177 De trigonali ciborio picto a tribus magistris

²⁷⁰ Quidam costruxit palatium, et pro tecto sui talami ciborium ex quattuor trigonis constituit, quorum unumquodque latus habebat in altitudine palmos 36, et in eorum base palmos 30; quod ciborium tribus magistris dedit ad pingendum. Quorum primus pinxit suam portionem, videlicet tertiam partem, incipiendo a puncta²⁷¹ illius ciborii, finiendo ad equidistantem lineam circiter cum base trigonorum. 178 Secundus²⁷² suam tertiam partem post primum circiter pingere studuit; tertius vero pinxit residuum. Queritur quantum unusquisque ex ascendentibus lineis trigonorum pinxerit, cum unusquisque ipsorum tantum tertiam partem ciborii pinxisse proponatur.

179 Mensuram quidem basis in hac questione nil facere scias. Mensuram vero linearum ascendentium a base usque ad punctam²⁷³ ciborii, videlicet 36, in se ipsam multiplicata erunt 1296, et radicem tertie partis ipsius²⁷⁴, videlicet de 432, subtiliter invenire studeas. Nam ipsa erit portio quam primus ex ipsis lineis a puncta²⁷⁵ inferius descendendo depinxit. 180 Similiter si de \({2 \over 3}\) de 1296, scilicet de 864, radicem subtiliter acceperis, terminum secundi magistri ab eadem puncta inferius descendendo reperies. Residuum vero pincxit tertius, ut in subiecta figura ostenditur. Unde manifestum est quod ex quacumque parte de suprascriptis 1296 radicem acceperis, dabit punctum, seu terminum tibi eiusdem partis suprascripti ciborii a puncta incipiendo et inferius veniendo, ut superius demonstravimus.

181 Sunt tres numeri, ex quibus medietas primi est tertia pars secundi et quarta pars secundi est quinta pars tertii numeri, et multiplicatis ipsis tribus numeris in unum, scilicet primum per secundum, quorum summa multiplicata per tertium, faciunt additionem eorundem. Invenias primum tres numeros quorum medietas primi sit tertia pars secundi et quarta secundi sit quinta tertii, eruntque 8 et 12 et 15. 182 Pone ergo ut primus numerus sit 8, secundus 12, tertius 15, et multiplica eos in unum, et etiam addes eos: erit eorum multiplicatio 1440, et eorum additio est 35. Vide ergo que pars sit additio dicta ex multiplicatione predicta, quia eadem pars erit tetragonus²⁷⁶ uniuscuiusque quesitorum numerorum ex tetragono sui positi numeri in se. Itaque 35 de 1440 sunt \({7 \over 288}\); quia tetragonus primi numeri quesiti est \({7 \over 288}\) ex tetragono de 8, scilicet de 64. 183 Similiter tetragonus secundi quesiti numeri est \({7 \over 288}\) ex tetragono de 12, scilicet ex 144. Item et tetragonus tertii quesiti numeri est \({7 \over 288}\) ex tetragono de 15, scilicet de 225. Unde multiplicanda sunt 7 que sunt super 288 per 64 et per 144 et per 225, et dividenda unaqueque multiplicatio per 288; et habebis pro tetragono primi numeri \({5 \over 9}\) 1, cuius radix est primus quesitus numerus, et pro tetragono secundi numeri habebis \({1 \over 2}\) 3, cuius radix est secundus numerus, et pro tetragono tertii numeri habebis \({3~~3 \over 4~~8}\) 5.

184 Et notandum quia cum numeri fuerint duo tantum, erit proportio uniuscuiusque positorum numerorum ad suum consimilem quesitorum sicut proportio multiplicationis positorum ad additionem eorundem; que proportio²⁷⁷ dicitur simplex. Et cum numeri fuerint tres, erit sicut multiplicatio trium positorum numerorum ad summam additionis eorum ita quadratus uniuscuiusque positorum ad quadratum sui consimilis quesitorum. 185 Ut in hac, in qua fuerit proportio quadratorum de 8 et 12 et 15, scilicet positorum numerorum, ad quadratos quesitorum numerorum sicut 1440 ad 35, scilicet sicut summa multiplicationis ipsorum ad summam additionis eorundem; que proportio dicitur duplicata, cum quadrati surgant ex multiplicatione duorum equalium numerorum. 186 Et cum numeri fuerint quattuor, erit sicut factus ex multiplicatione positorum ad factum ex additione eorundem ita cubus uniuscuiusque positorum ad cubum sui consimilis quesitorum; que proportio dicitur triplicata, cum cubi surgant ex multiplicatione trium equalium numerorum. Et cum numeri fuerint quinque, erit siquidem proportio positorum ad eorum consimiles quesitorum quadruplicata in his que diximus superius. Et in sex numeris cadet proportio quincuplata, et cetera.

187 Nam si cognoscere vis utrum radices inventorum tetragonorum, scilicet de \({5 \over 9}\) 1 et de \({1 \over 2}\) 3 et de \({3~~3 \over 4~~8} 5\)²⁷⁸, sint ad invicem in quesitis proportionibus, scilicet sicut 2 sunt ad 3 ita radix de \({5 \over 9} 1\) sit²⁷⁹ ad radicem de \({1 \over 2}\) 3, et sicut 4 sunt ad 5 ita radix de \({1 \over 2} 3\) sit²⁸⁰ ad radicem de \({3~~3 \over 4~~8} 5\)²⁸¹. Multiplicabis ergo \({5 \over 9}\) 1 et \({1 \over 2}\) 3 per 18, in quibus reperiuntur \({1 \over 9}\) \({1 \over 2}\), et habebis 28 et 63. 188 Et quoniam 28 sunt ad 63 sicut tetragonus²⁸² binarii ad tetragonum ternarii, hoc est sicut 4 ad 9, cognoscitur quod radix de \({5 \over 9}\) 1 est ad radicem de \({1 \over 2}\) 3 sicut 2 ad 3. Similiter invenies radicem de \({1 \over 2}\) 3 esse ad radicem de \({3~~3 \over 4~~8}\) 5 sicut 4 sunt ad 5, cum \({1 \over 2}\) 3 sint ad \({3~~3 \over 4~~8}\) 5 sicut tetragonus quaternarii ad tetragonum quinarii. 189 Item si vis cognoscere utrum multiplicatio radicum trium inventorum tetragonorum surgat in ascensione additionum ipsarum, multiplica \({5 \over 9}\) 1 per \({1 \over 2}\) 3, quam multiplicationem multiplica per \({3~~3 \over 4~~8}\) 5: erunt \({3~~7~~6 \over 4~~8~~9}\) 29, cuius numeri radix est summa multiplicationis radicum trium tetragonorum dictorum. 190 Item ut habeas iunctionem ipsarum, iunge tres numeros inventos superius in quesitis proportionibus, scilicet 8 et 12 et 15: erunt 35. Et accipe tetragonum primi numeri, scilicet 64, et tetragonum de 35, scilicet 1225, quia in qua proportione est tetragonus primi positi numeri ad tetragonum iunctionis trium positorum numerorum, ita primus inventus tetragonus est ad tetragonum iunctionis radicum trium inventorum tetragonorum; hoc est sicut 64 sunt ad 1225 ita \({5 \over 9}\) 1 est ad tetragonum summe iunctionis trium radicum suprascriptarum. 191 Quare multiplicanda sunt 1225 per \({5 \over 9}\) 1 et dividenda multiplicatio eorum per 64, et invenies similiter \({3~~7~~6 \over 4~~8~~9}\) 29 pro tetragono iunctionis trium predictarum radicum.

Possumus multas varias questiones de similibus in tribus numeris vel in pluribus proponere²⁸³ secundum quod in duorum numerorum questionibus superius fecimus, quarum omnium solutiones per ea que dicta sunt satis aperte inveniri possunt.