126 De divisione numerorum et radicum per radices radicum, et econtra

Si vis dividere numerum vel radicem aut radicem¹⁴⁶ radicis per radicem radicis, quadratum quadrati rerum dividendarum per quadratum quadrati divisorum divide, et radix radicis eius quod provenerit erit quesitum. Verbi gratia: vis dividere 5 per radicem radicis de 10; quadratum quadrati de 5, scilicet 625, divide per quadratum quadrati radicis radicis¹⁴⁷ de 10, scilicet per 10: exibunt \({1 \over 2}\) 62, quorum radix¹⁴⁸ radicis est id quod queris. Et si diviseris 10 per 625, exibunt \({2 \over 125}\)¹⁴⁹, quarum radix radicis provenit ex divisione radicis radicis¹⁵⁰ de 10 in 5.

127 Item si vis dividere radicem de 20 per radicem radicis 8, multiplica radicem de 20 in se; provenient 20, que etiam multiplica in se¹⁵¹ erunt 400, quorum radix radicis equatur radici de 20. Ergo¹⁵² vis dividere radicem radicis de 400 per radicem radicis de 8; quare divides 400 per 8: exibunt 50, quorum radix radicis provenit ex divisione quesita. 128 Et si vis dividere radicem radicis de 8 per radicem de 20, divide 8 per 400: exibunt \({1 \over 50}\), cuius radix radicis¹⁵³ est id quod provenit¹⁵⁴ ex ipsa divisione. Similiter, si vis dividere radicem radicis de 90 per radicem radicis de 10, divide 90 per 10: exibunt 9, quorum radix radicis, scilicet radix trium, provenit ex ipsa divisione. Item si vis dividere radicem radicis 10 per radicem radicis de 90, divide 10 per 90: exibit¹⁵⁵ \({1 \over 9}\)¹⁵⁶, cuius radix radicis, scilicet radix de \({1 \over 3}\), est hoc quod queris.

129 Adhuc si vis dividere radicem radicis de 243 per radicem radicis trium, divide 243 per 3: proveniunt 81, quorum radix radicis, id est 3, est illud quod provenit ex divisione. Et si radix radicis trium dividatur per radicem radicis de 243, divide 3 per 243: exibit \({1 \over 81}\), cuius radix est \({1 \over 9}\), cuius none radix est \({1 \over 3}\), et tot provenit ex dicta divisione.

130 Et si decem radices radicis de 20 vis dividere per quattuor radices radicis de 11, rediges has ad unam radicem radicis, scilicet multiplica 10 in se: faciunt 100, que in se multiplicata faciunt 10000, que multiplicata per 20 faciunt 200000, quorum radix radicis equatur decem radicibus radicis de 20. 131 Similiter pro quattuor radicibus radicis de 11 multiplica quadratum quadrati de 4, scilicet 256, per 11: veniet¹⁵⁷ radix radicis de 2816, in quo numero¹⁵⁸ divides 200000 et provenientis numeri radix radicis erit quesitum. Et si quattuor radices radicis de 11 vis dividere per decem radices radicis de 20, divide 2816 per 200000, et radix radicis eius quod provenerit erit quesitum.

132 Explicatis itaque multiplicationibus et additionibus et extractionibus atque divisionibus numerorum simplicium, videlicet eorum qui per lineas simplices denotantur, etiam et ostensis multiplicationibus radicum trium binomiorum in se; nunc qualiter radices quarti et quinti et sexti binomii multiplicari debeant ostendantur.

133 Radix quidem quarti binomii est composita ex duabus lineis, quarum una est radix quarti binomii et alia est radix recisi eiusdem binomii habentis eadem nomina. Quarum¹⁵⁹ linearum prima dicitur maior, secunda minor; et coniunctum ex eis, scilicet radix binomii quarti, est similiter maior; et dicitur maior quia maius nomen quod potest est numerus. 134 Nam radix quinti binomii potest similiter super numerum et radicem, sed minus nomen eorum numerus est¹⁶⁰; unde ipsa vocatur riton et medium potens ut dictum est superius, et componitur ex radice quinti binomii vel sexti et ex¹⁶¹ radice ipsorum recisorum. 135 Radix quoque sexti binomii eodem¹⁶² modo componitur ex radice sexti binomii et quinti et recisorum eorum. Unde cum vis aliquam ipsorum binomiorum radicem multiplicare in se, adde quadratos sectionum¹⁶³ ipsius cum duplo multiplicationis unius sectionis in aliam, ut si vis in se multiplicare radicem de 4 et radicis de 6, et radicem de 4 minus radice de 6. Hec demonstrentur in linea.

136 Sit itaque linea¹⁶⁴ \(AB\) radix de¹⁶⁵ 4 et radicis de 6 et \(BG\) sit radix de 4 minus radice de 6, et multiplicetur \(AB\) in se: erunt 4 et radix de 6, que sit \(DEZ\), scilicet \(DE\) sit 4 et \(EZ\) sit radix de 6. Et multiplicetur adhuc \(BG\) in se: venient 4 minus radice de 6. Sit ergo \(EI\) 4, quare \(ZI\) est 4 minus radice de 6. Et quia oportet nos multiplicare ignotum \(AB\) per ignotum \(BG\), multiplicabimus quadratum linee \(AB\) in quadratum linee \(BG\), scilicet \(DZ\) in \(ZI\). 137 Est enim tota \(DI\) 8, que divisa est in duo equalia super punctum \(E\) et in duo inequalia super punctum \(Z\); quare multiplicatio \(DZ\) in \(ZI\) cum quadrato linee \(EZ\) equatur ei qui fit a dimidio¹⁶⁶ linee \(DI\)¹⁶⁷, scilicet quadrato linee \(DE\), que est 4; quare quadratus eius est 16. Ergo ex ducto \(IZ\) in \(ZD\) cum quadrato linee \(ZE\) veniunt 16. Sed quadratus linee \(EZ\) est 6; quare ex ductu \(IZ\) in \(ZD\) veniunt 10.

138 Ex hoc quidem manifestum est quod quando aliquid binomium multiplicatur in suum recisum, ex ipsa multiplicatione provenit illud residuum quod est inter quadratum maioris nominis¹⁶⁸ et quadratum minoris nominis¹⁶⁹ . Ut modo, quod ex ductis 4 et radice de 6 in 4 minus radice de 6 veniunt 10, que sunt differentia que est a 16 in 6. Et quoniam ex ductu quadrati linee \(AB\) in quadratum linee \(BG\) proveniunt 10, ergo ex ductu \(AB\) in \(BG\) provenit radix de 10. 139 Quare ex duplo \(AB\) in \(BG\) provenit radix de 40, et sic pro quadrato totius linee \(AG\) habentur 8 et radix de 40, que sunt binomium quartum, cum differentia que est a 40 in 64 non sit ex quadratis numeris.

140 Eodemque modo operaberis in radicibus binomii quinti et sexti¹⁷⁰. Ut si volueris in se multiplicare radicem compositi ex radice de 40 et ex 6, et radicem decompositi ex radice de 40 minus 6, quadratos sectionum insimul adde: erunt due radices de 40, hoc est una radix de 160, quam adde cum duplo multiplicationis unius quadrati in alium, ex qua multiplicatione proveniunt 16, quorum radix, scilicet 4, est id quod voluisti; et sic habebis radicem 160 et 4. 141 Item si vis in se multiplicare radicem compositi ex radice de 40 et radice de 15, et radicem residui quod est inter radicem de 40 et radicem de 15, multiplica unamquamque sectionum in se, et provenient radix de 40 cum radice de 15 et radix de 40 minus radice de 15, que insimul adde: veniet radix de 160. Et multiplica radices de 40 et de 15 in radicem de 40 minus radice 15: provenient¹⁷¹ 25 que sunt a 15 in 40, quorum radicem, que est 5, duplica; venient 10, que adde cum radice de 160: proveniet radix de 160 et 10, que nomina faciunt binomium quintum.

142 Rursus si vis in se¹⁷² multiplicare radicem compositi ex radice de 40 et ex 5, et radicem decompositi eorundem¹⁷³ nominum, scilicet <ex radice> de 40 minus 5, multiplica similiter unamquamque sectionem in se: veniet radix de 40 et 5 et radix de 40 minus 5, quibus in unum coniunctis faciunt radicem de 160, et ex multiplicatione quadrati unius sectionis in aliam proveniunt¹⁷⁴ 15, quorum radix duplicata faciet radicem de 60. Et sic habebis¹⁷⁵ nomina binomii sexti, que sunt radix de 160 et radix de 60. 143 Similiter, si ponamus radicem compositi ex radice de 40 et ex radice de 18, et radicem decompositi¹⁷⁶ ex radice de 40 minus radice de 18, provenient¹⁷⁷ ex eorum multiplicatione in se nomina binomii sexti, quorum maius nomen est radix quadrupli de 40, scilicet 160, et minus nomen est radix quadrupli residui¹⁷⁸ quod est inter 18 et 40, scilicet ex 88; et ita contingit ex omnibus radicibus quinti et sexti¹⁷⁹ binomii.

144 Et notandum quod coniunctum ex radicibus primi binomii et eius recisi est radix numeri tantum. Ut si componamus radicem de 4 et radicem de 7 cum radice de 4 minus radice de 7 , provenient quidem octo ex additione quadratorum sectionum, et ex duplo multiplicationis unius quadrati in alium proveniunt 6 . Quare coniunctum ex radicibus predicti binomii et sui recisi est radix de 14.

145 Que etiam ostendantur in figura, ut que de reliquis binomiis diximus clarius innotescant. Spatium quadrilateri equianguli et¹⁸⁰ equilateri \(AK\) sit 4 et radix de 7, et tetragonum \(ZT\) sit 4 minus radice de 7; et educatur recta \(AE\) in punctum \(B\), et sit recta \(EB\) equalis recte \(KT\). Similiter et recta \(AI\) producatur usque in \(D\), et sit recta \(ID\) equalis recte \(ZK\), et copulentur \(BT\) et \(ZD\). Ergo¹⁸¹ tetragonum est quadrilaterum \(ABGD\), et est eius latus, scilicet radix ipsius, linea \(BG\), que est coniunctio linearum¹⁸² \(BT\) et \(TG\). 146 Sed \(BT\) est radix tetragoni \(AK\), cum sit equalis linee \(EK\), et \(TG\) est radix tetragoni \(ZT\). Et ex ductu \(KT\), hoc est \(GT\), in \(TB\) provenit superficies \(BK\), et ex ductu \(KZ\) in \(KI\), hoc est \(GT\) in \(TB\), provenit superficies \(KD\); ergo ex quadratis linearum \(BT\) et \(TG\) et ex duplo \(GT\) in \(TB\) provenit tetragonum \(ABGD\). Sunt enim spatia tetragonorum \(AK\) et \(KG\) 8, et quodlibet¹⁸³ spatiorum \(BK\) et \(KD\) est 3. 147 Quare spatium tetragoni \(BD\) est 14, quorum radix est linea¹⁸⁴ \(BG\), que est composita ex radice binomii primi¹⁸⁵, scilicet ex \(BT\)¹⁸⁶, et ex radice recisi ipsius, que est \(TG\), quod oportebat ostendere. Similiter eodem modo ostendetur coniunctum ex radicibus binomii secundi et tertii et ex eorum recisis esse semper radicem radicis numeri. His itaque explicatis, ostendamus multiplicare composita ex numeris et radicibus et radicibus radicum in eisdem.

148 Si vis multiplicare 4 et radicem de 7 per 5 et radicem de 20, pone numerum sub numero et radicis quadratum sub quadrato radicis, ut in margine cernitur; et multiplica 4 per 5, scilicet

4 7\(\phantom{0}\) 5 20

¹⁸⁷ numerum per numerum, et radicem per radicem, scilicet 7 per 20: exibunt 20 et radix de 140; et multiplica ex adverso 4 per radicem de 20 et 5 per radicem de 7: exibunt quattuor radices de 20 et quinque radices de 7, hoc est radix de 320 et radix de 175; et sic habentur pro quesita multiplicatione 20 et radix de 320 et radix de 175 et radix de 140.

149 Et quia non comunicantur quadrati radicum suprascriptarum in proportione quadratorum, non possunt redigi in paucioribus nominibus sicuti faciemus in hac alia multiplicatione, in qua volumus multiplicare 5 et radicem de 8 in 6 et radicem de 32, quia 8 et 32 sunt inter se sicut quadratus numerus ad quadratum numerum. Idcirco divide 32 per 8: venient 4, quorum radix est 2, et tot radices de 8 est una radix de 32. 150 Ergo vis multiplicare 5 et unam radicem de 8 per 6

5 8\(\phantom{2}\) 6 32

¹⁸⁸ et duas radices de 8. Multiplicabis ergo 5 per 6 et unam radicem per duas, erunt 30 et duo quadrati radicis de 8, scilicet 16, que etiam habebis cum multiplicaveris 8 per 32 et ex summa acceperis radicem. Adde ergo 30 cum 16: erunt 46, et multiplica 5 per duas radices de 8 et 6 per unam radicem de 8: egredientur ex his duabus multiplicationibus sexdecim radices de 8, quibus additis cum 46 erunt 46 et una radix de 2048 pro summa quesite multiplicationis.

151 Item si vis multiplicare 7 et radicem radicis de 10 per 8 et radicem radicis de 12; multiplicatis siquidem 7 per 8 et radicem radicis de 10 per radicem radicis de 12 et 7 per radicem radicis de 12 et 8 per radicem radicis de 10¹⁸⁹: venient integra 56 et octo radices radicis de 10 et 7 radices radicis¹⁹⁰ de 12 et una radix radicis de 120, et non possunt dici in paucioribus nominibus, cum proportio de 10 ad 12 non sit sicut quadratus numerus ad quadratum numerum, nec etiam sint medie numerum continentes.

152 Unde si vis multiplicare 8 et radicem radicis trium per 9 et radicem radicis de 27, multiplica 8 per 9 et per radicem radicis de 27, et 9¹⁹¹ multiplica per radicem radicis trium, et radicem radicis trium multiplica per radicem radicis de 27: venient 72¹⁹² et 8 radices radicis de 27 et novem radices radicis de 3 et una radix radicis de 81, scilicet 3. Quibus 3 additis cum 72 faciunt 75, que habentur cum radice radicis de 19683 et cum radice radicis de 110592 pro summa quesite multiplicationis. 153 Sunt enim novem radices radicis trium una radix radicis de 19683, et octo radices radicis de 27 sunt una radix radicis de 110592; que due radices radicis non possunt aggregari nisi in radice una binomii secundi, quia ex addictione quadratorum ipsarum provenit radix de 223587, et ex duplo multiplicationis unius in aliam proveniunt 432, cuius binomii radix est additio prescriptorum; et sic habentur pro quesita multiplicatione integra 75 et una radix ex radice de 223587 et de 432.

154 Item si vis multiplicare radicem de 5 et radicem radicis de 10 per radicem de 6 et radicem radicis 12, multiplica species ordine suprascripto, et habebis radicem de 30 et radicem radicis de 360 et radicem radicis de 300 et radicem radicis de 120.

155 Rursus si vis multiplicare 3 minus radice 5 per 6 minus radice de 20, multiplica 3 per 6: erunt 18, de quibus tolle multiplicationem de 3 in radicem de 20 et de 6 in¹⁹³ radicem de 5; remanebunt 18 minus duabus radicibus de 180, super que adde multiplicationem radicis de 5 in radicem de 20: erunt 28 minus radice de 720 pro quesita multiplicatione. 156 Et notandum quia cum multiplicantur aliqua diminuta per diminuta¹⁹⁴, tunc illa multiplicatio crescit; et cum multiplicatur addita inter se, tunc etiam et ipsa eorum multiplicatio est augenda; sed cum multiplicatur addita per diminuta, tunc eorum multiplicatio est minuenda, ut in sequentibus ostendetur. 157 Et quia ex hac multiplicatione provenit numerus tantum minus radice, scitur quod nomina suprascriptorum recisorum sunt ad invicem proportionalia. Verbi gratia: sunt enim 6 dupla de 3; eodem modo radix de 20 est dupla radice de 5. Vel sicut 3 sunt ad radicem de 5, ita 6 sunt ad radicem de 20; quorum proportio notificatur cum quadratis ipsorum nominum, hoc est sicut quadratus de 3 est ad 5, ita quadratus de 6 est ad 20.

158 Et ut ostendatur quod multiplicatio rerum diminutarum crescenda sit, adiaceat quadrilaterum \(ABCD\) rectiangulum, et auferatur quevis pars ex \(AD\) et ex \(AB\), sintque \(DE\) et \(BF\); et per punctum \(E\) protrahatur linea \(EG\) equidistans utrique linearum \(AB\) et \(DC\)¹⁹⁵. 159 Similiter per punctum \(F\) protrahatur linea \(FH\) equidistans ¹⁹⁶ lineis \(AD\) et \(BC\)¹⁹⁷. Ex ductu quidem \(DA\) in \(AB\) provenit superficies \(BD\), et ex ductu \(HI\) in \(IG\), hoc est \(DE\) in \(FB\), provenit superficies \(GH\). Ex quibus duabus superficibus si auferantur due superficies, que sunt \(BH\) et \(GD\), quarum una provenit ex \(FB\) in \(BC\)¹⁹⁸, hoc est ex \(DA\) in \(FB\), et alia provenit ex \(EG\) in \(ED\)¹⁹⁹, hoc est ex \(AB\) in \(ED\), remanebit superficies \(FE\), que provenit ex \(EA\) in \(AF\), quod oportebat ostendere. 160 Et ut hec in numeris habeantur, sit linea \(AD\) 6, de qua auferatur \(DE\), que sit radix de 20, et \(AB\) sit 3, et \(BF\) sit radix de 5, et volo multiplicare 6 minus radice de 20 per 3 minus radice de 5, hoc est \(EA\) in \(AF\), de qua provenit superficies \(FE\). Multiplicabo itaque \(DA\) in AB: erunt 18 pro superficie \(ABCD\); 161 quibus addam multiplicationem radicis de 20 in radicem de²⁰⁰ 5, scilicet ex \(DE\) diminuta in \(BF\) diminutam, hoc est \(HI\) in \(IG\), de qua provenit superficies \(GH\): erunt 28 pro quantitate superficierum \(BD\) et \(GH\); de quibus auferam multiplicationem ex \(DA\) in \(FB\), hoc est ex \(HF\) in \(FB\), scilicet superficiem \(BH\), que provenit ex 6 ductis in radice de 5: remanebunt 28 minus sex radicibus 5 pro duabus superficiebus \(GD\) et \(FE\). 162 De quibus si auferatur multiplicatio de 3 in radicem de²⁰¹ 20, scilicet \(GE\) in \(ED\), de qua multiplicatione provenit superficies \(GD\), remanebunt 28 minus sex²⁰² radicibus de 5 et tribus radicibus de 20 pro superficie \(FE\), ut superius invenimus. Nam sex radices de 5 et tres radices de 20 sunt una radix de 720.

163 Item si vis multiplicare 4 minus radice radicis duorum per 5 minus radice radicis de 8, multiplicabis siquidem 4 per 5²⁰³ et radicem radicis binarii per radicem radicis de 8: erunt 22 addita, de quibus tolle ea que proveniunt ex ductis 4 in radice radicis 8, et ex 5 in radicem radicis 2: remanebunt 22 minus quattuor radicibus radicis de 8 et quinque radicibus radicis 2 pro quesita multiplicatione.

164 Adhuc si vis multiplicare radicem de 8 minus radice radicis duorum per radicem de 18²⁰⁴ minus radice radicis de 128. Ex ducta quidem radice de 8 in radicem de 18 proveniunt 12 addita, et ex ducta radice radicis duorum in radicem radicis de 128 proveniunt 4 addita, et ex ducta radice²⁰⁵ de 8 in radicem radicis de 128 provenit una radix radicis diminuta de 8192²⁰⁶, et ex ducta radice de 18 addita in radicem radicis diminutam²⁰⁷ de 2 provenit una radix radicis diminuta de 648; et sic habentur pro quesita multiplicatione 16 minus radice radicis 8192²⁰⁸ et radice radicis de 648.

165 Similiter si vis multiplicare radicem radicis de 20 minus radice radicis de 10 per radicem²⁰⁹ radicis de 30 minus radice radicis de 15, secundum modum suprascriptum invenies summam ipsius multiplicationis esse radicem radicis de 600 et radicem radicis de 150, diminutis duabus radicibus radicis de 300. 166 Et quia radices radicum de 600 et de 150 sunt potentia tantum comunicantes, ideo possunt congregari in radicem binomii tertii; ex quarum congregatione provenit radix ex radice de 1350 et ex radice de 1200²¹⁰. His omnibus explicatis, doceamus multiplicare binomiales numeros per recisos.

167 Cum volueris multiplicare aliquod binomium per suum recisum, extrahe quadratum minoris ²¹¹ nominis de quadrato maioris, et quod remanserit erit summa quesite multiplicationis. Ad cuius rei evidentiam²¹², adiaceat binomium \(ABG\), cuius maius nomen sit \(AB\), a quo auferatur equale nominis \(BG\), sitque \(BD\). Recisum ergo est \(DA\), quod volo multiplicare per binomium \(AG\). 168 Et quia linea \(DG\) divisa est in duo equalia super punctum \(B\) et ei in directo adiuncta est linea \(DA\), erit multiplicatio \(AD\) in \(AG\)²¹³ cum quadrato linee \(DB\) equalis²¹⁴ quadrato linee \(AB\). Quare si a quadrato nominis \(AB\) auferatur quadratus nominis \(BD\), hoc est nominis \(BG\), remanebit summa multiplicationis ex \(AD\) in \(AG\); quod oportebat ostendere.

169 Et ut hec in numeris ostendantur, sit \(AB\) 4 et \(BG\) sit radix de 7, que volo multiplicare per 4 minus radice de 7, hoc est per \(AD\). Auferam itaque quadratum linee \(DB\), scilicet 7, ex quadrato linee \(AB\), scilicet ex 16: remanebunt 9 pro summa multiplicationis \(AG\) in \(AD\). 170 Vel si secundum numerum

plus   4 7 minus     7 4

²¹⁵ hoc facere vis, pone 4 et radicem de 7 et 4 minus radice de 7 ut in margine cernitur, et multiplica 4 que sunt in recisu per utrumque nomen binomii, scilicet per 4 et per radicem de 7: erunt 16 et quattuor radices de 7 addite; et multiplica radicem de 7²¹⁶ diminuta per eadem nomina binomii: provenient 7 diminuta et quattuor radices de 7 similiter²¹⁷ diminutas, quibus extractis ex 16 et ex quattuor radicibus de 7, scilicet ex additis, remanebit 9 pro summa quesite multiplicationis.

171 Item si vis multiplicare tertium binomium vel sextum in suum recisum, similiter ex eorum multiplicatione provenit numerus²¹⁸ ratiocinatus. Ut si volueris multiplicare radicem de 40 et radicem de 30 per radicem de 40 minus radice de 30, extrahes quadratum minoris nominis de quadrato²¹⁹ maioris, scilicet 30 de 40: remanent 10 pro summa quesite multiplicationis. Et sic operandum est in multiplicatione secundi et quinti binomii in eorum recisis.

172 Et notandum quod quando ex multiplicatione alicuius recisi in aliquod binomium provenit numerus tantum, tunc nomina recisi sunt proportionalia cum nominibus binomii et habent ad invicem eundem ordinem. 173 Ut si vis multiplicare 6 et radicem de 10 per 18 minus radice de 90; quia nomina recisi sunt tripla ex

6 10 90 18

²²⁰ nominibus binomii, accipe triplum differentie que est inter quadratum maioris nominis binomii et quadratum minoris, et quod provenerit erit quesitum. Verbi gratia: extractis 10 de 36 remanent 26, quibus triplicatis reddunt 78 pro quesita multiplicatione. 174 Quod etiam haberes²²¹ si operaberis secundum modum numeri; quia multiplicatis 18 in 6²²² et in radicem de 10 proveniunt 108 et 18 radices de²²³ 10; de quibus si auferatur multiplicatio radicis de 90 in 6 et in radicem de 10 remanebunt 78, ut prediximus.

175 Eodemque²²⁴ modo procedendum est in multiplicatione binomiorum et recisorum diversorum. Ut si volueris

5 10 30 7

²²⁵ multiplicare 5 et radicem de 10 per 7 minus radice de 30, multiplicatis siquidem 7 per 5 et²²⁶ radicem de 10 veniunt 35²²⁷ et radix de 490; de quibus si auferatur multiplicatio radicis de 30 in 5 et in radicem de 10 remanebunt 35²²⁸ et radix de 490, diminuta radice de 750²²⁹ et de 300²³⁰; et aliter non potest dici in surdis, cum radices predicte non sint²³¹ inter se comunicantes. 176

radix     40 5   radix   6 50

Et si vis multiplicare radicem²³² de 40 additis 5 per radicem de 50 diminutis 6, multiplicata quidem radice de 50 in radicem²³³ de 40 et in 5, provenit radix de 2000 et radix de 1250, de quibus si auferatur multiplicatio de 6 in radicem²³⁴ de 40 et in 5 remanebit radix de 2000 et radix de 1250 minus 30 et radice de 1440.

177 Si vis multiplicare aliquem numerum et radicem radicis per suum recisum, operaberis ut diximus in multiplicatione binomii in suum recisum. Ut si vis multiplicare 4 et radicem radicis 10 per 4 minus radice radicis de 10, extrahe quadratum nominis minoris²³⁵, scilicet radicem de 10, de quadrato maioris, scilicet de 16: remanebunt 16 minus radice de 10 pro quesita multiplicatione. Et si²³⁶ multiplicarentur 4 et radix radicis de 10²³⁷ in duplum sui recisi, scilicet in 8 minus radice radicis de 160, proveniet utique duplum suprascripte multiplicationis, scilicet 32 minus radice de 40.

178 Rursus si vis multiplicare radicem de 20 et²³⁸ radicem radicis de 10 per suum recisum, scilicet per radicem de 20 minus radice radicis de 10, extrahe similiter quadratum minoris nominis de quadrato maioris: remanebunt 20 minus radice de 10. Similiter si vis multiplicare radicem radicis de 60 et radicem radicis de 15 per suum recisum, scilicet per radicem radicis de 60 minus radice radicis de 15²³⁹, extrahe quadratum minoris nominis de quadrato maioris, scilicet radicem de 15 ex radice²⁴⁰ de 60: remanebit tantum radix de 15 pro quesita multiplicatione. 179 Et si

radix     radicis   4 10 radix     radicis     12 5

²⁴¹ vis multiplicare 4 et radicem radicis de 10 in 5 minus radice radicis de 12, scribes ea ut hic cernuntur, et multiplica ordine suprascripto maius nomen recisi per utrumque nomen binomii, scilicet 5 per 4 et per radicem radicis de 10: erunt 20 et quinque radices radicis de 10, de quibus extrahe multiplicationem diminute radicis radicis de 12 in 4 et in radicem radicis²⁴² de 10: remanebunt 20 et quinque radices radicis de 10, diminutis quattuor radicibus radicis de 12 et una radice radicis de 120; et sic studeas facere in similibus.

180 Et cum occurerint²⁴³ nomina comunicantia in diminutis et additis, rediges ea in paucioribus nominibus. Ut si vis multiplicare 4 et radicem radicis de 27 per 5 minus radice radicis de 3, provenient siquidem ex eorum multiplicatione 20 et quinque radices radicis de 27, diminutis quattuor radicibus radicis trium et radice radicis de 81; que radix radicis est ratiocinata, et est 3, quibus diminutis a 20, remanent 17; et sic habentur pro quesita multiplicatione 17 et quinque radices radicis 27, diminutis quattuor radicibus radicis²⁴⁴ trium.