232 De quinque hominibus

Item homines sint 5; et primus habeat 14, habita \({1 \over 3}\) de denariis secundi et tertii hominis; secundus vero habeat 17, habita \({1 \over 4}\) de denariis tertii et quarti²⁶⁰ hominis; tertius quoque habeat 19, habita \({1 \over 5}\) de denariis quarti et quinti hominis; quartus namque habeat 21, habita \({1 \over 6}\) de denariis quinti et primi hominis; quintus itaque habeat 23 cum \({1 \over 7}\) de denariis primi et secundi hominis. Queritur quot denarios unusquisque habeat.

233 Pone ut primus habeat denarios 8. Residuum vero quod est ab ipsis denariis 8 usque in 14, scilicet 6, oportet ut sit tertia de denariis secundi et tertii hominis. Quare inter secundum et tertium hominem habent denarios 18, scilicet triplum de 6 suprascriptis. 234 Quos denarios 18 oportet ita dividere per particularem elchataym inter secundum et tertium hominem, ut secundus cum petitione quam petit tertio et quarto homini²⁶¹ habeat suos denarios 17, et tertius cum petitione quam petit quarto et quinto habeat suos denarios 19, et quartus cum sua petitione quam petit quinto et primo homini habeat suos denarios 21. 235 Unde ponamus in prima particulari positione quod secundus²⁶² habeat 9 ex suprascriptis 18, a quibus usque in 17 desunt 8, qui sunt \({1 \over 4}\) de denariis tertii et quarti hominis; ergo inter tertium et quartum hominem habent 32, de quibus extrahe 9 que remanent tertio homini ex suprascriptis denariis 18: remanent quarto homini denarii 23. 236 Deinde extrahe 9 quos habet²⁶³ tertius de denariis 19 quos ipse proponit se habere: remanent 10, qui sunt \({1 \over 5}\) de denariis quarti et quinti hominis. Ergo inter quartum et quintum hominem habent 50, ex quibus quartus habet 23. 237 Quare remanent quinto homini 27, quibus additis cum denariis 8 primi hominis faciunt 35, quorum sexta pars, scilicet \({5 \over 6}\) 5, addita cum denariis 23 quarti hominis, faciunt denarios \({5 \over 6}\) 28, qui deberent esse 21. Quare in hac prima particulari positione superant quarto homini denarii \({5 \over 6}\) 7.

238 Unde pone in secunda particulari positione quod secundus habeat 10 ex predictis denariis 18, scilicet 1 plus quam in prima particulari positione²⁶⁴, a quibus 10 usque in 17 desunt 7, que sunt quarta de denariis tertii et quarti hominis; ergo inter tertium et quartum hominem habent denarios 28, de quibus extrahe 8 que remanent tertio homini ex suprascriptis denariis 18: remanent quarto homini denarii 20. 239 Deinde extrahe 8 quos habet tertius de denariis 19 quos ipse proponit se habere: remanent 11, qui sunt \({1 \over 5}\) de denariis quarti et quinti hominis. Ergo inter quartum et quintum hominem habent 55, ex quibus quartus habet 20. 240 Quare remanent quinto homini 35, quibus additis cum denariis 8 primi hominis faciunt 43; quorum sexta pars, scilicet \({1 \over 6}\) 7, addita cum denariis 20 quarti hominis faciunt denarios \({1 \over 6}\) 27, qui deberent esse 21. Quare in hac secunda particulari positione superant quarto homini \({1 \over 6}\) 6, qui sunt sexte 37, scilicet 10 sexte minus quam in prima particulari positione, scilicet de sextis 47.

241 Quare pro 1 quod²⁶⁵ crevimus secundo homini adpropinquavimus sextas 10 et restant ad adpropinquandum sexte 37; quare multiplica 1 per 37 et divides per 10; exibunt denarii \({7 \over 10}\) 3, quos adde cum 10 secunde particularis positionis: reddunt pro denariis secundi hominis \({7 \over 10}\) 13. Reliquos vero qui sunt usque in 18, scilicet \({3 \over 10}\) 4, habet tertius²⁶⁶. 242 Quibus inventis, extrahe \({7 \over 10}\) 13 secundi hominis de suprascriptis 17: remanent \({3 \over 10}\) 3, qui sunt quarta de denariis tertii et quarti hominis. Ergo inter tertium et quartum hominem habent denarios \({1 \over 5}\) 13, de quibus extrahe \({3 \over 10}\) 4 tertii hominis: remanent quarto homini denarii \({9 \over 10}\) 8. 243 Deinde extrahe \({3 \over 10}\) 4 quos habet tertius de denariis 19 quos ipse proponit se habere: remanent \({7 \over 10} 14\)²⁶⁷, qui sunt \({1 \over 5}\) de denariis quarti et quinti hominis; ergo inter quartum et quintum hominem habent denarios \({1 \over 2}\) 73, ex quibus quartus habet \({9 \over 10}\) 8. 244 Quare remanent quinto homini \({3 \over 5}\) 64, quibus additis cum denariis 8 primi hominis faciunt \({6 \over 10}\) 72; quorum sexta pars, scilicet \({1 \over 10} 12\)²⁶⁸, addita cum denariis \({9 \over 10}\) 8 reddit denarios 21, ut oportet. Nam addita \({1 \over 7}\) de denariis primi et secundi hominis, scilicet \({1 \over 10}\) 3, super denarios \({3 \over 5}\) 64 quinti hominis, faciunt \({7 \over 10}\) 67, qui deberent²⁶⁹ esse 23. Quare extrahe 23 de denariis \({7 \over 10}\) 67: remanent \({7 \over 10}\) 44 et tot superant quinto homini in hac prima universali positione.

245 Quare in secunda universali positione pone ut primus habeat 7. Quare inter secundum et tertium habebunt 21, quibus per elchataym secundum suprascriptum ordinem

minui \({27 \over 70} 37\) 1 \({11 \over 35} 7\)

²⁷⁰ divisis, invenies quod secundus habet \({3 \over 5}\) 10 ex ipsis 21 et tertio remanent \({2 \over 5}\) 10; cum quibus duabus portionibus invenies similiter quod quartus homo habet \({1 \over 5}\) 15 et quintus \({4 \over 5}\) 27. 246 Super que si addideris septimam de²⁷¹ denariis 7 primi hominis et de denariis \({3 \over 5} 10\)²⁷² secundi, quorum septima est \({18 \over 35}\) 2, erunt \({11 \over 35}\) 30, que deberent esse 23. Quare in hac secunda universali positione superant quinto homini \({11 \over 35}\) 7, scilicet differentia que est a 23 usque in \({11 \over 35}\) 30. 247 In prima enim universali positione superaverunt ei

primus \({2105 \over 2617} 6\) secundus \({2600 \over 2617} 6\) tertius \({1553 \over 2617} 11\) quartus \({1132 \over 2617} 16\) quintus \({1571 \over 2617} 20\)

²⁷³ \({7 \over 10}\) 44; ergo per 1 quod²⁷⁴ minuimus primo homini in secunda universali positione, adpropinquavit quintus homo veritati \({27 \over 70}\) 37, scilicet differentiam²⁷⁵ que est a \({7 \over 10}\) 44 usque in²⁷⁶ \({11 \over 35} 7\)²⁷⁷, et restant ad adpropinquandum ipsi denarii \({11 \over 35}\) 7. 248 Multiplica ergo \({11 \over 35}\) 7 per 1, et divides per \({27 \over 70}\) 37; exibunt \({512 \over 2617}\), quas extrahe de denariis 7 secunde universalis positionis: remanent \({2105 \over 2617}\) 6, et tot habet primus homo. A quibus usque in 14 desunt \({512 \over 2617}\) 7, que²⁷⁸ sunt tertia de denariis secundi et tertii hominis. 249 Quare multiplica eos per 3: erunt \({1536 \over 2617}\) \(21\) , et tot habent inter secundum et tertium. Quos si studueris dividere inter eos secundum quod superius fecimus 18, invenies quod secundus homo habet \({2600 \over 2617} 9\) et tertius \({1553 \over 2617}\) 11; cum quibus invenies quod quartus homo habet \({1132 \over 2617}\) 16 et quintus \({1571 \over 2617}\) 20.

250 De eodem

Item homines sint 5, et primus eorum petit secundo et tertio et quarto tertiam denariorum ipsorum et proponit se habere 14; secundus petit \({1 \over 4}\) tertio et quarto et quinto homini et habebit 17; tertius quoque petit \({1 \over 5}\) quarto et quinto et primo homini et habebit 19; quartus namque petit \({1 \over 6}\) quinto, primo²⁷⁹ et secundo homini et habebit 21; quintus vero petit \({1 \over 7}\) primo et secundo et tertio homini et habebit 23. Queritur quot unusquisque habeat.

251 Pone²⁸⁰ ut primus habeat 8; quare inter secundum et tertium et quartum habebunt 18, scilicet triplum differentie que est ab 8 usque in 14; que 18 oportet dividere per elchataym inter eos tres. 252 Pones ad libitum ut secundus habeat 6 ex ipsis 18; quare remanent tertio et quarto 12, que oportet iterum per elchataym dividere inter utrumque. Et quia positiones primi et secundi hominis false sunt et oportet aliam falsam positionem tertio homini ponere, ideo positionem primi hominis primam primi elchataym appellabis; positionem vero secundi primam secundi elchataym nominabis. 253 Deinde quia in prima positione secundi elchataym posuimus ut secundus habeat 6, oportet ut inter tertium et quartum et quintum hominem habeant 44, scilicet quadruplum differentie que est ab ipsis 6 usque in 17. 254 Ex quibus 44, cum tertius et quartus habeant 12, ergo quintus habet 32. Deinde oportet ut per tertium elchataym dividas²⁸¹ 12 suprascripta²⁸² inter tertium et quartum hominem, ita ut tertius cum petitione quam petit quarto et quinto et primo homini possit suum habere propositum, scilicet 19; que divisio dupliciter fit. 255 Primum quidem, ut ex 12 que habent inter tertium et quartum ponas ut tertius homo habeat²⁸³ aliquam quantitatem, et consolabis ipsam per elchataym secundum quod superius multotiens demonstratum est.

256 Vel aliter: adde 44 que habent inter tertium et quartum et quintum hominem cum 8 primi hominis; erunt 52, ex quibus oportet tot dare tertio homini ut, cum habuerit quintam residui, habeat 19 suprascripta. Quare pone in hac prima positione tertii elchataym ut tertius homo habeat 2 ex ipsis 52. 257 Ergo remanet 50 quarto et quinto et primo homini; quorum quinta parte, scilicet 10, addita cum 2 tertii hominis, faciunt 12, que deberent²⁸⁴ esse 19: quare minuunt tertio homini 7. Unde pone in secunda positione tertii elchataym ut tertius habeat 7 ex suprascriptis 52. 258 Ergo remanent reliquis tribus 45, quorum quinta parte, scilicet 9, addita cum 7 tertii faciunt 16, que deberent²⁸⁵ esse 19. Ergo in hac secunda positione minuunt tertio 3 et in prima minuerant ei²⁸⁶ 7; ergo pro 5 que crevimus eidem tertio, adpropinquavit²⁸⁷ ipse veritati 4 et restant ad adpropinquandum 3. Quare multiplicabis 3 per 5 et divides per 4: exibunt \({3 \over 4}\) 3, quibus additis cum 7 secunde positionis, faciunt \({3 \over 4}\) 10, et tot habet tertius homo. 259 Vel²⁸⁸ aliter: quia tertius homo habet 19, habita quinta parte denariorum quarti et quinti et primi hominis, et ipsi quattuor habeant in summa 52, scilicet si auferantur 19 de 52 remanent 33 quarto et quinto et primo homini post dationem quinte denariorum ipsorum quam dederunt tertio homini. 260 Ergo illa quinta pars fuit \({1 \over 4}\) residui ipsorum, scilicet de 33; quare \({1 \over 4}\) de 33, que est \({1 \over 4}\) 8, est illud quod dederunt ipsi tertio homini; quibus \({1 \over 4}\) 8 additis cum 33 reddunt \({1 \over 4}\) 41 pro denariis quarti et quinti et primi hominis; quibus extractis de 52 supradictis remanent \({3 \over 4}\) 10 tertio homini, ut per elchataym inventum est. 261 Residuum vero quod est usque in 12, scilicet \({1 \over 4}\) 1, habet quartus, cum inter utrumque habeant 12; super que \({1 \over 4}\) 1 adde \({2 \over 3}\) 7, scilicet sextam partem de 32 quinti hominis et de 8 primi et de 6 secundi: faciunt \({11 \over 12}\) 8, qui deberent²⁸⁹ esse 21. Ergo in prima positione secundi elchataym minuunt quarto homini \({1 \over 12}\) 12.

262 Quare pones in secunda positione eiusdem secundi elchataym ut secundus homo habeat 5 ex suprascriptis 18 que ipse habet²⁹⁰ cum tertio et quarto homine, et sic remanebunt tertio et quarto 13, quos oportet ut habeant cum quinto homine 48, scilicet quadruplum differentie que est a 5 usque in 17; ergo quintus habet 35. 263 Deinde divides 13 tertii et quarti hominis inter eos, ita ut tertius cum sua petitione habeat 19, quam divisionem facies per duas alias positiones, scilicet per quartum elchataym, vel²⁹¹ per alium suprascriptum modum, qui est pulcrior, et invenies ex ipsis 13 quod tertius habet \({3 \over 4}\) 9 et quartus \({1 \over 4}\) 3; super que \({1 \over 4}\) 3 adde 8, scilicet sextam²⁹² de 35 quinti hominis et de 8 primi et de 5 secundi: erunt \({1 \over 4}\) 11, que deberent esse 21. 264 Quare in secunda positione secundi elchataym minuunt quarto

\({1 \over 3} 2\) 1 \({3 \over 4} 9\)

²⁹³ homini \({3 \over 4}\) 9. In prima enim minuerant ei \({1 \over 12}\) 12; ergo pro 1 quod minuimus secundo, adpropinquavit quartus veritati \({1 \over 3}\) 2, scilicet differentiam que est a \({1 \over 12}\) 12 usque in \({3 \over 4}\) 9, et restant ad adpropinquadum ipsa \({3 \over 4}\) 9. Quare multiplica 1 per \({3 \over 4}\) 9, et divides per \({1 \over 3}\) 2; exibunt \({5 \over 28}\) 4, que extrahe de 5 secunde positionis: remanent \({23 \over 28}\), et tot habet secundus cum primus habeat 8.

265 Deinde studeas invenire per quintum²⁹⁴ elchataym vel per alium suprascriptum modum²⁹⁵ quantitates tertii et quarti et quinti hominis, et invenies quod tertius habet \({4 \over 7}\) 5 et quartus \({17 \over 28}\) 11 et quintus \({15 \over 28}\) 47; super quas adde \({1 \over 7}\) de denariis 8 primi et de \({23 \over 28}\) secundi et de \({4 \over 7}\) 5 tertii, quorum septima est \({11 \over 196}\) 2: erunt \({29 \over 49}\) 49, que deberent esse 23; ergo in prima positione primi elchataym superant quinto homini \({29 \over 49}\) 26.

266 Quare pone in secunda positione primi elchataym ut primus habeat 7, scilicet uno minus quam in prima; et sic oportebit ut inter secundum et tertium et quartum hominem habeant 21, que studeas dividere per elchataym ita ut unusquisque cum sua petitione habeat suum propositum numerum, scilicet quod secundus habeat 17 et tertius habeat 19 et quartus 21. 267 Et

minui \({26 \over 49} 5\) 1 \({3 \over 49} 21\)

²⁹⁶ invenies quod secundus ex ipsis 21 habet \({5 \over 7}\) 1, tertius \({5 \over 7}\) 6, quartus \({4 \over 7}\) 12, ex quorum²⁹⁷ inventione invenies quod quintus habet \({6 \over 7}\) 41; cum quibus \({6 \over 7}\) 41 adde septimam de 7 primi et de \({5 \over 7}\) 1 secundi et de \({5 \over 7}\) 6 tertii, que est \({10 \over 49}\) 2: erunt \({3 \over 49}\) 44, que deberent esse 23. 268 Quare in hac

primus \({52 \over 271} 3\) secundus \({31 \over 271} 5\) tertius \({18 \over 271} 11\) quartus \({66 \over 271} 16\) quintus \({63 \over 271} 20\)

²⁹⁸ secunda positione primi elchataym superant quinto homini²⁹⁹ \({3 \over 49}\) 21, et in prima superaverunt ei \({29 \over 49}\) 26; unde per 1 quod minuimus primo homini, adpropinquavit ipse \({26 \over 49}\) 5, scilicet differentiam que est a³⁰⁰ \({29 \over 49}\) 26 usque in \({3 \over 49}\) 21, et restant ad adpropinquandum ipsa \({3 \over 49} 21\)³⁰¹. 269 Quare multiplica 1 per \({3 \over 49}\) 21, et divides per \({26 \over 49}\) 5; exibunt \({219 \over 271}\) 3, que³⁰² extrahe de 7 secunde positionis: remanent \({52 \over 271}\) 3, et tot veraciter habet primus. Quibus inventis³⁰³ studeas denarios reliquorum per elchataym secundum suprascriptum modum invenire, et invenies quod secundus habet \({31 \over 271}\) 5, tertius \({18 \over 271}\) 11, quartus \({66 \over 271}\) 16, quintus \({63 \over 271} 20\)³⁰⁴. Et sic studeas operari in similibus questionibus, que omnes per elchataym mirabiliter solvuntur.