284 De tribus hominibus

Tres homines equum emere volebant, et primus petit secundo \({1 \over 2}\) et tertio \({1 \over 3}\) suorum bizantiorum et proposuit ipsum equum emere; secundus petit³¹⁵ tertio \({1 \over 4}\) et primo \({1 \over 5}\); tertius namque petit³¹⁶ primo \({1 \over 6}\) et secundo \({1 \over 7}\).

Pone quidem quod primus habeat 30, in quibus reperiuntur \({1 \over 5}\) quam petit³¹⁷ sibi secundus et \({1 \over 6}\) quam petit³¹⁸ sibi tertius; quam positionem firmam semper habere necesse est. 285 Deinde pone in prima positione quod secundus habeat 70, cum in ipsis reperiatur \({1 \over 2}\) quod petit³¹⁹ ei primus et \({1 \over 7}\) quam³²⁰ petit³²¹ ei tertius. Deinde considera quid primus et secundus petant tertio. Nam primus petit ei \({1 \over 3}\) et secundus \({1 \over 4}\); ergo primus petit ei \({1 \over 12}\) plus quam secundus, scilicet superhabundantiam que est a \({1 \over 3}\) usque in \({1 \over 4}\). 286 Quo intellecto adde super 30 petitionem³²² quam petit primus secundo, scilicet \({1 \over 2}\) de 70. Et adde super 70 petitionem quam secundus petit primo, scilicet \({1 \over 5}\): erunt 76, que sunt 11 magis quam 65, que 11 sunt \({1 \over 12}\) de bizantiis tertii hominis. Ergo tertius homo habet duodecies 11, scilicet 132, et sic primus et secundus possunt equum emere, hoc est cum eorum petitionibus habebunt unum et³²³ eundem numerum. 287 Verbi gratia: primus, qui habet 30 cum \({1 \over 2}\) de 70 secundi et cum \({1 \over 3}\) de 132 tertii, habet 109. Secundus vero, qui habet 70 cum \({1 \over 4}\) de 132 tertii et cum \({1 \over 5}\) de 30 primi, habet similiter 109, que ponantur esse pretium equi. Deinde adde super 132 tertii \({1 \over 6}\) de bizantiis 30 primi et \({1 \over 7}\) de bizantiis 70 secundi: erunt 147, scilicet 38 plus pretio equi. 288 Ergo in hac prima positione superant tertio homini 38. Quare pones in secunda positione ut secundus habeat 56, scilicet 14 minus quam³²⁴ in prima, et invenies suprascripta ratione quod tertius habebit 48 et pretium equi est 61³²⁵, et minuunt ei 13 in secunda positione. Ergo per 14 que minuimus secundo³²⁶, minuunt tertio homini 13. Adde ergo 38 que superaverant³²⁷ ei in prima positione et 13 que minuunt ei in secunda: erunt³²⁸ 51. 289 Quare ³²⁹ multiplicabis 14 per 38 et divides per 51, et extrahe illud quod exierit de 70 prime positionis; vel multiplica 14 per 13 et divides per 51, et quod exierit addes super 56 secunde positionis, quod est pulcrius: erunt \({29 \over 51}\) 59, et tot habet secundus. Per quam inventionem invenies suprascripta ratione quod tertius habet \({21 \over 51}\) 69 et pretium equi est \({47 \over 51}\) 82. Quos numeros si in integrum habere volueris, multiplica unumquemque eorum³³⁰ per 51, et habet primus 1530, secundus 3038, tertius 3540, equus 4229³³¹.

290 Aliter per regulam proportionum³³²

Quoniam primus cum \({1 \over 2}\) bizantiorum secundi et cum \({1 \over 3}\) bizantiorum tertii habet quantum secundus cum \({1 \over 4}\) bizantiorum tertii et cum \({1 \over 5}\) bizantiorum primi, scilicet pretium equi, si ex utraque parte auferatur \({1 \over 2}\) bizantiorum secundi, remanebit primus cum \({1 \over 3}\) bizantiorum tertii equalis dimidio bizantiorum secundi cum \({1 \over 4}\) bizantiorum tertii et cum \({1 \over 5}\) bizantiorum primi. 291 Item si ab utraque parte auferatur \({1 \over 5}\) bizantiorum primi, remanebunt \({4 \over 5}\) bizantiorum primi cum \({1 \over 3}\) bizantiorum tertii quantum \({1 \over 2}\) bizantiorum secundi cum \({1 \over 4}\) bizantiorum tertii. Unde si ab utraque parte auferatur \({1 \over 4}\) bizantiorum tertii, remanebunt \({4 \over 5}\) bizantiorum primi cum \({1 \over 12}\) bizantiorum tertii quantum \({1 \over 2}\) bizantiorum secundi. 292 Rursus quia tertius homo cum \({1 \over 6}\) bizantiorum primi et cum \({1 \over 7}\) bizantiorum secundi habet quantum primus cum \({1 \over 2}\) bizantiorum secundi et cum \({1 \over 3}\) bizantiorum tertii, si comuniter auferatur \({1 \over 3}\) bizantiorum tertii, remanebunt \({2 \over 3}\) bizantiorum tertii hominis cum \({1 \over 6}\) bizantiorum primi et cum \({1 \over 7}\) bizantiorum secundi equales de bizantiis primi cum \({1 \over 2}\) bizantiorum secundi. 293 Unde si comuniter auferatur \({1 \over 6}\) bizantiorum primi et \({1 \over 7}\) bizantiorum secundi, remanebunt \({2 \over 3}\) bizantiorum tertii quantum \({5 \over 6}\) bizantiorum primi cum \({5 \over 14}\) bizantiorum secundi; nam extracta \({1 \over 7}\) de \({1 \over 2}\) remanet \({5 \over 14}\). Et quoniam \({2 \over 3}\) bizantiorum tertii sunt \({5 \over 6}\) bizantiorum primi et \({5 \over 14}\) bizantiorum secundi, ergo \({1 \over 8}\) de \({2 \over 3}\), scilicet \({1 \over 12}\), bizantiorum tertii erit \({1 \over 8}\) de \({5 \over 6}\) bizantiorum primi, scilicet \({5 \over 48}\), et \({1 \over 8}\) de \({5 \over 14}\) bizantiorum secundi, scilicet \({5 \over 112}\).

294 Ostensum est enim quod \({4 \over 5}\) bizantiorum primi cum \({1 \over 12}\) bizantiorum tertii sunt quantum \({1 \over 2}\) bizantiorum secundi; sed \({1 \over 12}\) bizantiorum tertii est \({5 \over 48}\) bizantiorum primi et \({5 \over 112}\) bizantiorum secundi; quare \({4 \over 5}\) et \({5 \over 48}\) bizantiorum primi, scilicet \({217 \over 240}\), cum \({5 \over 112}\) bizantiorum secundi sunt quantum \({1 \over 2}\) bizantiorum secundi. 295 Quare extractis \({5 \over 112}\) bizantiorum secundi de \({1 \over 2}\) bizantiorum ipsius, remanebunt \({217 \over 240}\) bizantiorum primi quantum \({51 \over 112}\) bizantiorum secundi. Quare pro bizantiis primi et secundi reperiendi sunt duo numeri quorum \({217 \over 240}\) unius sint \({51 \over 112}\) alterius³³³. Quos invenies sic: quia 240 et 112 que sunt sub virgulis dividuntur integraliter per 8, multiplica \({1 \over 8}\) de 240, scilicet 30, per 51 et \({1 \over 8}\) de 112, scilicet 14, per 217, et habebis 1530 et 3038. 296 Rursus quia demonstratum est quod \({1 \over 2}\) bizantiorum secundi est \({4 \over 5}\) bizantiorum primi et \({1 \over 12}\) bizantiorum tertii, ergo \({5 \over 14}\) bizantiorum secundi, cum sint \({5 \over 7}\) medietatis bizantiorum secundi, erunt \({5 \over 7}\) de \({4 \over 5}\) bizantiorum primi et \({5 \over 7}\) de \({1 \over 12}\) bizantiorum tertii, hoc est \({4 \over 7}\) bizantiorum primi et \({5 \over 84}\) bizantiorum tertii. 297 Sed \({2 \over 3}\) bizantiorum tertii sunt³³⁴ \({5 \over 6}\) bizantiorum primi et \({5 \over 14}\) bizantiorum secundi; que \({5 \over 14}\) bizantiorum secundi cum sint \({4 \over 7}\) bizantiorum primi et \({5 \over 84}\) bizantiorum tertii, erunt \({2 \over 3}\) bizantiorum tertii, \({4 \over 7}\) \({5 \over 6}\) bizantiorum primi, scilicet \({59 \over 42}\), et \({5 \over 84}\) bizantiorum suorum. 298 Quare si de \({2 \over 3}\) bizantiorum tertii auferantur³³⁵ \({5 \over 84}\) bizantiorum ipsius, remanebunt \({59 \over 42}\) bizantiorum primi \({17 \over 28}\) bizantiorum tertii. Quare pro bizantiis primi et tertii reperiendi sunt duo numeri quorum \({59 \over 42}\)³³⁶ unius sint \({17 \over 28}\) alterius. 299 Quare moltiplicabis \({1 \over 14}\) de 42, scilicet 3, per 17 et \({1 \over 14}\) de 28, scilicet 2, per 59 et habebis pro primo numero 51 et pro numero tertii hominis 118. Et quia superius pro numero primi hominis invenimus 1530 et est sicut 51 ad 118 ita 1530, scilicet bizantii primi, ad bizantios tertii, quare ut habeas bizantios tertii multiplicabis 118 per 1530 et divides per 51, scilicet \({1 \over 51}\) de 1530, scilicet 30, multiplica per 118, et habebis pro bizantiis tertii hominis 3540.

300 Vel si bizantios secundi hominis, scilicet 3038, vis redigere in proportionem³³⁷ inventam quam primus habet³³⁸ ad tertium, scilicet cum primus habet 51 et tertius habet 118, multiplica 51 per 3038 et divide per 1530, hoc est 3038 divides per \({1 \over 51}\) de 1530, scilicet per 30: exibunt pro bizantiis secundi hominis \({4 \over 15}\) 101. Que cum non sint integra³³⁹, habeantur 1530 pro bizantiis primi hominis et 3038 pro bizantiis secundi et 3540 pro bizantiis tertii. 301 Deinde ut invenias pretium equi, super bizantios primi hominis, scilicet super 1530, adde \({1 \over 2}\) de bizantiis secundi, scilicet 1519, et \({1 \over 3}\) de bizantiis tertii³⁴⁰, scilicet 1180, et habebis pro pretio equi bizantios 4229, ut per elchataym invenimus. 302 Inventis quidem bizantiis 1530 primi hominis et 3038 secundi, possumus bizantios tertii aliter reperire, scilicet cum \({4 \over 5}\) bizantiorum primi cum³⁴¹ \({1 \over 12}\) bizantiorum tertii sint \({1 \over 2}\) bizantiorum secundi, si de \({1 \over 2}\) bizantiorum secundi, scilicet de 1519, auferantur \({4 \over 5}\) bizantiorum primi, scilicet 1224, remanet 295 pro \({1 \over 12}\) bizantiorum tertii. 303 Quare multiplicatis 295 per 12 reddunt bizantios 3540, ut pro bizantiis tertii inventum est.

Satis per hoc quod dictum est de elchataym et de regula augmenti et diminutionis atque proportionum, materia³⁴² solvendi omnes questiones haberi potest. Unde positiones quarundam questionum solutas deinceps ponere disposuimus.

304 Si homines fuerint 4 et primus petat secundo \({1 \over 2}\), tertio \({1 \over 3}\) et quarto \({1 \over 4}\), et proposuerit³⁴³ equum emere; secundus petit tertio \({1 \over 4}\) et quarto \({1 \over 5}\) et primo \({1 \over 6}\); tertius namque quarto \({1 \over 6}\), primo \({1 \over 7}\), secundo \({1 \over 8}\); quartus quoque petit primo \({1 \over 8}\), secundo \({1 \over 9}\), tertio \({1 \over 10}\): primus habet 8569848, secundus 21741336, tertius 26955060, quartus 29657460; equus 38839901³⁴⁴.

305 Ex quinque hominibus equum emere volentibus primus et secundus petunt tertio et quarto \({1 \over 3}\) bizantiorum ipsorum et proponunt ipsum emere, secundus vero et tertius petunt quarto et quinto \({1 \over 4}\), tertius quoque et quartus petunt quinto et primo \({1 \over 5}\), quartus namque et quintus petunt primo et secundo \({1 \over 6}\), quintus autem et primus petunt secundo et tertio \({1 \over 7}\): primus habet 980, secundus 850, tertius 1117, quartus 956, quintus 1260; pretium equi est bizantii 2521.

306 Quinque homines denarios habentes invenerunt bursam denariorum, ex quibus primus cum bursa habet duplum secundi et tertii, secundus triplum tertii et quarti, tertius quadruplum quarti et quinti, quartus quintuplum quinti et primi, quintus sextuplum primi et secundi: primus habet 1, secundus 561, tertius 821, quartus 287, quintus 609; bursa 2763³⁴⁵.