101 De quinque hominibus qui invenerunt equum

Quinque homines bizantios habentes equum emere voluerunt; ex quibus primus petit secundo dimidium suorum bizantiorum et secundus petit tertio tertiam et tertius petit quarto quartam et¹²⁷ quartus petit quinto quintam, et quintus similiter petit primo sextam suorum bizantiorum: et sic unusquisque proponit ipsum equum emere. Queritur quot bizantios unusquisque habuit et quod fuit pretium equi.

102 Pone quidem ut primus habeat bizantios 13 et equus valeat bizantios 20. Quare secundus habebit 14, scilicet duplum differentie que est a 13 in 20, quia si ex ipsis 14 primus haberet dimidium, scilicet 7, sicuti petit secundo, cum suis bizantiis 13 haberet pretium equi¹²⁸, scilicet bizantios 20. 103 Propter eadem¹²⁹ ergo tertius habebit 18, scilicet triplum differentie que est a 14 usque in 20, et quartus habebit 8, scilicet quadruplum differentie que est a 18 usque in 20, et quintus habebit 60, scilicet quintuplum differentie que est ab 8 usque in 20. Cum quibus bizantiis 60 si addideris sextam partem bizantiorum primi hominis, scilicet de 13, habebis bizantios \({1 \over 6}\) 62, qui deberent esse 20, scilicet pretium equi. Quare in hac prima positione superant¹³⁰ quinto homini bizantii \({1 \over 6}\) 42. 104 Unde oportet in secunda positione aut mutare pretium equi aut bizantios primi hominis. Mutemus primum pretium equi et ponamus ipsum 21, scilicet bizantium 1 plus quam in prima positione. Unde cum primus habet bizantios 13, secundus habebit 16. Quare et tertius habebit 15 et quartus habebit 24, scilicet 3¹³¹ plus pretio equi. 105 Quare oportet ut quintus homo habeat debitum, ex quo quartus homo petit quintam, hoc est quod poterit emere equum et reddere quinto homini bizantios 3 pro quinta parte sui debiti. Ergo quintus habet debitum bizantiorum 15, de quibus extractis bizantiis \({1 \over 6}\) 2, scilicet sexta parte bizantiorum primi hominis, remanebit eidem quinto¹³² homini debitum bizantiorum \({5 \over 6}\) 12. 106 Ergo ut ipse habeat pretium equi minuunt ei bizantii \({5 \over 6}\) 12 et insuper pretium equi, qui sunt in summa bizantii \({5 \over 6}\) 33. In prima ergo positione superaverunt quinto homini bizantii \({1 \over 6}\) 42; in secunda minuunt ei bizantii \({5 \over 6}\) 33, unde cognoscitur quod verum pretium equi est inter utramque positionem, scilicet inter 20 et 21.

107 Quare dices: pro bizantio 1 quem crevi super pretium equi, minui quinto homini bizantios \({1 \over 6}\) 42 qui superaverunt ei in prima positione et bizantios \({5 \over 6}\) 33 qui minuunt¹³³ ei in secunda, hoc est in summa bizantios 76; quid superaddam prime positioni ut tantum minuantur bizantii \({1 \over 6}\) 42? Vel quid extraham de secunda positione, ut augeantur ipsi quinto homini bizantii \({5 \over 6}\) 33 qui minuunt ei in secunda positione? 108 Quare si multiplicaveris \({1 \over 6}\) 42 per 1 et divides per 76, oportebit ut hoc quod inde colligeris addas super bizantios 20 prime positionis; et si multiplicaveris bizantios \({5 \over 6}\) 33 per eundem 1 et divides per eundem 76¹³⁴, oportebit ut hoc quod inde exierit extrahatur de bizantiis 21 secunde positionis.

109 Vel multiplica errorem primum per positionem

primus 456 secundus 530 tertius 573 quartus 592 quintus 645 equus 721

¹³⁵ secundam, scilicet \({1 \over 6}\) 42 per 21, et errorem secundum per positionem primam¹³⁶, scilicet \({5 \over 6}\) 33 per 20, et adde has multiplicationes in unum: erunt \({1 \over 6} 1562\)¹³⁷, que divide per coniunctum ex erroribus, scilicet per 76. Et sic habebis pretium equi per qualem volueris modum; quod pretium est bizantii \({1~~42 \over 6~~76}\) 20. 110 Quod pretium si integrum habere volueris, multiplica 20 per suam virgulam, scilicet per 76 et adde 42¹³⁸, que per 6 et adde 1: erunt 9373, et tantum valeret equus. Ergo si multiplicaveris¹³⁹ bizantios 13 primi hominis per eandem virgulam, scilicet per 76 et per 6, habebis bizantios primi hominis. 111 Sed cum 9373 integraliter per 13 dividatur, divide ipsa per 13: exibunt pro pretio equi bizantii 721; et multiplica tantum terdecimam partem ex ipsis bizantiis 13, scilicet 1, per suprascripta¹⁴⁰ 76 et per 6, et habebis 456 pro bizantiis primi hominis. Unde secundus habet 530, tertius 573, quartus 592¹⁴¹, quintus 645.

112 Nam si per mutationem primi hominis hoc idem reperire volueris, serva \({1 \over 6}\) 42 qui superant quinto homini in prima positione et pone quod primus habeat bizantios 12, scilicet 1 minus quam in prima positione; a quibus usque in pretium equi, scilicet 20, desunt 8, quorum duplum habet secundus, scilicet 16. 113 Quare tertius habet 12 et quartus habet 32, qui cum habeat 12 plus pretio equi, oportet ut ipsi bizantii 12 sint quinta¹⁴² debiti quinti hominis. Ergo quintus homo habet debitum bizantiorum 60; de quibus extractis bizantiis 2, scilicet sexta parte bizantiorum primi hominis quos querit, remanet ei debitum bizantiorum 58. 114 Ergo in hac secunda positione minuunt quinto homini ipsi bizantii 58 et insuper pretium equi, scilicet in summa bizantii 78. Ergo pro uno quod minuimus in secunda positione primo homini, minuerunt quinto homini bizantii \({1 \over 6}\) 42 qui superant ei in prima positione et insuper bizantii 78 qui minuunt ei in secunda, hoc est in summa bizantii \({1 \over 6} 120\).

115 Quare dices: pro uno quod minui in secunda

minui \({1 \over 6} 120\) 1 \({1 \over 6} 42\)

¹⁴³ positione primo homini, minuerunt¹⁴⁴ quinto homini \({1 \over 6}\) 120; quid minuam ex eadem prima positione ut tantum minuantur quinto homini \({1 \over 6}\) 42? 116 Multiplica \({1 \over 6}\) 42 per 1, et divides per \({1 \over 6}\) 120, et hoc quod exierit extrahes de

crevi \({1 \over 6} 120\) 1 78 \({468 \over 721}\)

¹⁴⁵ bizantiis 13 prime positionis: residuum vero erit quantitas bizantiorum primi hominis. Vel dices: pro uno quod crevi in secunda positione, creverunt quinto homini bizantii \({1 \over 6}\) 120; quid adcrescam super secundam positionem ut tantum augeantur quinto homini bizantii 78 qui minuunt ei in secunda positione? 117 Multiplica ergo 78 per 1, et divides per \({1 \over 6}\) 120: exibunt \({468 \over 721}\), quibus additis cum bizantiis 12 secunde positionis, reddunt bizantios \({468 \over 721}\) 12 pro quantitate bizantiorum primi¹⁴⁶ hominis, cum pretium equi fuerit bizantii 20.

118 Nam ut redigamus eos in integrum, multiplica bizantios primi hominis per 721, et sic habebis pro quantitate primi hominis bizantios 9120, qui exeunt ex multiplicatione de 12 in 721 cum additatione¹⁴⁷ de 468 que sunt super virgulam; et pro pretio equi habebis bizantios 14420. 119 Qui numeri, scilicet 9120 et 14420, cum habeant ad invicem vicesimam¹⁴⁸, dividatur uterque numerus per 20, et sic habebis pro quantitate primi hominis bizantios 456 et pro pretio equi bizantios 721¹⁴⁹, ut superius inventum est.