione de 21 in 48; remanent 2610, que divide per 174: exibunt denarii 15 pro suo expendio.

802 De eodem

Verum si dixerit quod in fine trium viagiorum suum ei remanserit capitale, extrahe

capitale \({15 \over 19} 45\)

¹¹⁷⁴ inventa 48 de 105 superius inventis; remanent¹¹⁷⁵ 57, in quibus divide multiplicationem expendii, videlicet de 15, in 174 superius inventis: exibunt pro ipsius capitali¹¹⁷⁶ denarii \({15 \over 19}\) 45.

803 De eodem

Rursus si dixeris quod ipsius capitale sit \({15 \over 19}\) 45 et in fine dictorum trium viagiorum

expendium 15

¹¹⁷⁷ ipsum capitale ei remansisse proposuerit, et quot in unoquoque expendebat viagio quesierit, reperies prescripta 57, in quibus multiplica \({15 \over 19}\) 45 et divide per 174: exibunt 15 pro ipsius expendio.

804 Iterum si proposuerit quod expendium sit 15 et in fine viagiorum remansit ei

capitale \({13 \over 19} 83\)

¹¹⁷⁸ denarii 45 ultra suum capitale, multiplica 15 per 174; erunt 2610, super que adde 45 vicibus 48, scilicet 2160; erunt 4770, que divide per 57: exibunt \({13 \over 19}\) 83 pro ipsius capitali.

805 De homine qui fecit quattuor viagia. Alius modus

Iterum proponatur quod fecerit quattuor viagia, ex quibus in primo fecit duplum et expendit in eo denarios 13, in secundo de duobus tria et¹¹⁷⁹ expendit in eo denarios 16, et in tertio fecit de tribus quattuor et expendit denarios 18, et in quarto fecit de quattuor quinque, et cum ibidem denarios 20 expenderet, nil ei remansit.

806 Suprascriptis itaque demonstrationibus, pro duplo primi viagii

20 18 16 13 \({4 \over 5}\) \({3 \over 4}\) \({2 \over 3}\) \({1 \over 2}\) 24 30 40 60

¹¹⁸⁰ scribes \({1 \over 2}\), et pro duobus tria secundi scribes \({2 \over 3}\), et pro tribus quattuor tertii scribe \({3 \over 4}\), et pro quattuor quinque quarti viagii scribe \({4 \over 5}\). Et positis ita per ordinem \({4 \over 5}\) \({3 \over 4}\) \({2 \over 3}\) \({1 \over 2}\), multiplica 2 per 3, que per 4, que per 5 que sunt sub virgulis: erunt 120, que habeantur loco expendii uniuscuiusque viagii. 807 Quare accipe dimidium eorum: erunt 60, que habeantur loco capitalis sufficientis primo expendio. Nam cum de 60 duplum fiat¹¹⁸¹ veniunt 120, scilicet expendium primum. Rursus \({2 \over 3}\) de 60, scilicet 40, habeantur loco capitalis secundi viagii. Nam duplicatis ipsis faciunt 80, de quibus si fiant tres de duobus, hoc est si superaddatur dimidium de 80 super 80, venient 120, scilicet expendium secundum. De quibus etiam 40 si accipiantur \({3 \over 4}\) venient 30, que habeantur loco capitalis tertii viagii. 808 Quia duplicatis ipsis in primo viagio faciunt 60, quibus factis tribus de duobus, venient 90, de quibus factis 4 de 3, scilicet addita tertia parte earum super ea, faciunt 120, scilicet expendium tertium. Deinde acceptis \({4 \over 5}\) ex 30 veniunt 24, que sunt loco capitalis ultimi expendii, quia ex ipsis fiunt 48 in primo viagio; de quibus in secundo fiunt 72, scilicet de duobus tres; de quibus in tertio fiunt 96, scilicet de tribus quattuor; de quibus etiam fiunt 120 in quarto viagio, scilicet de quattuor quinque, hoc est expendium quarti viagii.

809 Possunt etiam hi numeri aliter reperiri¹¹⁸². Positis in ordinem \({4 \over 5}\) \({3 \over 4}\) \({2 \over 3}\) \({1 \over 2}\), multiplica 1 quod est super 2 per 3, que per 4, que per 5 que sunt sub virgulis: erunt 60, scilicet dimidium de 120. Item multiplica idem 1 per 2 que sunt super 3, que per 4, que per 5 que sunt sub virgulis: erunt 40, scilicet \({2 \over 3}\) de 60 predictis. Deinde multiplica 1 per 2 que per 3 que sunt super¹¹⁸³ virgulis¹¹⁸⁴; erunt 6¹¹⁸⁵, que multiplica per 5: erunt 30 pro \({3 \over 4}\) de 40. 810 Ad ultimum quidem multiplica 1 per 2 que per 3 que per 4 que sunt super virgas; erunt 24, scilicet \({4 \over 5}\) de 30. Et quia expendium primi viagii fuit 13, proportionaliter ergo est: sicut 120 est ad 60, ita 13 est ad capitale primi expendii. Quare multiplicabis 13 per 60: erunt 780, que divides per 120 et habebis capitale primi viagii. 811 Similiter quia expendium secundum fuit 16, proportionaliter erit: sicut 120 est ad 40, ita 16 est ad capitale secundi viagii. Quare multiplicabis 16 per 40 et divides per 120 et habebis capitale secundi expendii. Propter eadem ergo multiplicabis 18 per 30 et 20 per 24: erunt 540 et 480, que divides per 120 et habebis capitale tertii et quarti expendii. Et quia unusquisque inventorum quattuor numerorum, scilicet 780 et 640 et 540 et 480, dividendus est per 120, adde eos in unum; erunt 2440¹¹⁸⁶, que divides in unum per 120: exibunt denarii \({1 \over 3}\) 20 pro ipsius capitali.

812 Quod si hoc verso modo investigare vis, quia in quarto viagio de quattuor fecit quinque et sic habuit expendium ultimum, scilicet 20, ergo quattuor partes ipsorum 20 fuerunt capitalis et quinta pars fuit lucri. Quare si de 20 accipiantur \({4 \over 5}\) eorum erunt 16, que habuit ipse post tertium expendium. Quo expendio addito cum 16¹¹⁸⁷ faciunt 34, et tot denarios habuit cum de tribus fecerat quattuor. 813 Quare accipe \({3 \over 4}\) de 34, scilicet multiplica 3 per 34 et divide per 4: erunt \({1 \over 2}\) 25¹¹⁸⁸, et tot habuit post secundum expendium, quod fuit denariorum 16. Que adde insimul: erunt \({1 \over 2}\) 41¹¹⁸⁹, et tot habuit postquam de duobus fecit tria. Quare accipe \({2 \over 3}\) eorum: erunt \({2 \over 3}\) 27¹¹⁹⁰, et tot habuit post primum expendium, quod fuit denariorum 13. 814 Quibus etiam insimul iunctis faciunt \({2 \over 3}\) 40¹¹⁹¹, et tot habuit ex duplo quod fecit in primo viagio. Quare dimidium eorum, scilicet \({1 \over 3}\) 20, fuit capitale ipsius, ut inventum est supra.

815 Et si proponatur quod peractis quattuor viagiis remansissent¹¹⁹² ei denarii 12; quia 24 prescripta sunt capitale quarti expendii, ergo de 24 que habuit a principio faceret in fine 120; ergo sicut 120 sunt ad 24, ita 12 que remanere proponuntur erunt ad eorum capitale. 816 Quare multiplicabis 12 per 24; erunt 288, que divides per 120, hoc est¹¹⁹³ accipe \({1 \over 5}\) de 12; erunt \({2 \over 5}\) 2, que adde cum invento capitali, scilicet¹¹⁹⁴ cum \({1 \over 3}\) 20: erunt \({11 \over 15}\) 22. Vel 288 adde cum 2440¹¹⁹⁵ predictis; erunt 2728, que divide per 120: exibunt similiter \({11 \over 15}\) 22 pro ipsius capitali. Quod¹¹⁹⁶ etiam invenires per modum versum, si ipsum imitare¹¹⁹⁷ sciveris.

817 Et si¹¹⁹⁸ in fine quattuor predictorum viagiorum ei suum remanserit capitale, inventis ut supra 120 et 24 et 2440, extrahes 24 de 120; remanent 96, in quibus divide 2440: exibunt \({5 \over 12}\) 25¹¹⁹⁹ pro ipsius capitali. Et hoc facimus quia 24 est numerus qui de viagio in viagium per eorum lucra surgit in 120 in quarto viagio, et quia proponitur ei in fine suum remansisse capitale, 818 ideo extrahenda sunt 24 de 120: remanent 96, que 96 habentur loco numeri de quo fiunt expense et 120 habentur pro eodem numero et pro capitali ipsius, scilicet loco eorum. Et quia de \({1 \over 3}\) 20 et de eorum lucro proveniunt omnes expense, quia cum capitale ipsius sit \({1 \over 3}\) 20 nil ei remanet post expendia, ideo \({1 \over 3} 20\) similes sunt de 96. 819 Unde est sicut 96 ad 120, ita \({1 \over 3}\) 20 est ad numerum servantem capitale et expensas. Quare multiplicanda sunt \({1 \over 3}\) 20 per 120, que multiplicatio est 2440, que dividenda sunt per 96, ut superius fecimus.

Rursus si proponatur ipsum lucratum esse denarios 20; quia ut dictum est de 24 lucratur 96, ergo sicut 96 sunt ad 24, ita 20 sunt ad eorum capitale. Quare multiplicabis 20 per 24 et divides per 96, hoc est accipies \({1 \over 4}\) de 20; exibunt 5, que adde cum \({5 \over 12} 25\): erunt \({5 \over 12}\) 30.

820 Adhuc lucrum sit idem de viagio in viagium et capitale ipsius sit \({1 \over 3}\) 20 et expendium secundum sit 3 plus primo, expendium quoque tertium sit 2 plus secundo, quartum vero expendium sit 2 plus tertio, et queratur expendium uniuscuiusque viagii. Invenies supradicto modo 120 et 60 et 40 et 30 et 24. Post hec multiplica \({1 \over 3}\) 20 per 120: erunt 2440, que serva. 821 Et 3, in quibus secundum expendium excedit primum, multiplica per 40 que habentur loco capitalis secundi expendii: erunt 120. Et 5, in quibus tertium expendium excedit primum, multiplica per 30: erunt 150. Item 7, in quibus ultimum expendium excedit primum, multiplica per 24, cum ipsa 24 habeantur loco capitalis eiusdem expendii; erunt 168, que adde cum 150 et cum 120 modo inventis; erunt 438, que extrahe de 2440; remanebunt 2002, que divide per 154 que proveniunt ex additione de 60 cum 40 et cum 30 et cum 24: exibunt 13 pro primo expendio.

822 Rursus capitale ipsius sit \({11 \over 15}\) 22, et in fine post expendia predicta remaneant ei denarii 12. Multiplica 12 per 24; erunt 288, que adde cum 438; erunt 726¹²⁰⁰, que extrahe ex multiplicatione de \({11 \over 15}\) 22 in 120, scilicet de 2728; remanebunt 2002, que divide per 154: exibunt similiter denarii 13 pro primo expendio.

823 Et si proponatur capitale fuisse \({5 \over 12}\) 25, et in fine remansisse ipsum capitale, et querantur expendia, extrahes 24 de 120; remanebunt 96, per que multiplica \({5 \over 12}\) 25; erunt 2440, de quibus extrahe supradicta 438; remanent 2002, que divide per 154: veniunt denarii 13 pro primo expendio.

Item capitale sit \({5 \over 12}\) 30 et in fine lucretur denarios 20. Multiplica \({5 \over 12}\) 30 per 96: erunt 2920, que serva, et multiplica 20 per 24; erunt 480, que adde cum 438 supradictis; erunt 918, que extrahe de¹²⁰¹ 2920 servatis: remanent 2002, quibus divisis per 154 veniunt 13 pro primo expendio. Quare secundum expendium est 16, tertium est 18, quartum est 20.

824 Rursus quidam fecit in primo viagio duplum, in secundo de duobus tria, in tertio de tribus quattuor, in quarto de quattuor quinque. Et expendit in primo viagio nescio quot, in secundo expendit 3 plus quam in primo, in tertio 2 plus quam in secundo, in quarto 2 plus quam in tertio, et in fine nil ei remansisse proponitur, et fiant expendia et eius capitale in numeris integris.

825 Ponamus quidem per regulam rectam capitale fuisse summam et expendium primum rem. Quare in primo viagio habuit duas summas, quia fecit duplum, de quibus expendit rem: remanserunt ei due summe minus re. Ex quibus in secundo viagio, faciendo de duobus tria, habuit tres summas re et dimidia diminuta, de quibus expendit rem et denarios tres: remanserunt tres summe, duabus rebus et dimidia et tribus denariis diminutis. 826 De quibus, faciendo de tribus quattuor in tertio viagio, habuit quattuor summas tribus rebus et tertia et quattuor denariis diminutis, de quibus expendit rem et denarios quinque, in quibus quinque denariis tertium expendium excedit primum: remanebunt quattuor summe, quattuor rebus et tertia et novem denariis diminutis. Cum quibus, faciendo de quattuor quinque in quarto viagio, habuit quinque summas minus quinque rebus et quarta et sexta rei, et minus denariis \({1 \over 4}\) 11. 827 De quibus expendita re et denariis 7, scilicet expendium quartum, remanserunt quinque summe minus rebus \({5 \over 12}\) 6 et denariis \({1 \over 4}\) 18, que equantur 0 quod remansit ei in ultimo viagio. Quare si comuniter addantur res \({5 \over 12}\) 6 et denarii \({1 \over 4} 18\), erunt quinque summe que equantur sex rebus et \({5 \over 12}\) rei et denarii \({1 \over 4}\) 18. Unde reperiendus est numerus pro una ex supradictis rebus, quo multiplicato per¹²⁰² \({5 \over 12}\) 6 proveniat numerus qui cum \({1 \over 4}\) 18 faciat sanum numerum cuius quinta sit integra. 828 Quem invenies sic: primum reperiatur numerus qui multiplicatus per¹²⁰³ \({5 \over 12}\) 6 faciat \({3 \over 4}\) plus sano; eritque 9, qui multiplicatus per¹²⁰⁴ \({5 \over 12}\) 6 facit \({3 \over 4}\) 57; quibus additis cum \({1 \over 4}\) 18 proveniunt 76, qui est integer et equatur quinque summis; quare \({1 \over 5}\) eorum est summa. Et quia illa quinta¹²⁰⁵ non est integra, multiplica \({5 \over 12}\) 6 per 12, ex qua multiplicatione provenit sanus numerus 77; quare adde 77 super 76 inventis totiens, donec proveniat numerus habens quintam. 829 Ergo addes bis 77 super 76: erunt 230, quorum quinta¹²⁰⁶, scilicet 46, est summa quesita, scilicet capitale quod ille habuit a principio. Et quia super 76 additum est duplum de 77, adde similiter duplum de 12 super 9: erunt 33 pro primo expendio. Quare secundum expendium est 36, tertium 38, quartum 40.

830 Et si hoc in aliis numeris integris reperire vis, numerum summarum et numerum rerum inventarum, scilicet 5 et \({5 \over 12} 6\) , multiplica per 12 propter 12 que sunt sub virga: provenient 60 et 77. Nam 60 habentur loco expendii quorum capitale est 77, cum expendium sit semper idem in unoquoque viagio; quare quotiens¹²⁰⁷ vis adde 60 super primum expendium, scilicet super 33, et totiens adde 77 super inventum capitale, scilicet super 46, et habebis quesitum infinitis modis.

831 Et si in fine¹²⁰⁸ proponantur 12 remansisse, per supradicta invenies quod quinque summe minus sex rebus et \({5 \over 12}\) et denarii \({1 \over 4} 18\) equantur denariis 12; quare, facta restauratione rerum diminutarum et denariorum, provenient quinque summe que equantur rebus \({5 \over 12}\) 6 et denariis \({1 \over 4}\) 30. Quare pro primo expendio, scilicet pro una ex supradictis rebus, pone 9 et semel 12, hoc est 21. Quare res \({5 \over 12}\) 6 erunt \({3 \over 4}\) 134, quibus additis \({1 \over 4}\) 30 erunt 165, que equantur quinque summis; quare summa, scilicet capitale ipsius, est 33, et expendium secundum est 24, tertium 26, quartum 28.

832 Rursus si in fine proponatur suum capitale remanere, invenies modo supradicto quod quinque summe diminutis rebus \({5 \over 12}\) 6 et denarii \({1 \over 4}\) 18 equantur uni summe; quare quattuor summe equantur rebus \({5 \over 12}\) 6 et denariis \({1 \over 4} 18\) . Pone itaque 9 pro re, quare res \({5 \over 12}\) 6 cum denariis \({1 \over 4}\) 18 sunt 76, que equantur quattuor summis; ergo summa est 19, scilicet capitale ipsius. Et si proponatur ipsum lucratum esse denarios 12, invenies quod quattuor summe equantur rebus \({5 \over 12}\) 6 et denariis \({1 \over 4}\) 30. Pone itaque rem esse 9, quare res \({5 \over 12}\) 6 cum denariis \({1 \over 4}\) 30 sunt 88, quorum quarta, scilicet 22, est capitale.

833 Si vero per regulam versam hanc ultimam questionem solvere vis, quia in fine proponitur remansisse capitale et denarios 12, ergo remansit ei summa et 12 post ultimum expendium, quod¹²⁰⁹ fuit res et denarii 7. Quibus insimul iunctis erit summa et res et denarii 19, que habuit cum de 4 fecit 5; quare ex eis accipe \({4 \over 5}\): veniunt \({4 \over 5}\)¹²¹⁰ unius summe et \({4 \over 5}\) unius rei et denarios \({1 \over 5}\) 15, et tot habuit in fine tertii viagii. Cum quibus adde expendium ipsius viagii, scilicet rem et denarios 5: erunt \({4 \over 5}\) summe et \({9 \over 5}\) rei et denarii \({1 \over 5}\) 20, et tot habuit postquam de 3 fecerat 4. 834 Quare accipe \({3 \over 4}\) eorum: erunt \({3 \over 5}\) summe et \({27 \over 20}\) rei et denarii \({3 \over 20}\) 15, et tot habuit in fine secundi viagii. Cum quibus adde expendium eiusdem viagii, scilicet rem et denarios 3: erunt \({3 \over 5}\) summe et¹²¹¹ \({47 \over 20}\) rei et denarii \({3 \over 20}\) 18, et tot habuit cum de 2 fecerat 3. 835 Quare accipe \({2 \over 3}\) eorum: erunt \({2 \over 5}\) summe et \({47 \over 30}\) rei et denarii \({1 \over 10} 12\)¹²¹², et tot habuit in fine primi viagii. Cum quibus adde expendium ipsius, scilicet rem: erunt \({2 \over 5}\) summe et \({77 \over 30}\) rei et denarii \({1 \over 10} 12\), et tot habuit ex duplo primi viagii. 836 Quare dimidia ea: provenient quinta summe et \({77 \over 60}\) rei et denarii \({1 \over 20} 6\) que equantur summe, scilicet capitali; quare extracta quinta summe remanebunt \({4 \over 5}\) summe que equantur \({77 \over 60}\) rei et denariis \({1 \over 20} 6\).Quare quincuplum de \({4 \over 5}\) unius summe, scilicet summe quattuor, equantur quincuplo de \({77 \over 60}\) rei et denariis \({1 \over 20} 6\), hoc est rebus \({5 \over 12}\) 6 et denariis \({1 \over 4}\) 30, ut superius per regulam rectam invenimus; deinceps operaberis ut supra.

837 Nam si secundum alium modum solutiones harum quattuor questionum invenire vis, pone per ordinem ut supra \({4 \over 5}\) \({3 \over 4}\) \({2 \over 3}\) \({1 \over 2}\), ex quibus ut supra invenias 120 et 60 et 40 et 30 et 24 et 154 et 438, et addes¹²¹³ cum 438 totiens 154, donec proveniat numerus qui integraliter per 120 dividatur. 838 Et hoc erit trigesies ter, quia multiplicatis 154 per 33 faciunt 5082, cum quibus additis 438 proveniunt 5520, quibus divisis per 120 veniunt 46 pro capitali¹²¹⁴, et expendium¹²¹⁵ primum erit 33. Et si vis ut in fine viagiorum remaneant denarii 12, ut dictum est, multiplica 12 per 24 predicta¹²¹⁶; erunt 288, que adde cum 438: erunt 726, cum quibus addes totiens 154 donec proveniat numerus qui integraliter dividatur per 120, et hoc erit vigesies semel. 839 Nam ex 21 in 154 proveniunt 3234, cum quibus additis 726 erunt 3960, quibus divisis per 120 proveniunt 33 pro capitali¹²¹⁷. Et expendium primum erit 21, ut inventum est supra. Rursus si vis ut in fine viagiorum suum remaneat capitale, extrahe 24 de 120, scilicet multiplicatio numerorum qui sunt super virgis ex multiplicatione numerorum qui sunt sub ipsis: remanebunt 96. 840 Deinde adde super 438 totiens 154 donec proveniat numerus cuius nonagesima sexta pars sit integra, et hoc erit novies, quia ex multiplicatione de 9 in 154 veniunt 1386, quibus additis cum 438 erunt 1824, que divide per 96: veniunt 19 pro capitali¹²¹⁸, et expendium primum erit 9, ut supra. 841 Similiter si lucratus fuerit denarios 12 in fine, super 726 addes totiens 154 donec proveniat numerus qui integraliter dividatur per 96, et hoc erit novies, quia ex ductis 9 in 154, faciunt 1386, quibus additis 726 proveniunt 2712, que divide per 96: veniunt 22 pro capitali, et primum expendium est 9, ut superius invenimus.

842 Modus alius de viagiis

Item quidam habebat bizantios 13, et cum ipsis fecit viagia nescio quot et in unoquoque faciebat duplum et expendebat bizantios 14, et in fine nichil ei remansit¹²¹⁹. Queritur quantitas suorum viagiorum. Quia faciebat duplum, duplica 13; erunt 26, de quibus extrahe 14: remanent 12, et habemus unum viagium. Item duplica 12; erunt 24, de quibus extrahe 14: remanent 10, et habemus duo viagia, de quibus provideas minutionem sui capitalis de viagio in viagium. 843 In primo viagio remanserunt ei 12; ergo minuit 1 suum capitale. In secundo minuit 2, ideo quia remanserunt ei 10. Ergo duplicando

viagii \({3 \over 4}\) 3

¹²²⁰ vadit minutionem de viagio in viagium; quare duplica 2, que sunt minutio secundi viagii: erunt 4, et habemus minutionem tertii viagii. 844 Adde modo tres minutiones trium viagiorum inventorum, videlicet 1 et 2 et 4: erunt 7, a quibus usque in 13 desunt 6, que remanent in minutione quarti viagii. Quare duplica minutionem tertii viagii¹²²¹, scilicet 4; erunt 8, in quibus divide 6: veniunt \({3 \over 4}\) unius viagii. Ergo fecit ipse cum ipsis 13 bizantiis viagia \({3 \over 4}\) 3.

845 Sed quia videtur incongruum dicere aliquem fecisse \({3 \over 4}\) unius viagii, hoc emendari sic docemus. Videlicet cum in viagio faciat duplum, ergo in 1 lucratur alium; ergo in \({3 \over 4}\) unius viagii de ipso 1 lucratur \({3 \over 4}\) unius bizantii; ergo facit de 4 septem. Et erunt quattuor viagia, ex quibus in primo et in secundo et in tertio fecit duplum et expendit 14, et in quarto fecit de quattuor septem et expendit tres quartas de 14, scilicet \({1 \over 2}\) 10.

846 De eodem

Tamen si propositum fuerit quod in fine ignotorum viagiorum ei supersint bizantii 4, sic erit faciendum: scilicet extrahes 4 de superatione minutionum¹²²² trium viagiorum que ei

viagii \({1 \over 4} 3\)

¹²²³ remanet de suo capitali, videlicet de 6 qui superius per 8 dividuntur; remanent 2, que divide iterum per eadem 8, scilicet per minutionem quarti viagii: exibit \({1 \over 4}\), ergo facit ipse viagia \({1 \over 4} 3\).

847 Iterum si de quarta unius viagii unum viagium instruere volueris, cum in unoquoque viagio lucretur de 1 bizantium alium, ergo in \({1 \over 4}\) unius viagii de 1 lucratur quartam partem unius bizantii; ergo de 1 facit \({1 \over 4} 1\), hoc est de quattuor quinque, et expendit in ipso quartam partem de 14, id est \({1 \over 2}\) 3. 848 Si autem numerus quesite superationis, id est 4, maior esset dicte superationis trium viagiorum, scilicet de 6, unde non posset ipsam extrahere ab eadem, oporteret eam extrahere de residuo minutionis duorum viagiorum quod ei remanet de suo capitali, id est de 10. Et si adhuc eam de 10 extrahere non posses, extraheres eam de 12, id est de superatione minutionis primi viagii. Et sic poteris invenire prepositas quaslibet superationes.