157 De inventione duarum radicum, quarum multiplicationes faciant 41

Item 4 vices 4 faciunt 16 et 5 vices 5 faciunt 25, que insimul faciunt 41, et queritur ut invenias alias duas radices quarum quadrati faciant similiter 41.

Inveniantur quidem duo quilibet numeri quorum multiplicationes iuncte faciunt quemlibet numerum habentem radicem; sintque²³⁹ 3 et 4, quorum multiplicationes iuncte faciunt numerum habentem radicem, scilicet 25, cuius radix, videlicet 5, multiplicetur per utrasque radices propositas, scilicet per 4 et per 5: exibunt 20 et 25. 158 Deinde multiplica 20 per 20, erunt 400, et 25 per 25, erunt 625, qui²⁴⁰ insimul iuncti faciunt 1025; vel

3 4 4 5

²⁴¹ multiplica 25 per 41 et erunt similiter 1025. In quibus alias duas radices poteris reperire in sanis preter 20 et 25, que faciunt 1025; quas invenies sic: pone radices que fecerunt 25 unam sub alia, ante quas pones eas que fecerunt 41, ut hic ostenditur; et multiplicabis 3 per 4 que sunt ante ipsa 3 et que fuerunt²⁴² una ex radicibus de 25, et 4²⁴³ per 5 que sunt ante ipsa, et habebis 12 et 20, que servabis ex parte. 159 Rursus multiplicabis radices²⁴⁴ ex opposito, scilicet 3 per 5 et 4 per 4; erunt 15 et 16, que adde insimul: erunt 31; et extrahe 12 de 20: remanent 8, et sic habes pro quesitis duabus radicibus 31 et 8, quorum multiplicationes insimul iuncte, scilicet 961 et 64, faciunt 1025. Quare dividendus²⁴⁵ est uterque numerus, videlicet 31 et 8, per 5 que multiplicasti superius per positas radices, videlicet per 4 et per 5²⁴⁶: exibunt 6 et \({1 \over 5}\) et \({3 \over 5}\) 1, quorum multiplicationes si insimul addideris faciunt²⁴⁷ 41.

160 Sunt enim in²⁴⁸ 1025 alie due radices, quarum multiplicationes insimul iuncte faciunt iterum 1025, que reperiuntur ex predictis quattuor inventis numeris sic: adde 12 cum 20 et extrahe 15 de 16, et egredientur pro ipsis radicibus 32 et 1, quibus per 5 divisis reddent \({2 \over 5}\) 6 et \({1 \over 5}\), quorum quadrati faciunt iterum 41. 161 Possumus enim cum multiplicatione duorum aliorum numerorum multimode ad eadem 41 pervenire, videlicet si acceperimus alios duos numeros preter 3 et 4 quorum multiplicationes iuncte insimul faciunt alium numerum habentem radicem, ut 5 et 12, qui faciunt alium numerum habentem radicem, videlicet 169. 162 De cuius radice, videlicet de 13, facias sicut fecisti de 5: reperies \({1 \over 13}\) 3 et \({8 \over 13}\) 5, quorum multiplicationes insimul iuncte faciunt similiter 41. Nam unde hee²⁴⁹ inventiones procedunt²⁵⁰, geometrice demonstrata sunt in libello quem de quadratis composui.