270 De tribus hominibus

Tres homines habebant denarios; et primus petit secundo 7 et proponit se habere ter tantum quam ipse, secundus vero petit tertio homini 9 et habebit quater tantum quam ipse, tertius petit primo homini 11 et habebit quinquies tantum quam ipse.

271 Pone quidem ut primus habeat 17, cum quibus adde 7 que petit secundo: erunt 24, quorum tertia pars, scilicet 8, est residuum quod remanet secundo homini cum dederit primo 7. Ergo ipse habet 15, cum quibus adde 9 que petit tertio homini: erunt 24, quorum quarta pars, scilicet 6, est residuum quod remanet tertio datis 9 secundo homini. 272 Quare ipse habet similiter similiter 15, cum quibus adde 11 que petit primo: erunt 26 et primo remanent 6, que 26 deberent esse 30, scilicet quintuplum de 6 que remanent primo. Ergo in hac prima positione minuunt tertio homini 4 que sunt a 26 usque in 30. 273 Quare pone in secunda positione ut primus habeat 14, scilicet 3 minus
\({3 \over 4} 14\) 3
   
4  
305 quam in prima. Quare secundus habet 14 et tertius \({3 \over 4} 14\), cum quibus adde 11 que petit primo: remanebunt primo 3 et tertius habebit \({3 \over 4}\) 25. Que \({3 \over 4}\) 25 deberent esse 15, scilicet quintuplum de 3 que remanent primo; ergo in hac secunda positione superant tertio homini \({3 \over 4}\) 10. 274 In
primus
\({11 \over 59} 16\)
secundus
\({43 \over 59} 14\)
tertius
\({55 \over 59} 14\)
306 prima enim minuerant ei 4. Quare adde \({3 \over 4}\) 10 cum 4: erunt \({3 \over 4}\) 14. Ergo per 3 que minuimus pervenerunt \({3 \over 4}\) 14; quid ergo minuemus ut perveniant 4? Multiplica ergo 4 per 3 et divides per \({3 \over 4}\) 14; exibunt \({48 \over 59}\), que extrahe de 17 prime positionis: remanebunt \({11 \over 59}\) 16, et tot habuit primus. 275 Cum quibus adde 7 que petit secundo; erunt \({11 \over 59}\) 23, quorum tertiam partem adde cum eisdem 7: erunt \({43 \over 59}\) 14, et tot habuit secundus. Cum quibus adde 9 que307 petit tertio; erunt \({43 \over 59}\) 23, super quartam partem quorum adde ipsa 9: erunt \({55 \over 59}\) 14, et tot habuit tertius. Ex hac enim manerie multe et varie questiones proponi possunt.

276 Aliter

Extractis quidem ex denariis primi 11 quos tertius petit ei, et ex denariis secundi 7 quos primus petit ei, et ex denariis tertii 9308 quos ei petit secundus, hoc quod remanebit unicuique vocetur residuum ipsius. Deinde quia primus cum 7 de denariis secundi habet triplum residui ipsius secundi, ergo residuum primi cum denariis 11 suprascriptis et cum ipsis 7, scilicet cum 18, est triplum similiter residui secundi hominis. 277 Similiter invenies quod residuum secundi hominis cum denariis 7 et cum denariis 9 suprascriptis, scilicet cum 16, est quadruplum residui tertii hominis. Et residuum tertii hominis cum denariis 9 et cum denariis 11, scilicet cum denariis 20, est quintuplum residui primi hominis. 278 Et quoniam residuum primi cum denariis 18 est triplum residui secundi, tertia pars residui primi cum \({1 \over 3}\) de denariis 18, scilicet cum 6, est quantum residuum secundi. Item quia residuum secundi cum309 denariis 16 est quadruplum residui tertii, quarta pars residui secundi cum \({1 \over 4}\) de 16, scilicet cum 4, est quantum residuum tertii. 279 Rursus quia residuum tertii cum denariis 20 est quintuplum residui primi hominis, quinta pars residui tertii cum \({1 \over 5}\) de 20, scilicet cum 4, est quantum residuum primi. 280 [3] Et quoniam310 \({1 \over 3}\) residui primi cum denariis 6 est quantum residuum secundi311. quarta pars tertie partis residui primi, scilicet \({1 \over 12}\) residui primi, cum \({1 \over 4}\) de denariis 6, scilicet cum \({1 \over 2}\) 1, est quantum quarta pars residui secundi. Unde si utrique portioni addantur denarii 4, erit \({1 \over 12}\) residui primi cum denariis \({1 \over 2}\) 5 quantum \({1 \over 4}\) residui secundi cum denariis 4. 281 Verum \({1 \over 4}\) residui secundi cum denariis 4 ostensa est equalem esse de residuo tertii hominis. Quare \({1 \over 12}\) residui primi cum denariis \({1 \over 2}\) 5 est quantum residuum tertii. Quare \({1 \over 5}\) de \({1 \over 12}\), scilicet \({1 \over 60}\)312, residui primi cum \({1 \over 5}\) de denariis \({1 \over 2}\) 5, scilicet cum \({1 \over 10}\) 1, est quantum \({1 \over 5}\) residui tertii. Quare si addantur utrique portioni denarii 4, erit \({1 \over 60}\) residui primi cum denariis \({1 \over 10} 5\)313 quantum \({1 \over 5}\) residui tertii cum denariis 4. Verum \({1 \over 5}\) residui tertii cum denariis 4 est quantum residuum primi hominis. 282 Quare \({1 \over 60}\) residui primi cum denariis \({1 \over 10}\) 5 est quantum residuum eiusdem primi. Quare si comuniter auferatur \({1 \over 60}\) residui primi, remanebunt \({59 \over 60}\) residui primi quantum denarii \({1 \over 10}\) 5. Quare invenies numerum cuius \({59 \over 60}\) sint \({1 \over 10}\) 5. Multiplicabis ergo 60 per \({1 \over 10}\) 5 et divides per 59: exibunt \({11 \over 59}\) 5 pro residuo primi hominis.

283 Et nota, cum tres homines inveniunt tres bursas, in prima quarum sunt 18 et in secunda 16 et in tertia 20, et primus cum prima habeat triplum secundi, secundus cum secunda quadruplum tertii et tertius cum tertia quintuplum primi, tunc primum residuum erit quantitas denariorum primi, secundum secundi, tertium tertii hominis. Cuius maneriei314 solutiones in quarta parte duodecimi capituli per proprias regulas demostratas invenies.

  • 305
    \({3 \over 4} 14\) 3
       
    4  
    :   om. A V
  • 306
    primus
    \({11 \over 59} 16\) (\({11 \over 59} 16\):   \({11 \over 49} 16\) F)
    secundus
    \({43 \over 59} 14\)
    tertius
    \({55 \over 59} 14\)
    (\({11 \over 59} 16\):   \({11 \over 49} 16\) F) :   om. A R S V
  • 3079 que:   quas φ
  • 308tertii 9:   tertii A   9 tertii G V
  • 309secundi cum:   om. V   cum A G V2
  • 310quoniam:   quantum φ   om. S
  • 311post residuum secundi habent φ H (vide adnotationes Giusti) et (erit L) \({1 \over 4}\) residui secundi cum denariis 4 est quantum residuum tertii hominis, si de residuo secundi hominis auferatur \({1 \over 4}\) ipsorum et denarii 4, remanebit (post remanebit del. 1 F) \({1 \over 3}\) residui primi hominis cum denariis 6 equalis de \({3 \over 4}\) residui secundi minus denariis 4 et de residuo tertii hominis. Quare si in utraque portione addantur (addatur L) denarii 4, erit \({1 \over 3}\) residui primi cum denariis 10 quantum \({3 \over 4}\) residui secundi cum residuo tertii. Similiter quia \({1 \over 4}\) (\({1 \over 4}\) supra lineam F) residui secundi cum denariis 4 est quantum residuum tertii hominis et \({1 \over 5}\) residui tertii cum denariis 4 est quantum residuum primi hominis, si de utraque portione auferatur \({1 \over 5}\) residui tertii et denarii 4, remanebit \({1 \over 4}\) residui secundi cum denariis 4 (ante 4 del. qu F) quantum \({4 \over 5}\) residui tertii minus denariis 4 cum residuo primi hominis. Unde si in utraque portione addantur denarii 4, erit \({1 \over 4}\) residui secundi cum denariis 8 quantum \({4 \over 5}\) residui tertii cum residuo primi. Rursum quia \({1 \over 5}\) residui tertii cum denariis 4 est quantum residuum primi hominis et \({1 \over 3}\) residui primi cum denariis 6 est quantum residuum secundi, si ex utraque portione auferatur \({1 \over 3}\) residui primi et denarii 6, remanebit \({1 \over 5}\) residui tertii cum denariis 4 (tertii cum denariis 4:   primi φ    corr. L2) quantum \({2 \over 3}\) residui primi (primi:   secundi φ    corr. L2) minus denariis 6 cum residuo secundi. Unde si super utramque portionem addantur denarii 6, erit \({1 \over 5}\) residui tertii cum denariis 10 quantum \({2 \over 3}\) residui primi cum residuo secundi. Et quoniam (post quoniam del. residu F) \({1 \over 3}\) residui primi cum denariis 10 est quantum \({3 \over 4}\) residui secundi cum residuo (resisiduo F) tertii, si super utramque portionem addantur 20, erit \({1 \over 3}\) residui primi cum denariis 30 quantum \({3 \over 4}\) residui secundi cum residuo tertii et cum denariis 20. Ostensum est autem quod residuum tertii cum denariis 20 sunt quinquies tantum quantum (quantum Giusti   quia φ) residuum primi hominis; ergo \({1 \over 3}\) residui primi cum denariis 30 sunt \({3 \over 4}\) residui secundi cum quinquies residuum primi, scilicet cum \({15 \over 3}\) ipsius. Unde si ex utraque portione auferatur \({1 \over 3}\) residui (residuum φ    corr. L2) primi, denarii 30 erunt (remanebunt denarii 30 esse L2) \({3 \over 4}\) residui secundi et \({14 \over 3}\) residui primi. Rursum quia \({1 \over 4}\) residui secundi cum denariis 8 sunt \({4 \over 5}\) residui tertii cum residuo (denariis φ    corr. L2) primi, si super utramque portionem addantur denarii 18, erit \({1 \over 4}\) residui secundi cum denariis 8 et 18, scilicet cum 26, quantum \({4 \over 5}\) residui tertii cum residuo primi et cum denariis 18. Ostensum est autem quod residuum primi cum denariis 18 sunt triplum de residuo secundi; quare \({1 \over 4}\) residui secundi cum denariis 26 sunt \({4 \over 5}\) residui tertii et triplum, scilicet \({12 \over 4}\), residui sui. Quare si ex utraque portione auferatur (ante auferatur del. af L) \({1 \over 4}\) residui secundi, remanebunt \({4 \over 5}\) residui tertii cum \({11 \over 4}\) residui secundi esse (esse:   om. φ    supra lineam L2) denarii 26. Adhuc (Adduc L) quia \({1 \over 5}\) residui tertii cum denariis 10 est quantum \({2 \over 3}\) residui primi cum residuo secundi, si super utramque portionem addantur denarii 16, erit \({1 \over 5}\) residui tertii cum denariis 10 et cum 16, scilicet cum 26, quantum \({2 \over 3}\) residui (residuo φ) primi cum residuo secundi et cum denariis 16. Est enim residuum secundi cum denariis 16 quadruplum de residuo tertii; quare \({1 \over 5}\) residui tertii cum (cum:   om. F    supra lineam F2) denariis 26 sunt \({2 \over 3}\) residui primi et quaduplum, scilicet \({20 \over 5}\), residui sui. Quare si ex utraque portione auferatur \({1 \over 5}\) residui tertii, remanebunt \({2 \over 3}\) residui primi cum \({19 \over 5}\) residui tertii esse denarii 26. Et quoniam \({14 \over 3}\) residui primi cum \({3 \over 4}\) residui secundi sunt denarii 30 et \({11 \over 4}\) residui secundi cum \({4 \over 5}\) residui tertii sunt denarii 26 et \({19 \over 5}\) residui tertii cum \({2 \over 3}\) residui primi sunt similiter denarii 26, oportet ut habeas equas proportiones in omnibus, ut redigantur partes primi et secundi ita ut sint 26 sicut sunt alie. Quod facies sic: 4, in que (que Giusti   qua φ) 30 excedunt (excedunt Giusti   excedit φ) 26, divide per 30, exibunt \({2 \over 15}\); et quoniam \({14 \over 3}\) residui primi cum \({3 \over 4}\) residui secundi sunt denarii 30, ergo \({2 \over 15}\) de \({14 \over 3}\) residui primi, scilicet \({28 \over 45}\) et \({2 \over 15}\) de \({3 \over 4}\) residui secundi, scilicet \({1 \over 10}\) (10 F), erunt \({2 \over 15}\) de denariis 30, scilicet denarii (denarii Giusti   de denariis φ) 4. Quare si de \({14 \over 3}\) residui primi auferantur (auferatur φ) \({28 \over 45}\) residui ipsius et de \({3 \over 4}\) residui secundi auferatur \({1 \over 10}\) residui ipsius, \({182 \over 45}\) (\({128 \over 45}\) φ    corr. L2) residui primi cum \({13 \over 20}\) residui secundi remanebunt denarii 26. Ergo \({182 \over 45}\) residui primi cum \({13 \over 20}\) residui secundi sunt quantum (post quantum del. residui secundi F) \({11 \over 4}\) residui secundi cum \({4 \over 5}\) residui tertii. Quare si de \({11 \over 4}\) residui secundi auferantur (auferantur Giusti   auferatur φ) \({13 \over 20}\) residui ipsius, remanebunt \({182 \over 45}\) residui primi quantum \({21 \over 10}\) residui secundi cum \({4 \over 5}\) residui tertii. Ex ( ex Et ut vid. F) \({11 \over 4}\) residui secundi extrahuntur \({13 \over 20}\) sic: ex \({11 \over 4}\) fiant vigesimi, et sunt \({55 \over 20}\); ex quibus extractis \({13 \over 20}\) remanent \({42 \over 20}\), scilicet \({21 \over 10}\). Item quia \({11 \over 4}\) residui secundi cum \({4 \over 5}\) residui tertii (secundi L    corr. L2) sunt quantum \({19 \over 5}\) residui tertii cum \({2 \over 3}\) residui primi (cum \({2 \over 3}\) residui secundi F   om. L), scilicet 26, si de \({19 \over 5}\) residui tertii auferantur (auferantur Giusti   auferatur φ) \({4 \over 5}\) residui ipsius, remanebunt (remanebunt Giusti   om. φ) \({11 \over 4}\) residui secundi quantum triplum residui tertii cum \({2 \over 3}\) residui primi. Qua ratione inveniendum est de \({21 \over 10}\) residui secundi que (qui L) partes sint de residuo tertii et primi. Sunt enim, ut diximus, \({11 \over 4}\) residui secundi quantum triplum residui tertii cum \({2 \over 3}\) residui primi. Quare \({21 \over 10}\) residui secundi, scilicet \({42 \over 20}\), cum sint \({42 \over 55}\) de \({11 \over 4}\) residui secundi, scilicet ex \({55 \over 20}\), erunt \({42 \over 55}\) de triplo residui tertii et de \({2 \over 3}\) residui primi (primi (tertii φ) ~ sunt \({28 \over 55}\):    in marg. F) \({42 \over 55}\) de triplo residui tertii sunt \({126 \over 55}\) et \({42 \over 55}\) de \({2 \over 3}\) residui primi sunt \({28 \over 55}\) residui ipsius. Et quoniam \({182 \over 45}\) residui primi sunt quantum \({21 \over 10}\) residui secundi cum \({4 \over 5}\) residui tertii, erunt similiter \({182 \over 45}\) residui primi quantum \({126 \over 55}\) residui tertii cum (cum:    bis F) \({28 \over 55}\) (\({28 \over 45}\) φ) residui sui et cum \({4 \over 5}\) residui tertii. Nam \({126 \over 55}\) et \({4 \over 5}\) residui tertii sunt \({34 \over 11}\) residui tertii [cum \({28 \over 55}\) residui sui ( damnavit Giusti)]. Quare si de \({182 \over 45}\) auferantur (auferatur φ) \({28 \over 55}\) (\({28 \over 45}\) φ), remanebunt \({350 \over 99}\) residui primi quantum \({34 \over 11}\) residui tertii. Quare reperiendi sunt duo numeri, quorum \({350 \over 99}\) unius sint \({34 \over 11}\) alterius. Quos invenies sic: quia 99 et 11 que (que Giusti   qui φ) sunt sub virgulis dividuntur integraliter per 11, multiplica \({1 \over 11}\) de 99, scilicet 9, per 34, et \({1 \over 11}\) de 11, scilicet 1, per 350, et habebis pro primo numero 306 et pro secundo, scilicet pro numero residui tertii hominis, 350. Et quoniam residuum tertii cum denariis 20 est quintuplum de residuo primi, multiplica 306 per 5; erunt 1530, de quibus extrahe 350: remanent 1180 (1118 F), que (que Giusti   quos φ) divide per denarios (per eundem L) 20 suprascriptos; exibunt 59, in quibus (quibus Giusti   quo φ) 59 divide 306 (post 306 del. ob F) et 350: exibunt pro residuo primi hominis denarii \({11 \over 59}\) 5, cum quibus adde denarios 11 quos primus dat tertio; erunt \({11 \over 59}\) 16, et tunc habet pro residuo tertii \({55 \over 59}\) 5, cum quibus adde denarios 9 quos ipse dat secundo: erunt \({55 \over 59}\) 14, et tot habet tertius. Et quoniam primus cum denariis 7 secundi habet ter tantum quam secundus, adde 7 super \({11 \over 59}\) 16: erunt \({11 \over 59}\) 23, super tertiam partem quorum, scilicet (post scilicet del. quare F) super \({43 \over 59}\) 7, si addideris ipsos 7, habebis \({43 \over 59}\) 14 pro denariis secundi. Eadem enim questio est de tribus hominibus (omnibus F) qui tres bursas denariorum reperierunt, in prima quarum erant denarii 18, in secunda denarii 16, in tertia denarii 20; et primus cum prima bursa haberet ter tantum quam secundus, secundus cum secunda quater tantum quam tertius, tertius cum tertia quinquies tantum quam primus. Primus habet, ut prediximus, \({11 \over 59}\) 5; secundus \({43 \over 59}\) 7; tertius \({55 \over 59} 5\) (\({55 \over 59} 5\):    in marg. F). Aliter promptius: quoniam ostensum est superius quod \({1 \over 3}\) residui primi cum denariis 6 est quantum residuum secundi φ H
  • 312\({1 \over 60}\):   60 S
  • 313\({1 \over 10} 5\):   5 α
  • 314maneriei:   manerie α   
  • 3(13.280-283) La situazione è simile a quella di (12.406-416) sopra. Dopo residuum secundi φ (e H) ha il testo dato in apparato. A mio parere questo testo costituisce una prima versione della soluzione; più tardi Leonardo trovò un metodo molto più semplice (e più corto), che α probabilmente aveva in margine, magari con va---cat sopra la prima versione. Questa indicazione è stata ignorata da φ, che ha conservato ambedue i testi, compreso il doppio rinvio al problema delle borse (13.283).

Liber Abbaci

Instrumenta

Capitulum tertium decimum

Indice