954 De integrorum commistione cum minutis

Si propositum fuerit commiscere 2 integra cum minutis tribus, ut dicamus cum \({3 \over 5}\), et

\({3 \over 5}\) 2 \({3 \over 5}\) 2

¹³³⁵ fiant 5 ita commixta, hoc est 2 et 3 faciunt 5; deinde multiplicentur 5 per 5, et faciunt 25, et queratur de istis 25 quid fiant, sic facies: describe \({3 \over 5}\) 2 bis, tanquam ad invicem ea debeas multiplicare; deinde multiplica 2 integra per 2 integra: erunt integra 4, que serventur. 955 Postea multiplica 2 integra que sunt in superiori linea per 3 que sunt super 5 de inferiori¹³³⁶: erunt \({6 \over 5}\), et econverso¹³³⁷ multiplica 2 integra inferiora per 3 que sunt super 5 de superiori¹³³⁸: erunt similiter \({6 \over 5}\), quibus insimul additis faciunt \({12 \over 5}\). Post hec multiplica \({3 \over 5}\) per \({3 \over 5}\): faciunt \({9 \over 25}\), et talia erant illa 25, hoc est quod quattuor ipsorum sunt integra et 12 eorundem sunt quinte; reliqua vero 9 sunt vigesime quinte. 956

integri 4 quinti 12 vigesimi quinti 9

¹³³⁹ Que si insimul coadunaveris faciendo integra de minutis, pervenies in summam multiplicationis de \({3 \over 5} 2\) in \({3 \over 5}\) 2. Verbi gratia: si \({3 \over 5}\) 2 per \({3 \over 5}\) 2 multiplicaveris, facient \({19 \over 25}\) 6; et si coadunaveris 4 integra cum \({12 \over 5}\) erunt \({2 \over 5}\) 6, quibus si superaddideris \({9 \over 25}\) facient \({19 \over 25}\) 6, ut prediximus.

957 Item si dictum fuerit quod additis 2 integris cum \({2 \over 5}\) \({3 \over 4}\) faciant 7, et additis 5 cum \({8 \over 9}\) \({6 \over 7}\) faciant 19, et multiplicentur 7 per 19, que faciunt 133, et queratur de illis 133 quid sint. Describes itaque \({2 \over 5}\) \({3 \over 4}\) 2 et \({8 \over 9}\) \({6 \over 7}\) 5 tamquam ea ad invicem debeas multiplicare, et incipies multiplicationem ab integris, scilicet multiplica 2 per 5: faciunt 10, que sunt integra. Deinde multiplica 2 per \({6 \over 7}\): erunt \({12 \over 7}\) quas serva, et 5 integra multiplica per \({3 \over 4}\): erunt \({15 \over 4}\). Rursus multiplica 2 integra per \({8 \over 9}\): erunt \({16 \over 9}\), et 5 per \({2 \over 5}\): erunt \({10 \over 5}\), et \({3 \over 4}\) per \({6 \over 7}\): erunt \({18 \over 28}\). 958 Post hec multiplica \({3 \over 4}\) per \({8 \over 9}\): erunt \({24 \over 36}\), et \({6 \over 7}\) per \({2 \over 5}\): erunt \({12 \over 35}\), et adhuc \({2 \over 5}\) per \({8 \over 9}\): erunt \({16 \over 45}\), et talia sunt illa 133, videlicet 10 ipsorum sunt integra, et 12 eorum sunt septime, et 15 sunt quarte, et deinceps reliqua sunt sicuti superius modo invenimus. Que omnia insimul iuncta reddunt 133; que si naturaliter addideris, reverteris in summam multiplicationis de \({2 \over 5}\) \({3 \over 4}\) 2 in \({8 \over 9}\) \({6 \over 7}\) 5. Et sic ex eorum similibus studeas operari.

959 Quidam ad finem veniens, maiori filiorum precepit dicens: substantiam mobilie mee inter vos sic dividite; tu bizantium unum accipias et septimam reliquorum. Alteri vero filiorum dixit: et tu bizantios 2 accipias et septimam partem reliquorum. Alteri vero ut 3 bizantios acciperet et \({1 \over 7}\) reliquorum imperavit. 960 Et sic vocavit omnes suos filios per ordinem, dando unicuique amplius unum quam alteri et deinceps semper \({1 \over 7}\) reliquorum. Ultimus autem habuit residuum. Contingit autem quod unusquisque habuit de substantia patris eorum equaliter, predicta conditione. Queritur quot fuerunt filii et quanta fuit pecunia ipsius. Ita enim facies: pro septimo quod dabat unicuique retineas 7, de quibus extrahe 1: remanent 6, et tot fuerunt filii eius. Que 6 in se¹³⁴⁰ multiplicata¹³⁴¹ facient 36, et tot fuerunt bizantii illius.

961 Et si primus filiorum haberet \({1 \over 7}\) substantie patris et¹³⁴² postea bizantium 1, et secundus haberet \({1 \over 7}\) reliqui et bizantios 2, et hoc modo procederet in reliquis filiis, addendo unicuique per ordinem bizantium 1, tunc filii essent similiter 6 et bizantii essent septies 6, scilicet 42. Et si in unaquaque questione primus habuisset bizantios 3, secundus 6, et reliqui haberent similiter suos bizantios per ascensionem ternarii, tunc filii essent similiter 6 et summa bizantiorum esset triplum dictarum summarum, scilicet de 36 et de 42.

962 Item divisi numerum in partes, et prime parti dedi unum et \({2 \over 11}\) residui, secunde quidem dedi 2 et \({2 \over 11}\) residui, et sic addidi 1 unicuique parti, dans similiter ei \({2 \over 11}\) residuii, et fuerunt partes equales. Queritur quot fuerunt partes¹³⁴³ et que fuit summa¹³⁴⁴.

Divide 11 per 2 que sunt super 11; venient \({1 \over 2}\) 5, ex quibus tolle 1: remanent \({1 \over 2}\) 4, et tot fuerunt partes. Que insimul multiplicata¹³⁴⁵, erunt \({1 \over 4}\) 20 pro numero diviso.

963 Et si prime darem 4 ex numeris, et secunde 8, et reliquis darem per ordinem numeros ascendentes per 4, tunc summa esset 81, scilicet quadruplum de \({1 \over 4}\) 20. Nam si prime parti darem \({2 \over 11}\) et de reliquis 1, et cetera ut supra, partes similiter essent \({1 \over 2}\) 4 et summa esset \({3 \over 4}\) 24, que veniunt ex \({1 \over 2}\) 4 in \({1 \over 2}\) 5. Et si numerus prime partis esset 5, secunde 10, et cetera, multiplica \({3 \over 4}\) 24 per 5. Et si loco de \({2 \over 11}\) ponerentur \({3 \over 11}\), divides 11 per 3, et deinceps fac ut supra.

964 Rursus divisi numerum dragmarum in partes, et dedi prime parti dragmas 2 et \({6 \over 31}\) residui, secunde vero parti dedi 3 plus, scilicet 5, et de residuo dedi eidem \({6 \over 31}\), tertie quidem dedi 3 plus, scilicet 8, et deinceps processi in reliquis partibus eodem modo per ordinem dando unicuique 3 plus antecedente parte et amplius \({6 \over 31}\) unicuique de residuo, et fuerunt omnes partes equales. Queritur quot fuerunt partes et qui fuit numerus divisus.

965 Solvam itaque hanc questionem per regulam rectam hoc modo: ponam rem pro numero illo de quo dedi prime parti 2; remansit res minus dragmis 2, de qua dedi eidem prime parti \({6 \over 31}\), scilicet \({6 \over 31}\) rei minus \({12 \over 31}\) dragme¹³⁴⁶, quibus additis cum dragmis 2 faciunt \({6 \over 31}\) rei et dragmam \({19 \over 31}\) 1, que sunt portio prime partis. 966 Quibus extractis ex re, remanent \({25 \over 31}\) rei minus dragma \({19 \over 31} 1\), de quibus dedi secunde parti 5; remanserunt \({25 \over 31}\) rei minus dragmis \({19 \over 31} 6\), de quibus etiam dedi secunde parti \({6 \over 31}\) ipsorum, scilicet \({150 \over 961}\) rei minus \({6 \over 31}\) de dragmis \({19 \over 31}\) 6, quas sic accipies: multiplicabis 6 per 31 et addes 19; erunt \({205 \over 31}\), de quibus accipe \({6 \over 31}\), scilicet multiplica 6 per 205 et divide per 961, scilicet per \({1~~0 \over 31~~31}\): exibit dragma \({269 \over 961}\) 1. 967 Adde ergo \({150 \over 961}\) rei minus dragma \({269 \over 961}\) 1 cum dragmis 5 quas dedi secunde parti: erunt \({150 \over 961}\) rei et dragme \({692 \over 961}\) 3, et tot fuit secunda pars, que equantur prime parti, scilicet \({6 \over 31}\) rei et dragme \({19 \over 31}\) 1. Comuniter auferatur dragma \({19 \over 31}\) 1: remanebunt \({150 \over 961}\) rei et \({2025 \over 961}\) dragme que equantur \({6 \over 31}\) rei. Comuniter auferantur \({150 \over 961}\) rei: remanebunt \({36 \over 961}\) rei que equantur \({2025 \over 961}\) dragme, hoc est quod res 36 sunt dragme 2025. 968 Quare divide 2025 per 36: exibunt \({1 \over 4}\) 56 pro quesito numero, de quo extrahe 2 que dedi prime parti: remanent \({1 \over 4}\) 54, quorum \({6 \over 31}\) sunt \({1 \over 2}\) 10, que adde cum 2; erunt \({1 \over 2}\) 12, et tot venit¹³⁴⁷ unicuique parti. Et partes quesite sunt \({1 \over 2}\) 4, que veniunt ex divisis \({1 \over 4}\) 56 per \({1 \over 2}\) 12. Extrahe quidem \({1 \over 2}\) 12 de \({1 \over 4}\) 56; remanent \({3 \over 4}\) 43, de quibus dedi secunde parti 5: remanserunt \({3 \over 4}\) 38, quorum \({6 \over 31}\) sunt \({1 \over 2}\) 7, et sic secunda pars fuit equalis prime. 969 Extractis itaque \({1 \over 2}\) 7 de \({3 \over 4}\) 38, remanent \({1 \over 4}\) 31, de quibus dedi tertie parti 8: remanserunt \({1 \over 4} 23\), quorum \({6 \over 31}\) sunt \({1 \over 2} 4\); et sic tertia pars fuit equa prime et secunde. Extractis rursus \({1 \over 2}\) 4 de \({1 \over 4}\) 23, remanent \({3 \over 4}\) 18, de quibus dedi quarte parti 11: remanserunt \({3 \over 4}\) 7, de quibus dedi \({6 \over 31}\) eidem, scilicet \({1 \over 2}\) 1; et sic quarta pars fuit equalis reliquis partibus. Quo \({1 \over 2}\) 1 extracto de \({3 \over 4}\) 7, remanent \({1 \over 4}\) 6, scilicet portio que remanet dimidie parti residue, quia partes sunt \({1 \over 2}\) 4.

970 Ex hac quidem investigatione talem extraxi regulam: posui \({6 \over 31}\) ex parte et extraxi 2 que dedi

25 2 \({6 \over 31}\) 3 1

¹³⁴⁸ prime ex augmento reliquarum partium, scilicet de 3; remansit¹³⁴⁹ 1, quod multiplicavi per 31 et superaddidi 50 que proveniunt ex multiplicatione predictorum 2 in 25, que 25 remanent de 31 cum extrahuntur inde 6 que sunt super virgam: <fuerunt 81>. Que 81 multiplicavi per eadem 25: fuerunt 2025. Et multiplicavi 6 predicta in se: fuerunt 36, in quibus divisi 2025 ut supra, et habui \({1 \over 4}\) 56 pro quesito¹³⁵⁰ numero. 971 Item multiplicavi augmentum, scilicet 3, per 6 que sunt super 31: fuerunt 18, in quibus divisi 81 et habui \({1 \over 2}\) 4 pro numero partium¹³⁵¹. Rursus multiplicavi augmentum per 25 inventa et divisi summam per 6, et habui \({1 \over 2}\) 12 pro numero contingenti unicuique parti.

972 Et si primum darentur \({6 \over 31}\) unicuique parti, et postea darentur numeri predicti per ordinem, tunc predicta 81 multiplica¹³⁵² per 31 et divide summam per 36 ut supra: exibunt \({3 \over 4}\) 69 pro summa numeri quesiti. Et divides iterum 81 per 18: exibunt similiter \({1 \over 2}\) 4 pro quantitate partium. Item augmentum, scilicet 3, multiplica per 31, et summam divide per 6 que sunt super 31: exibunt \({1 \over 2}\) 15, et tot contingunt unicuique parti.

973 Item prime parti dedi 3, et de residuo dedi eidem \({5 \over 19}\), et crevi numeros per ascensionem

14 1 \({5 \over 19}\) 3 2

¹³⁵³ binarii, dans de residuo unicuique parti \({5 \over 19}\). Pone \({5 \over 19}\) ex parte cum augmento et cum numero primo, scilicet cum 2 et 3. Et quia 3 de 2 extrahi non possunt, scilicet primus numerus de augmento, tunc extrahes 2 de 3; remanet 1, quod multiplica per 19: erunt 19, que serva. 974 Et extrahe 5 que sunt super 19 de 19: remanent 14 que multiplica per 3; erunt 42, de quibus extrahe servata 19: remanent 23, que multiplica per 14; erunt 322, que divide per multiplicationem de 5 in se: exibunt \({22 \over 25}\) 12 pro numero diviso. Item multiplica 2, scilicet augmentum, per 5; exibunt 10, in quibus divide 23: veniunt \({3 \over 10}\) 2 pro quantitate partium. Item multiplica augmentum per 14; erunt 28, que divide per 5: exibunt \({3 \over 5}\) 5, et tot contingunt unicuique parti.

975 Et si primum darentur \({5 \over 19}\) et postea darentur dicti numeri¹³⁵⁴ per ordinem, tunc partes essent eedem¹³⁵⁵, et multiplicabis augmentum per 19; erunt 38, que divides per 5: exibunt \({3 \over 5}\) 7, et tot contingerent unicuique parti. Et multiplica 19 per 23 et divide per 25 et habebis summam numeri divisi, que est \({12 \over 25} 17\)¹³⁵⁶.