26 Inventio radicis de 927435

Rursus si radicem cuiuslibet numeri sex figurarum, ut de 927435, invenire vis, quorum radix oportet similiter esse numerum trium figurarum, unde ultimus eius gradus ponendus est sub figura tertii gradus, scilicet sub 4. Invenies itaque radicem numeri quattuor ultimarum figurarum, scilicet de 9274, et hoc facies secundum quod superius in inventione quattuor figurarum demonstravimus; eritque radix illius numeri 96 et remanent 58. 27 Pones ergo 96 bis sub tertio

587\(\phantom{5}\) 927435 963 963

²⁶ et secundo gradu et 58 pones super 74 de 9274, et copulabis 58 cum antecedente figura, scilicet cum 3 que sunt in secundo gradu: erunt 583, pro quibus pones in primo gradu radicis, scilicet ante 96, bis talem figuram, qua²⁷ in cruce multiplicata per 96 et extracta summa multiplicationis de 583 remaneat numerus qui copulatus cum fuerit cum figura primi gradus, scilicet cum 5, valeas inde extrahere multiplicationem ipsius figure in se ipsa, et non remaneat inde plus duplo radicis invente. 28 Eritque 3, qua posita ante utraque 96, multiplica 3 per 96 in cruce: erunt 576, que extrahe de 583; remanent 7 super 3, quibus copulatis cum 5 primi gradus faciunt 75. De quibus extracta multiplicatione de 3 in 3, scilicet 9, remanent 66; quorum dimidium, scilicet 33, divide per 963: exibunt \({11 \over 321}\), et sic habebis \({11 \over 321}\) 963 pro quesita radice, qua multiplicata in se ipsa reddunt plus quesito numero quantitatem multiplicationis ruptorum in se ipsis, scilicet de \({11 \over 321}\). 29 Quare si propius ad radicem de 927435 accedere vis, multiplica \({11 \over 321}\) in se et quod provenerit divide per duplum de \({11 \over 321}\) 963, et quod exierit²⁸ minue de prescriptis. Quod idem intelligas de precedentibus et de omnibus aliis similibus.

Est enim alius modus per quem possumus satis prope ad radices numerorum non quadratorum pervenire, videlicet ut multiplicemus eos per aliquem quadratum numerum et summe radicem invenias; quam per radicem quadrati dividas, et habebis propositum.

30 Volo invenire radicem de 7234; multiplicabo quidem ea per 10000, quorum radix est²⁹ 100; quia quanto per maiorem quadratum multiplico³⁰ tanto propius³¹ ad radicem numeri quesiti devenio, et cum aliquem numerum per 10000 multiplico³² quattuor tantum zephira ante ipsum addo, ut oportet. 31 Et sic pro predicta multiplicatione 72340000 habeo, quibus per

3\(\phantom{390000}\)   8\(\phantom{3}\)9\(\phantom{0000}\)   72340000   85\(\phantom{00}\) prima 16\(\phantom{000}\)

³³ alium modum radicem invenire docebo. Quia, ut dictum est, radix numeri octo figurarum est numerus quattuor figurarum; quare pone 8 sub 0 quarti gradus, cum sint radix propinquior³⁴ quam 72, scilicet numerus duarum ultimarum figurarum, habeant in integrum. 32 Et multiplica ipsa 8 in se: erunt 64, a quibus usque in 72 remanent 8, que pone super 2, et intellige copulationem earum, que est 83; et duplica 8 posita sub 0: erunt 16, ex quibus pone 6 sub 8 et 1 post ipsa. Invenias³⁵ figuram que multiplicata per 16 faciat³⁶ fere 83, sed remaneat inde numerus qui copulatus cum fuerit cum 4 sequentis gradus possis ex ipsa copulatione extrahere quadratum illius figure, scilicet multiplicationem eius in se, et non remaneat inde plus duplo radicis invente. 33 Eritque illa figura 5, qua posita sub 0 tertii gradus ante 8 multiplica 5 per 1, scilicet per ultimum gradum de 16; erunt 5, que extrahe de 8 que sunt super 2, remanent 3 super 8, quibus copulatis cum 3 sequentibus faciunt 33. De quibus tolle multiplicationem³⁷ de 5 in sex³⁸: remanebunt 3, scilicet ea que sunt in sexto gradu, quibus copulatis cum 4 sequentibus faciunt 34, de quibus abice quadratum quinarii, scilicet 25: remanent 9 super 4. 34 Et duplica etiam ipsa 5: erunt 10, de quibus

3\(\phantom{3}\)4\(\phantom{0000}\) 8\(\phantom{3}\)95\(\phantom{000}\) 72340000 8505 1700\(\phantom{0}\)

³⁹ pone 0 sub ipsis 5 et 1 adde cum 6 que sunt sub 8, et sic habebis 170 pro duplo de 85. Deinde ponendum est 0 sub 0 secundi gradus ante posita 85; quia multiplicatio secundi gradus in quintum, scilicet in 1, facit sextum gradum. 35 Quod locum non habet, cum ultima figura remanentis numeri, scilicet 9, sit tantum in quinto gradu. Quo 0 posito, duplica ipsum; faciet 0, quod pone sub ipso, scilicet ante 170, et habebis 1700 pro duplo radicis invente, in quibus multiplicanda est ponenda figura. 36 Quare pone 5 sub 0 primi gradus, et multiplica ea per 1 et extrahe de 9: remanent 4 super

3\(\phantom{3}\)44\(\phantom{000}\) 8\(\phantom{3}\)95975 72340000 8505 17010

⁴⁰ ipsa; et 5 per 7 et extrahe de 40: remanent 5 super 0 quarti gradus; et 5⁴¹ per 0 quod est sub 5 et extrahe de 50: remanent 50; et 5 per 0 quod est sub 0 in numero de 1700, et extrahe de 500: remanent 500 terminantia super secundum gradum⁴². 37 Et multiplica 5 in se, et extrahe de 5000: remanent 4975 super 5000. Et duplica 5, ea⁴³ videlicet que sunt in primo gradu radicis invente: erunt 10, de quibus pone 0 sub ipsis 5 et 1 pone post ipsum delens 0 quod est in secundo⁴⁴ loco; et sic habebis 17010⁴⁵ pro duplo radicis invente, ut in tertia patet descriptione. Et radix est 8505, et remanent 4975.

38 Que si probare volueris, pensam de 72340000 serva, que est 5 per septenarium; et pensam de 8505, que est 0, in se multiplica: provenit 0, quod adde cum pensa de 4975, que est 5: faciunt 5, ut pro pensa servasti. Quibus per ordinem gestis, divide 4975 per 17010: veniet⁴⁶ circa quarta⁴⁷, et sic pro radice de 72340000 habes \({1 \over 4}\) 8505; que divide per 100: exibunt \({1 \over 400}\) \({1 \over 20} 85\)⁴⁸ pro radice de 7234.

Et nota, cum multitudo figurarum alicuius numeri est inpar, tunc incipies inventionem radicis ipsius a radice ultime figure tantum, et in reliquis procedes ut dictum est.

39 Ostensa siquidem doctrina in reperiendis radicibus numerorum, ut que secuntur in hoc capitulo latius secundum numerum demonstrentur, diffinitiones duarum linearum ratiocinatarum, super quas decimus Euclidis liber geometrie tractat assignare disposui. Prima quidem linea dicitur riti, hoc est ratiocinata longitudine et potentia; per quam intelliguntur numeri ratiocinati, ut 1 et 2 et 3, et ceteri. 40 Qui quando sunt radices est eorum potentia⁴⁹ similiter ratiocinata, quia ex multiplicatione cuiuslibet numeri in se numerum provenire necesse est. Secunda vero dicitur riti potentia solum, per quam intelligitur radix numeri non quadrati; que radix dicitur surda cum numerari non possit, sed eius potentia numeratur.

41 Ex tredecim autem lineis inratiocinatis prima est simplex, que vocatur media; cuius potentia est inratiocinata, que vocatur superficies media, ideo quia media in proportione inter duas superficies potentia solum commensurabiles. Per hanc quidem lineam intelligitur radix radicis numeri, cuius potentia est radix numeri tantum non quadrati. 42 Sunt enim⁵⁰ omnes radices numerorum non quadratorum medie inter duos numeros dissimiles, hoc est qui non habent proportionem inter se sicut quadratus numerus ad quadratum numerum. Ut si unus numerorum fuerit 10 et alter 12, medius inter eos cadit radix de 120; quia sicut 10 est ad radicem de 120, ita radix de 120 est ad 12, cum ex multiplicatione primi in tertium surgat multiplicatio secundi in se.

43 Ex reliquis duodecim lineis sex sunt radices numerorum compositorum ex duobus nominibus et sex relique sunt radices decompositorum eorundem nominum. Numeri autem qui sunt ex duobus nominibus dividuntur in sex partes, ex quibus primum binomium est coniunctum ex numero et radice et potentia numeri superhabundat potentiam radicis secundum quantitatem alicuius quadrati numeri. Ut si primum nomen fuerit 4, secundum radix de 7; sunt enim 16 potentia de 4, que addunt 9 super 7.

44 Secundum quoque binomium est compositum ex radice et numero, et est potentia radicis addens numerum sibi similem super potentia minoris nominis, scilicet super potentiam numeri. Ut si maius nomen fuerit radix de 112, et minus nomen fuerit 7⁵¹. Nam radix de 112 potest 63 super 49; qui numerus 63 est similis de 112, cum eorum proportio sit sicut quadratus numerus 16 ad quadratum numerum 9.

45 Tertium autem binomium est coniunctum ex duabus radicibus potentia solum commensurabilibus, hoc est quod quadrati ipsarum non habent proportionem inter se sicut quadratus numerus ad quadratum numerum, et maius nomen potest plus minore secundum quantitatem numeri consimilis ipsius nominis potentia. Ut si maius nomen fuerit radix de 112, minus ex 84; ex quibus duobus nominibus 112 addunt 28 super 84, quorum proportio, scilicet de 112 ad 28, est sicut quadratus numerus ad quadratum numerum .

46 Quartum quidem binomium est ex nominibus primi, sed maius nomen, scilicet numerus, non potest numerum quadratum super minus nomen, ut 4 et radix de 10. Nam 16, scilicet quadratus de 4, addet 6, scilicet numerum non quadratum, super 10.

47 Quintum siquidem binomium est compositum ex nominibus binomii secundi, sed quadratus radicis addit numerum sibi dissimilem super quadratum numeri. Ut si primum nomen fuerit radix de 20, secundum sit 3. Nam 20 superhabundant 11 quadratum ternarii, et proportio 20 ad 11 non est sicut quadratus numerus ad quadratum numerum.

48 Sextum quidem binomium est ex nominibus tertii, sed quadratum maioris numeri potest numerum sibi dissimilem super quadratum minoris. Ut radix de 20 et radix de 8; nam 20 addunt 12 super 8, et proportio de 20 ad 12 non est sicut quadratus numerus ad quadratum numerum.

49 Primi quidem binomii radix est unum ex suprascriptis sex binomiis, quia quando aliquod binomium multiplicatur in se surgit binomium primum. Secundi quippe binomii radix est linea composita ex duabus medialibus lineis potentia solum commensurabilibus, hoc est composita⁵² ex duabus radicibus radicis in earum⁵³ potentia solum communicantes⁵⁴. Ex quibus etiam, cum una multiplicatur in aliam, provenit numerus ratiocinatus, ut radix radicis trium et radix radicis de 27. 50 Tertii quoque binomii radix est linea que dicitur bimedialis, sive ex duobus mediis secunda; per quam intelligitur coniunctum ex duabus radicibus radicis in earum potentiis tantum comunicantibus, ex quibus, cum una multiplicatur in aliam, provenit medium, scilicet radix numeri non quadrati. 51 Quarti quippe binomii radix est linea que dicitur maior, hoc est composita⁵⁵ ex duobus numeris inratiocinatis⁵⁶ potentia incommensurabilibus, quorum quadrati cum⁵⁷ insimul iunguntur faciunt numerum ratiocinatum, et ex multiplicatione unius in alium surgit radix numeri ratiocinati. Ut si prima fuerit radix de 4 et ex radice de 13, et alia fuerit radix de 4 minus radice de 13. 52 Quinti autem binomii radix est linea que dicitur riton et medium potens⁵⁸, sive potens super ratiocinatum et inratiocinatum numerum, que componitur ex duabus lineis potentia incommensurabilibus quarum quadrati insimul iuncti faciunt radicem numeri, et ex multiplicatione unius in aliam provenit numerus ratiocinatus. Ut si prima fuerit radix radicis de 20 et ex 2, et alia fuerit radix radicis⁵⁹ de 20 minus 2. 53 Sexti autem binomii radix est linea que dicitur duo media potens, sive potens super duos inratiocinatos numeros, que componitur ex duabus lineis potentia incommensurabilibus quarum quadrati insimul iuncti faciunt radicem numeri, et ex multiplicatione unius in aliam surgit similiter radix numeri non quadrati. Ut si prima fuerit radix radicis de 24 et de radice de 7, alia fiat radix radicis de 24 minus radice de 7.

54 Numeri autem qui sunt decompositi ex predictis nominibus sex binomiorum vocantur recisi seu apothami, et sunt illud per ordinem quod est inter utrumque nomen predictorum sex binomiorum, ut 4 minus radice de 7, que sunt primum recisum; et radix de 112⁶⁰ minus 7, que sunt ex secundo reciso; et radix de 112 minus radice de 84, qui sunt ex tertio reciso; et sic intellige de quarto et quinto et sexto reciso. 55 Nam radix primi recisi est unum ex sex recisis supradictis. Radix vero secundi est recisum bimedialis prime, hoc est radix radicis minus radice radicis, ex quarum multiplicatione provenit numerus ratiocinatus. Tertii autem radix est recisum bimedialis secundi, hoc est radix radicis minus radice radicis, ex quarum multiplicatione provenit numerus inratiocinatus. 56 Quarti quoque recisi radix est que constat ex residuo quod est inter duas lineas que sunt potentia incommensurabiles, ex quibus componitur linea maior. Quinti itaque recisi radix est que constat ex residuo quod est inter duas lineas potentia incommensurabiles, ex quibus componitur linea potens super ratiocinatum et inratiocinatum. 57 Sexti namque recisi radix est que constat ex residuo quod est inter duas lineas potentia incommensurabiles, ex quibus componitur linea potens super inratiocinatum et inratiocinatum. His itaque per ordinem terminatis, qualiter hec⁶¹ multiplicari inter se, addi, vel extrahi, seu dividi debeant, ordinate demonstrabo⁶².