197 De divisione numerorum et radicum vel radicum radicum per compositos ex numero et radice radicis, vel ex radice et radice radicis, seu ex duabus²⁶⁵ radicibus²⁶⁶ radicum diversis

Si vis dividere 10 per 2 et radicem radicis trium, scias primum quia cum multiplicatur numerus et radix radicis in suum recisum, tunc provenit ex ipsa multiplicatione id quod est inter quadratum minoris nominis et quadratum maioris²⁶⁷, quod residuum est aut numerus minus radice, aut radix minus numero; quod idem provenit ex multiplicatione radicis et radicis radicis in suum residuum. 198 Sed cum multiplicantur due radices radicis diverse per suum recisum, tunc radicem minus radice vel radicem tantum provenire demonstrabo. Sit itaque \(AC\) compositum ex numero et radice radicis, et sit maius nomen \(AB\), et iaceat \(BD\) equale nomini \(BC\). 199 Et quia \(DC\) linea divisa est in duo equalia super punctum \(B\) et ei adiuncta est linea \(AD\), erit multiplicatio \(AD\) in \(AC\) cum quadrato linee \(DB\) equalis quadrato linee²⁶⁸ \(AB\); quare si auferatur quadratum linee \(BD\) ex quadrato linee \(AB\), remanebit multiplicatio ex \(AD\) in \(AC\)²⁶⁹.

200 Sit ergo primum \(AB\) numerus, et \(BC\), hoc est \(BD\), sit radix radicis numeri; remanebit ergo \(AD\) decomposita²⁷⁰ ex numero \(AB\) minus radice radicis \(BD\). Et quia multiplicato \(AD\) in \(AC\) provenit quadratus numeri²⁷¹ \(AB\) minus quadrato radicis radicis \(BD\), et est²⁷² quadratus numeri \(AB\) numerus et quadratus²⁷³ radicis radicis \(BD\) est radix numeri, ergo ex ductu \(AC\) in \(AD\) provenit numerus minus radice. 201 Et si maius nomen \(AB\) sit radix radicis numeri, et minus, scilicet \(BC\)²⁷⁴, sit numerus, proveniet²⁷⁵ ex \(AB\) in se radix numeri et ex \(BD\) in se provenit numerus; ergo ex \(AC\) in \(AD\) provenit radix numeri minus numero, ut predixi. Similiter ostendetur idem provenire, si unum ex nominibus \(AB\) et \(BC\) sit radix numeri et alterum sit radix radicis²⁷⁶.

202 Sed si²⁷⁷ utrumque nomen fuerit radix radicis numeri, tunc ex \(AB\) in se provenit radix numeri, et ex \(DB\) similiter. Quare id quod provenit ex \(AC\) in \(AD\), scilicet ex duabus radicibus radicis diversis in suum recisum, provenit radix numeri minus radice; que si fuerint comunicantes possunt redigi ad radicem unam, ut predixi.

203 Et quia vis dividere 10 in 2 et radicem radicis trium, multiplica ea²⁷⁸ in suum recisum, scilicet in 2 minus radice radicis trium: provenient 4 minus radice trium; que si dividantur per 2 et radicem radicis trium, redibit utique suum recisum²⁷⁹, scilicet 2 minus radice radicis trium. Proportionaliter ergo sicut 4 minus radice trium sunt ad 10, ita 2 minus radice radicis trium sunt ad quesitum. 204 Quare multiplicanda sunt 10 per 2 minus radice radicis trium et dividenda per 4 minus radice trium; vel dividenda sunt 10 per 4 minus radice trium et que provenerint multiplicanda per 2 minus radice radicis trium. 205 Nam qualiter 10 dividantur per 4 minus radice trium ostensum est superius, et sunt que proveniunt ex ipsa divisione \({40 \over 13}\) et radix de \({300 \over 13}\), que multiplicata per 2 minus radice radicis trium reddunt ea que proveniunt ex 10 divisis in 2 et radicem radicis trium. Et si 10 per 2 minus radice radicis trium dividere vis, multiplicabis prescriptas \({40 \over 13}\) et radicem de \({300 \over 13}\) per 2 et radice radicis trium, et habebis quesitum.

206 Item si vis dividere 10 per radicem de 6 et radicem radicis duorum, multiplica radicem de 6 et radicem radicis duorum per radicem de 6 minus radice radicis duorum: provenient 6 minus radice duorum, in quibus divide 10 et quod provenerit multiplica per radicem de 6 minus radice radicis duorum, et habebis propositum. Et si volueris dividere 10 per radicem de 6 minus radice radicis duorum, id quod provenit ex 10 divisis in 6 minus radice duorum multiplica per radicem de 6 et per radicem radicis duorum, et habebis propositum.

207 Rursus si vis dividere radicem de 120 per radicem radicis de 18 et radicem radicis de 8, multiplica radicem radicis de 18 et radicem radicis de 8 per radicem radicis de 18 minus radice radicis de 8, et proveniet rationale in potentia, quod est radix duorum, in qua divide radicem de 120: 208 proveniet radix de 60, quam multiplica per radicem radicis de 18 minus radice radicis de 8, et habebis propositum. Et si radicem de 120 per radicem radicis de 18 minus radice radicis de 8 dividere vis, multiplicabis radicem de 60 superius inventa per radicem radicis 18 et radicem radicis de 8.

209 Adhuc si vis dividere radicem radicis de 5000 per²⁸⁰ radicem radicis de 40 et radicem radicis de 20, multiplica hoc binomium in suum recisum, scilicet in radicem radicis de 40 minus radice radicis de 20: proveniet radix de 40 minus radice de 20, in qua²⁸¹ divide radicem radicis de 5000; hoc est multiplica radicem de 40 minus radice de 20 in suum binomium, scilicet in radicem de 40 et in radicem de 20; 210 provenient 20, in quibus divide radicem radicis de 5000: proveniet radix radicis de \({1 \over 32}\), quam multiplica per radicem de 40 et per radicem de 20, et quod provenerit multiplica per radicem radicis de 40 minus radice radicis de 20, et habebis propositum.

211 Et si volueris dividere aliquod simplex, vel binomium, sive recisum per aliquod trinomium²⁸², extrahe unum ex tribus nominibus ex reliquis duobus, et quod remanserit per ipsum trinomium multiplica et in id quod provenerit divides multiplicationem dividendorum nominum in residuum trinomium, et habebis quod queris. 212 Nam cum extrahitur ex tribus²⁸³ nominibus unum nomen et residuum multiplicatur in ipsum trinomium, quod ex ipsa provenit multiplicatione erit aut recisum, vel binomium, sive radix numeri ratiocinati; quod demonstrabo in linea. Sit itaque linea \(AD\) trinomium aliquod, cuius nomina sint \(AB\), \(BC\), \(CD\); et auferatur ex \(AC\) binomio recta \(CE\) equalis recte \(CD\). 213 Et quoniam recta \(ED\) divisa est in duo equa super punctum \(C\), et ei in directo ²⁸⁴ adiuncta est linea \(EA\), erit multiplicatio \(AE\) in \(AD\) cum quadrato linee \(EC\) equalis quadrato linee \(AC\). Quare cum vis multiplicare residuum \(AE\) in trinomium \(AD\), multiplicandum est binomium \(AC\) in se et ex ipsa multiplicatione extrahendus est²⁸⁵ quadratus nominis \(EC\), hoc est nominis \(CD\), et remanebit id quod fit ex ductu \(AD\) in \(AE\). 214 Scimus autem quoniam ex ducto²⁸⁶ \(AC\) binomio in se provenit primum binomium , ut ostensum est. Ex²⁸⁷ omne enim binomio, cum multiplicatur in se, provenit primum binomium; primum autem binomium numerus est²⁸⁸ et radix numeri. Scimus etiam quod ex ductu \(EC\) in se provenit numerus. Minue igitur numerum de primo binomio²⁸⁹, quod²⁹⁰ est numerus et radix numeri. Si autem numerus qui minuendus est est²⁹¹ minor numero qui est in binomio primo, tunc id quod remanet est numerus et radix numeri, quod est binomium. 215 Si vero numerus qui est minuendus fuerit maior numero qui est in primo binomio²⁹², tunc id quod remanet erit radix numeri minus numero, quod est recisum. Si autem equalis fuerit, tunc remanebit radix numeri, ut predixi.

216 Unde si vis dividere 10 per 2 et per radicem de 3 et per radicem de 5, multiplica 2 et radicem de 3 in se; provenient 7 et radix de 48, de quibus extrahe 5, scilicet quadratum tertii nominis divisoris: remanebunt 2 et radix de 48, in quo binomio divide multiplicationem de 10 in 2 et in radice de 3 minus radice de 5 per modum superius demostratum. 217 Et si vis dividere 10 per 2 et radicem de 3²⁹³ minus radice de 5, multiplica 10 per 2 et per radicem de 3 et per radicem de 5 et que provenerint divide per 2 et radicem de 48. Similiter si volueris dividere radicem de 10 per radicem de 6 et radicem de 7 et radicem 8, multiplicabis radicem de 6 et radicem de 7 et de 8 in radicem de 6 et radicem²⁹⁴ de 7 minus radice de 8, et proveniet 5 et radix de 168, quod²⁹⁵ est binomium in quo divide multiplicationem radicis de 10 in radicem de 6 et in radicem de 7 minus radice de 8. 218 Et si vis dividere radicem radicis de 200 per radicem de²⁹⁶ 6 et radicem de 7 minus radice 8, multiplicabis radicem <radicis> de 200 per radicem de 6 et per radicem de 7 et per radicem de 8 et que provenerint divide per 5 et radicem de 168; et²⁹⁷ sic studeas facere in similibus.