293 Explicit⁴⁴² de multiplicatione radicum cubicarum. Incipit de divisione earum inter se

Si vis dividere radicem cubicam de 100 per radicem cubicam de 5, divide 100 per 5: provenient 20, quorum radix cubica est id quod queris. Et si diviseris 5 per 100 provenit \({1 \over 20}\), cuius radix cubica est id quod provenit ex radice de 5 divisa in radicem de 100. 294 Et si vis dividere 8 per radicem de 32, cubum de 8, scilicet 512, divide per 32: venient 16, quorum radix cubica est id quod queris. Et si vis dividere radicem de 80 per 2, divide 80 per cubum binarii: venient 10, quorum radix cubica est id quod queris.

295 Item si vis dividere octo radices cubicas de 10 per tres radices cubicas de 5, rediges pluralitatem ipsarum radicum ad radicem unam, et habebis 5120 pro octo radicibus de 10, et pro tribus radicibus de 5 habebitur radix de 135.

296 Scias in additione et disgregatione radicum cubicarum evenire ea que inter radices eveniunt quadratorum, videlicet quod quedam ex eis possunt inter se aggregari et disgregari et quedam non. Cum itaque cubi radicum inter se proportionem habuerint ut cubus numerus ad cubum numerum, tunc inter se aggregari possunt et disgregari. 297 Unde si⁴⁴³ eas quarum cubi habent proportionem sicut⁴⁴⁴ cubus numerus ad cubum numerum aggregare vis, radices ipsorum cuborum insimul adde et quod provenerit cubica, et cubicatam summam multiplica per multiplicitatem quam habent cubi ipsarum radicum ad cubos proportionis.

298 Verbi gratia: vis addere radicem cubicam de 16 cum radice cubica de 54, quorum numerorum proportio est sicut cubus numerus 8 ad cubum numerum 27 et unusquisque ipsorum est⁴⁴⁵ duplus sui cubi. Adde ergo radicem de 8 cum radice de 27, scilicet 2 cum 3; erunt 5, que cubica: erunt 125, que⁴⁴⁶ multiplica per 2 propter 16 et 54 que sunt dupla de 8 et de 27: erunt 250, quorum radix cubica est additio quesita. 299 Et si ipsas radices disgregare vis, radicem de 8 ex radice de 27 extrahe: remanebit 1, cuius⁴⁴⁷ cubum, scilicet 1⁴⁴⁸, multiplica per predictam multiplicitatem, scilicet per 2, et habebis radicem de 2 pro residuo quesite extractionis.

300 Item si vis addere radicem cubicam de 4 cum radice cubica de 32, quorum numerorum proportio est sicut 1 ad 8, et est unusquisque eorum quadruplus sui cubi; quare radicem cubicam de 1 adde cum radice cubica⁴⁴⁹ de 8; erunt 3, quorum cubum, scilicet 27, quadruplica: erunt 108, quorum⁴⁵⁰ radix cubica est additio quesita. Et si radicem de 4 extrahere vis ex radice de 32, radicem de 1 extrahe ex radice de 8; remanet 1, cuius cubum, scilicet 1, quadruplica: erunt 4, quorum radix cubica est residuum quesite extractionis.

301 Aliter: sit linea \(AB\) radix cubica de 32 et \(BC\) sit radix de 4, et volo scire quantitatem totius \(AC\). Quoniam linea \(AC\) divisa est in duo super punctum \(B\), erunt duo cubi portionum \(AB\) et \(BC\) cum triplo quadrati \(AB\) in \(BC\) nec non et cum triplo quadrati \(BC\) in \(AB\), equales cubo totius linee \(AC\). 302 Quare addantur⁴⁵¹ cubi portionum \(AB\) et \(BC\), scilicet 32 cum 4: erunt 36; et multiplicetur \(AB\) in se, scilicet radix cubica de 32 in radicem cubicam de⁴⁵² 32: veniet radix cubica de 1024, quam radicem triplica, scilicet multiplica 1024 per 27; veniet radix cubica de 27648, quam radicem multiplica in \(BC\), scilicet in radicem cubicam de 4: veniet radix cubica de 110592, que est 48. 303 Vel aliter: ex quadrato linee \(AB\) in \(BC\) proveniet semper cubus numerus⁴⁵³ in similibus. Quare multiplica 1024 per 4; erunt 4096, quorum radix cubica est⁴⁵⁴ 16, que multiplica per 3; erunt 48⁴⁵⁵, que adde cum 36: erunt 84. 304 Item quadratum linee \(BC\), scilicet radix cubica de 16, multiplica per \(AB\), scilicet per radicem de 32; veniet radix cubica de 512, que est 8, que multiplica per 3; erunt 24, que adde cum 84: erunt 108 pro cubo totius linee \(AC\). Ergo \(AC\), scilicet coniunctum ex radice de 32 et ex radice de 4, est radix cubica de 108, ut per alium modum invenimus.

305 Et si radicem de 4 per alium modum ex radice de 32 extrahere vis, quandam diffinitionem linee divise, quam huic operi necessariam inveni, oportet predicere. Videlicet ut cum aliqua linea ut libet divisa in duo fuerit, erit⁴⁵⁶ cubus totius linee cum numero solido qui fit a quadrato unius sectionis⁴⁵⁷ et a tota linea, equalis duplo numeri solidi qui fit a quadrato totius linee et ab eadem sectione⁴⁵⁸ et solido qui fit a quadrato relique sectionis⁴⁵⁹ et a tota linea. 306 Verbi gratia: sit linea \(AB\) 5 divisa super \(G\) et sit \(AG\) 3, quare \(GB\) est 2. Erit itaque cubus linee \(AB\) 125, et solidus qui fit a quadrato linee \(GB\) in lineam \(AB\) erit 20, quibus additis cum 125 erunt 145, quibus equatur⁴⁶⁰ duplum solidi qui fit a quadrato linee \(AB\) in lineam \(BG\) cum solido qui fit a quadrato linee \(GA\) in lineam \(AB\). Quia ex ductu \(AB\) in se veniunt⁴⁶¹ 25, quibus ductis in \(GB\) erunt 50, quorum duplum est 100, quibus additis cum multiplicatione quadrati linee \(GA\) in \(AB\), scilicet cum 45, faciunt 145, ut oportet.

307 Hac itaque diffinitione intellecta, pro radice cubica de 32 adiaceat linea \(DE\), et accipiatur ex ea portio \(EZ\), que sit radix cubica de 4: remanet \(ZD\) ignota, quam invenire volumus. Constituam igitur super lineam \(DE\) quadrilaterum equilaterum et equiangulum \(CDEF\), et signabo punctum \(B\) in linea⁴⁶² \(EF\) ita ut \(EB\) sit equalis linee \(EZ\); et per⁴⁶³ punctum \(B\) protraham lineam \(BA\), et sit \(AD\) equalis linee \(BE\). 308 Item per punctum \(Z\) protraham lineam \(ZG\), et sit \(GF\) equalis \(ZE\). Quibus explicatis, accipiam cubum linee \(DE\), qui est 32, et multiplicabo \(ZE\) in se: provenit radix cubica de 16 pro quadrato \(HZEB\). 309 Quam superficiem ducam⁴⁶⁴ in altum secundum quantitatem linee \(DE\), hoc est⁴⁶⁵ multiplicabo superficiem \(ZB\) que est in plano per equalem linee \(DE\), quam intelligo elevatam in altum, scilicet radicem de 16 per radicem de 32⁴⁶⁶: proveniet radix cubica ipsius numeri qui provenit ex 16 in 32. 310 Sed ex 16 in 32 provenit idem quod ex dimidio de 16 in duplo de 32, scilicet ex 8 in 64; sed ex ductis 8 in 64 provenit numerus cubus, cum 8 et 64 sint cubi. Cuius radix est illud quod provenit ex radice de 8 in radicem⁴⁶⁷ de 64⁴⁶⁸, scilicet de 2 in 4; sic⁴⁶⁹ habentur 8 pro solido qui fit a quadrato linee \(EZ\) in lineam \(ED\). 311 Quibus 8 additis cum 32, scilicet cum cubo linee \(ED\), erunt 40⁴⁷⁰; de quibus si auferatur duplum solidi qui fit a superficie \(ADEB\) et linea \(ED\), hoc est duo solidi qui fiunt a superficie predicta et a superficie⁴⁷¹ \(ZEFG\), elevatis in altum secundum lineam \(ED\), remanebit solidus qui fit elevatus in altum secundum quantitatem linee \(DE\) super quadratum linee \(ZD\)⁴⁷² ignote, scilicet super quadratum \(CAHG\). 312 Nam solidus qui fit a superficie \(ADEB\)⁴⁷³ elevata in \(DE\) habetur ex multiplicatione \(BE\) in \(ED\) ducta in \(ED\)⁴⁷⁴, hoc est ex quadrato linee \(ED\) in \(EZ\); ergo multiplicabis radicem de 32 in se: veniet radix de 1024, quam multiplicabis per \(BE\), hoc est per \(EZ\), scilicet per radicem de 4: veniet radix illius quod provenit ex duplo de 4 in dimidium de 1024, scilicet ex 8 in 512. 313 Sed radix eius qui provenit ex 8 in 512 est id quod provenit ex 2 in 8, scilicet ex radice de 8 in radicem de 512; ergo solidus qui fit ex \(DE\) in \(EZ\)⁴⁷⁵ producta in \(DE\) erunt 16, quorum duplum extrahe de⁴⁷⁶ 40: remanent 8 pro solido qui fit ex quadrato linee \(ZD\) in lineam \(DE\). 314 Quare si diviseris⁴⁷⁷ 8 per lineam \(DE\), scilicet per radicem cubicam de 32, veniet radix cubica de 16 pro quadrato linee \(ZD\), hoc est pro superficie quadrata \(AG\). Quare radix quadrata radicis cubice de 16, scilicet radix cubica de 4, est linea \(HA\), hoc est linea \(ZD\); ergo si ex⁴⁷⁸ radice cubica de 32 auferatur radix cubica de 4, remanet radix cubica de 4, ut per alium modum invenimus.

315 Et quia inventa est linea \(ZD\) equalis linee \(ZE\), erit tota linea \(DE\) duplum linee \(EZ\). Unde ex hoc manifestum est quod cum aliquis numerus fuerit octuplum alterius, tunc radix cubica maioris⁴⁷⁹ erit duplum radicis cubice minoris. Unde radix cubica⁴⁸⁰ de 32 solvitur in duabus radicibus de 4; quare cum vis addere radicem de 32 cum radice de 4, tunc vis addere duas radices de 4 cum una radice de 4, ex qua coniunctione proveniunt tres radices de 4, hoc est radix eius quod provenit ex ductis 27 in 4. 316 Similiter cum⁴⁸¹ vis extrahere radicem de 4 ex radice de 32, tunc ex duabus radicibus de 4 extrahe unam radicem de 4: remanebit una radix de 4, ut modo invenimus. Et ut hoc melius declarescat, addatur radix de 135 cum radice de 1715, quorum proportio est sicut cubus 27 ad cubum 343, et est unusquisque eorum quincuplus sui cubi. Quare accipe radices ipsorum⁴⁸² cuborum: erunt 3 et 7. Dic ergo te velle addere tres radices de 5 cum septem radicibus de 5, ex qua iunctione proveniunt decem radices cubice de 5, hoc est una radix de 5000. 317 Et si vis extrahere radicem de 135 ex radice de 1715, extrahe⁴⁸³ tres radices de 5 ex septem radicibus de 5: remanebunt quattuor radices de 5, scilicet una radix de 320. Et sic intelligas in omnibus radicibus cubicis inter se comunicantibus. Relique vero radices que proportionem non habent, nec⁴⁸⁴ addi nec disgregari possunt. 318 Unde si vis addere radicem cubicam de 5 cum radice cubica de 3, proveniet ex eorum additione radix de⁴⁸⁵ 5 et radix de 3. Et si vis eas disgregare habebis radicem de 5 minus radice de 3, et aliter dici non possunt pulcrius. Unde huic capitulo finem imponimus.