163 De quattuor hominibus equum emere volentibus

Quattuor homines bizantios habentes equum emere voluerunt; ex quibus primus petit reliquis \({1 \over 2}\) suorum bizantiorum et cum suis bizantiis quos habet proponit se ipsum equum emere. Secundus petit reliquis \({1 \over 3}\); tertius \({1 \over 4}\); quartus similiter petit reliquis \({1 \over 5}\) suorum bizantiorum et poterit ipsum equum emere. Queritur quot denarios unusquisque habuit²⁰⁴ et quot equus vendebatur.

164 Pone quidem ut primus habeat bizantios 6 et equus valeat bizantios 30; et sic oportebit ut reliqui tres habeant bizantios 48, ideo quia primus petit reliquis \({1 \over 2}\) suorum bizantiorum, scilicet 24, cum quibus, cum ipse habeat bizantios 6, habebit pretium equi, scilicet 30. 165 Ergo summa bizantiorum quattuor hominum erit 54, ex qua oportet tantum dari secundo, ut cum ipse habuerit tertiam residui, habeat 30. Quod per positionem alterius elchataym inveniri potest. Unde in hac questione etiam et in similibus plures elchataym necessarii sunt, in quibus non modicum considerandum est. 166 In hac enim et similibus questionibus in ipsa prima positione primam universalem appellabis. Secunda vero, cum qua questio solvetur, secunda universalis appellabitur. Positiones vero²⁰⁵ reliquorum elchataym, per quas positiones bizantii uniuscuiusque hominis reperientur, particulares nuncupantur. 167 Deinde pone ut secundus ex ipsis bizantiis 54 habeat bizantios 12 in hac prima particulari positione, et remanent reliquis tribus bizantii 42; ex quibus, cum ipse petat eis tertiam partem, scilicet 14, cum suis bizantiis 12 habebit bizantios 26, qui vellent esse bizantii 30, scilicet pretium equi. Ergo in hac prima particulari positione minuunt secundo homini bizantii 4. 168 Quare in secunda particulari positione pone ut secundus habeat bizantios 15 ex suprascriptis bizantiis 54, scilicet bizantios 3 plus quam in prima particulari positione; cum quibus adde tertiam partem residuorum, scilicet de bizantiis 39: faciunt bizantios 28, qui deberent²⁰⁶ esse 30. Quare in hac secunda particulari positione²⁰⁷ minuunt²⁰⁸ eidem secundo homini bizantii 2. 169 In prima positione enim minuerant ei bizantii 4; ergo per 3 quos crevimus ei, adpropinquavit veritati 2 et restant ad adpropinquandum alii bizantii 2. Quare multiplicabis 2 per 3 et divides per 2: exibunt alii bizantii 3, quos adde cum bizantiis 15 suprascriptis: erunt 18, et tot habet secundus.

170 Aliter sine elchataym bizantios secundi hominis reperire potes: summa enim 4 hominum est bizantii 54, ex quibus secundus habet bizantios 30, habita tertia parte de bizantiis trium reliquorum hominum; ergo remanet eis tribus residuum quod est a bizantiis 30 usque in bizantios 54, scilicet bizantii 24; qui bizantii 24 due tertie summe eorum trium hominum esse necesse est, cum ipsi tres homines dederint secundo aliam tertiam partem. 171 Quare inveniendus est numerus ex quo 24 sint \({2 \over 3}\), qui²⁰⁹ numerus sic invenitur: multiplica 3 per 24, et divides per 2; exibunt bizantii 36 pro quesito numero. Ergo tot habent ipsi tres; residuum vero quod est ab ipsis bizantiis 36 usque in bizantios 54, scilicet bizantios 18, habet secundus, ut per elchataym modo invenimus. 172 Deinde accedes ad tertium hominem, cui ex suprascriptis bizantiis 54 tot oportet dare²¹⁰, ut cum supra suos bizantios habuerit quartam partem reliquorum, habeat et ipse similiter bizantios 30, scilicet pretium equi; quod per elchataym, vel per alium modum per quem bizantios secundi hominis modo invenimus, reperire potes.

173 Unde qualitercumque hoc feceris, invenies quod tertius homo habebit bizantios 22 ex ipsis bizantiis 54; quibus bizantiis 22 additis cum bizantiis 18 secundi hominis et cum 6 primi faciunt bizantios 46; a quibus usque in bizantios 54 desunt bizantii 8, et tot habet quartus homo. Cum quibus 8 si addideris quintam partem de bizantiis 46 quos habent reliqui tres homines, faciunt bizantios \({1 \over 5}\) 17, qui vellent esse bizantii 30. 174 Quare prima universalis positio falsa est, in qua quarto homini minuunt bizantii \({4 \over 5}\) 12 qui desunt ab ipsis bizantiis \({1 \over 5}\) 17 usque in 30. Quare in secunda universali positione augebis pretium equi vel minues bizantios primi hominis. Augeatur quidem pretium equi sitque bizantii 36. Ex quibus primus habet bizantios 6; quare desunt ei bizantii 30 ut habeat ipsum pretium equi, qui bizantii 30 dimidium de bizantiis reliquorum trium hominum esse necesse est. 175 Quare reliqui tres homines habent duplum ex ipsis bizantiis 30, scilicet 60; quibus additis cum bizantiis 6 primi hominis, reddunt bizantios 66 pro summa illorum quattuor hominum, ex qua oportet ut secundus habeat 21 et tertius 26, ut unusquisque illorum suum possit adimplere propositum; quorum unusquisque reperitur per elchataym vel per alium modum superius demonstratum per quem levius quam per elchataym ipsos posse reperiri cognoscas.

176 Quibus numeris inventis, adde eos cum bizantiis primi hominis: erunt bizantii 53, et tot habent inter primum et tertium et secundum; a quibus bizantiis 53 usque in bizantios 66, scilicet in summam²¹¹ quattuor hominum, sunt bizantii 13, et tot habet quartus homo. Cum quibus adde quintam partem de bizantiis 53: erunt bizantii \({3 \over 5}\) 23, qui debent esse 36, scilicet pretium equi. Ergo in hac secunda universali positione minuunt quarto homini bizantii \({2 \over 5}\) 12, qui sunt quinte 62. 177 In prima vero universali positione minuerant ei bizantii \({4 \over 5}\) 12, scilicet quinte 64:

quinte bizantii 2 6     62

²¹² ergo pro bizantiis 6 quos crevimus pretio equi, adpropinquavimus veritati quintas 2 et restant ad adpropinquandum quinte 62. Quare multiplicabis 6 per 62 et divides per 2, hoc est 3 per 62 et divides per 1; exibunt bizantii 186, quos adde cum bizantiis 36, scilicet cum pretio equi secunde positionis: erunt bizantii 222. 178 Vel secundum regulam augmenti et diminutionis multiplica 64 per 36, extrahe inde 62 vicibus 30, et que superfuerint divide per differentiam errorum, scilicet per 2: exibunt similiter bizantii 222, qui sunt pretium equi. Qui bizantii 222 cum habeant comunem regulam cum bizantiis 6 primi hominis, scilicet \({1 \over 6}\), divide unumquemque ipsorum numerorum per 6, et sic habebis 1 pro bizantiis primi hominis et 37 pro pretio equi. 179 Cum quibus, si sciveris invenire bizantios reliquorum trium hominum per elchataym vel per alium modum per quem superius ipsos invenire demonstravimus, invenies quod secundus habet bizantios 19, tertius bizantios 25, quartus bizantios 23²¹³, ut in quinta parte duodecimi capituli per primam regulam demonstravimus.

180 Tres homines habebant libras nescio quot sterlingorum, quarum medietas erat primi, tertia erat secundi, sexta erat tertii. Quas²¹⁴ cum vellent in loco tutiori habere, quilibet eorum sumpsit fortuitu ex eis²¹⁵, et cum ad tutum devenissent locum, primus posuit in comune \({1 \over 2}\) ex his que sumpserat, secundus \({1 \over 3}\), tertius \({1 \over 6}\); ex quarum²¹⁶ trium positionum summa cum unusquisque caperet tertiam partem, quilibet ipsorum suam²¹⁷ portionem habuisse proponitur.

181 Pone itaque summam²¹⁸ sterlingorum totam fuisse 12 et quod ex his posuerint in comune 3, de quibus pro tertia parte unusquisque habuit 1. Cum quo 1, cum primus habuisset \({1 \over 2}\) totius summe, scilicet 6, ergo habebat ipse tunc 5; que 5 remanserant ei cum posuerat²¹⁹ \({1 \over 2}\) in comune ex his que sumpserat a principio. 182 Quare a principio sumpserat 10, quorum dimidium cum poneret in comune, remanserunt ei 5. Simili quoque modo secundus, cum ipso 1 quod evenit ei ex 3 positis in comune, habuit tertiam²²⁰ summe, scilicet 4; de quibus extracto ipso 1 remanent 3, et tot habuit secundus postquam posuit \({1 \over 3}\) ex his²²¹ que sumpserat a principio; ergo 3 fuerunt \({2 \over 3}\) sumptionis secundi. 183 Quare totum id quod cepit fuit \({1 \over 2}\) 4, que proveniunt ex addita medietate de 3 super 3 vel ex multiplicatione de 3 in 3 divisa per 2. Rursus de \({1 \over 6}\) de 12, scilicet de 2, extrahe 1 quod tertius habuit ex predictis 3: remanet 1, pro quo invenias numerum de quo extracta \({1 \over 6}\) remaneat 1; eritque \({1 \over 5}\) 1, que adde cum \({1 \over 2}\) 4 et cum 10 inventa: erunt \({7 \over 10}\) 15, que deberent esse 12. Et sic erravimus in \({7 \over 10}\) 3 additis, scilicet in decimis 37. 184 Pone ergo 37 addita sub 12, scilicet sub prima positione. Et pone 6 pro summa omnium sterlingorum in secunda positione; de quibus contingunt²²² primo 3 et secundo 2 et tertio 1. Ergo 1 quod primus habuit ex supradictis 3 positis in comune extrahe de 3, scilicet de portione ipsius primi; remanent 2, que duplica: erunt 4. Similiter extracto 1 de portione secundi remanet 1, cui adde dimidium eius; erit \({1 \over 2}\) 1, que adde cum 4: erunt \({1 \over 2}\) 5. 185 Post hec extrahe 1 de portione tertii hominis; remanet 0, super quod adde quintam; veniet 0, quod adde cum \({1 \over 2}\) 5: erunt \({1 \over 2}\) 5. Que cum deberent esse 6, scimus in hac secunda positione

222 60 6 12 5 37 additum ex erroribus 42

²²³ errasse cum \({5 \over 10}\) diminutis. Quare pones 5 diminuta sub secunda positione, scilicet sub 6, et multiplica errorem primum per positionem secundam, scilicet 37 per 6, et errorem secundum per positionem primam, scilicet 5 per 12, et divide summam per coniunctum ex erroribus, scilicet per 42. 186 Et ut evites, multiplica 37 per \({1 \over 6}\) de 6 et 5 per \({1 \over 6}\) de 12; erunt 47, que divide per \({1 \over 6}\) de 42, scilicet per 7: exibunt \({5 \over 7}\) 6 pro summa omnium sterlingorum. Sed ut hec habeas in integra, multiplica \({5 \over 7}\) 6 et 3 que posuerunt in comuni per 7, et habebis pro summa omnium sterlingorum marcas 47, et marcas 21 pro his que posuerunt in comuni; quarum tertia pars, scilicet 7, extrahe de medietate summe, scilicet de \({1 \over 2}\) 23: remanent \({1 \over 2}\) 16, quibus duplicatis reddunt 33 pro his que sumpsit primus homo. 187 Item extrahe 7 ex tertia parte summe, scilicet de \({2 \over 3}\) 15: remanent \({2 \over 3}\) 8 pro \({2 \over 3}\) sumptionis secundi. Quibus superaddita dimidia eorum reddent marcas 13 pro sumptione secundi, quibus additis cum marcis 33, faciunt 46; quibus extractis de tota summa, scilicet de 47, remanet marca una, quam sumpsit tertius²²⁴ homo. 188 Vel extrahe 7 de \({1 \over 6}\) de 47; remanent \({5 \over 6}\), quibus adde quintam²²⁵ eorum: veniet 1 pro sumptione tertii hominis, ut prediximus. Potuimus itaque 3 que posuimus posuisse in comune habere pro positione prima et mutare ea tenendo 12 pro summa in utraque positione.