2 Incipit pars prima

Sint primum tres numeri proportionales \(AB\), \(BC\), \(CD\) secundum proportionem continuam, scilicet ut \(AB\) ad \(BC\) ita \(BC\) ad \(CD\), et sit coniunctum numerorum \(AB\) et \(BC\) 10 et numerus \(CD\) sit 9, et queratur disiunctio numerorum \(AB\), \(BC\).

3 Quoniam est sicut \(AB\) ad \(BC\) ita \(BC\) ad \(CD\), erit ergo sicut duo antecedentes ad unum ipsorum ita et reliqui antecedentes ad suum consequentem, hoc est sicut \(AC\) primus ad \(BC\)⁴ secundum ita \(BD\) tertius est ad \(CD\) quartum; et sunt noti primus et quartus⁵. 4 Et quia cum quattuor numeri sunt ⁶ proportionales, multiplicatio primi in quartum equatur multiplicationi secundi in tertium; est enim primus \(AC\) 10 et quartus \(CD\) est⁷ 9, quorum multiplicatio, que est 90, equatur multiplicationi \(BC\) secundi in \(BD\) tertium. Dividatur itaque numerus \(CD\), scilicet in duo equa super punctum \(E\); erit unaqueque portio eorum \({1 \over 2}\) 4. 5 Et quia \(CD\) numerus divisus est in duo equa super \(E\), et ei adiunctus est numerus \(BC\), erit multiplicatio adiuncti \(BC\) in totum \(BD\) cum quadrato numeri \(CE\) equalis quadrato numeri \(BE\). Est enim multiplicatio ex \(BC\) in \(BD\) 90 et quadratus numeri \(CE\) est \({1 \over 4}\) 20, quibus insimul iunctis faciunt \({1 \over 4}\) 110 pro quadrato numeri \(BE\), quorum radix, scilicet \({1 \over 2}\) 10, est numerus \(BE\); de quibus auferatur numerus \(CE\), scilicet \({1 \over 2}\) 4: remanebit \(BC\) numerus 6, quibus extractis ex numero \(AC\), scilicet ex 10, remanebit numerus \(AB\) 4⁸.

6 Item sit sicut numerus \(AB\) ad \(BC\)⁹ ita \(BC\) ad \(CD\); et \(AB\) sit 4, et coniunctum ex numeris \(BC\) et \(CD\)¹⁰ sit 15. Erit ergo sicut \(AB\) primus ad \(AC\) secundum ita \(BC\) tertius ad \(BD\) ¹¹ quartum. Multiplicabis siquidem primum eorum in quartum, scilicet 4 per 15: erunt 60, quibus equatur multiplicatio secundi \(AC\) in tertium \(BC\). Quare addatur super 60 multiplicatio medietatis numeri \(AB\) in se: erunt 64, ex quorum radice si auferatur medietas numeri \(AB\) remanebunt 6 pro numero \(BC\), quibus extractis ex numero \(BD\) remanebunt 9 pro numero \(CD\).

7 Rursus sit sicut \(AB\) ad \(BC\) ita \(BC\) ad \(CD\), et \(BC\) sit 6; coniunctum itaque ex numeris \(AB\) et \(CD\) sit ¹² 13. Quia multiplicatio primi in tertium¹³ equatur multiplicationi secundi in se in tribus numeris proportionalibus, ideo secundum numerum in se multiplica: erunt 36, quibus equatur multiplicatio ex \(AB\) in \(CD\). 8 Adiaceat itaque numerus \(DE\) equalis numero \(AB\); quare totus \(CE\) est 13, qui dividatur in duo equa super punctum \(F\): erit unaqueque portio earum \({1 \over 2}\) 6; et quoniam numerus \(CE\) divisus est in duo equalia super \(F\) et in duo inequalia super \(D\), erit superficies rectiangula inequalium portionum, scilicet multiplicatio \(ED\) in \(DC\), cum quadrato numeri \(DF\) equalis quadrato numeri \(EF\). 9 Quare multiplicetur \(EF\), scilicet \({1 \over 2}\) 6 in se: erunt \({1 \over 4}\) 42, de quibus auferatur multiplicatio ex \(AB\), hoc est ex \(ED\), in \(DC\), que multiplicatio est 36: remanebunt \({1 \over 4}\) 6 pro quadrato numeri \(FD\), quorum radix, scilicet \({1 \over 2}\) 2, est numerus \(FD\). Quibus additis super numerum \(CF\), erit totus \(CD\) 9; quibus extractis ex \(CE\), scilicet ex 13, remanebunt 4 pro numero \(DE\), hoc est pro numero \(AB\).

10 Item collectum ex numeris \(AB\), \(BC\), \(CD\) sit 19, et queratur quantitas uniuscuiusque. Hoc potest fieri infinitis modis, ex quibus ponam unum modum: sumantur tres numeri continue proportionales, sintque 1 et 2 et 4, quos insimul iunge: erunt 7, in quibus divide multiplicationes de 1 et 2 et 4 in 19.

11 Rursus sit sicut \(A\) ad \(BG\) ita \(BG\) ad \(ED\), et sit 2 numerus \(BC\) in quibus numerus \(BG\) superhabundet numerum \(A\), nec non et numerus \(ED\)¹⁴ sit 9. Sumatur ex numero \(ED\) numerus \(EF\)¹⁵ equalis superfluo in quo numerus \(ED\) superhabundat numerum \(BG\); erit itaque sicut numerus \(ED\) primus ad \(BG\) secundum ita \(EF\) tertius ad \(BC\) quartum¹⁶. 12 Multiplicabis ergo \(ED\) in \(BC\), qui sunt noti: erunt 18, quibus equatur multiplicatio \(BG\) in \(EF\). Est enim \(FD\) equalis numero \(BG\); ergo ex ductu¹⁷ \(EF\) in \(FD\) proveniunt¹⁸ 18, que¹⁹ auferantur ex quadrato medietatis numeri \(ED\), que medietas sit \(EZ\): remanebunt \({1 \over 4}\) 2, quorum radix est²⁰ \({1 \over 2}\) 1, que sunt quantitas numeri \(FZ\); quibus extractis ex \(ZE\), remanebunt 3 pro \(FE\); quibus 3²¹ extractis ex \(ED\), remanebunt 6 pro \(FD\), hoc est pro \(BG\); ex quibus extractis 2, scilicet \(BC\), remanebit \(CG\), hoc est \(A\), 4.

13 Sed sicut \(A\) ad \(BG\) ita \(BC\) sit ad \(EF\), et sit \(A\) 4 et \(EF\) sit 3²². Multiplicabis ergo primum numerum \(A\) notum per quartum \(EF\): erunt 12, quibus equatur multiplicatio secundi \(BG\) in tertium \(BC\); et est \(CG\), cum sit equalis \(A\) noti. 14 Quare dimidium \(CG\), scilicet 2, in se multiplica²³; erunt 4, que adde cum 12 que proveniunt ex \(BC\) in \(BG\); erunt 16, de quorum radice tolle 2, scilicet dimidium \(CG\): remanebunt 2 pro \(CB\) numero, quibus additis cum \(CG\), erunt 6 pro numero \(BG\), hoc est pro numero \(FD\)²⁴, quibus addito numero \(EF\)²⁵ habebuntur 9 pro numero \(ED\)²⁶.

15 Sit etiam numerus \(BG\) notus, qui sit 6, et numeri \(A\) et \(ED\)²⁷ sint ignoti; et sit \(EZ\) 5, in quibus numerus \(ED\) superhabundat numerum \(A\). Quoniam est sicut \(A\) ad \(BG\) ita \(BG\) ad \(ED\), erit itaque multiplicatio ex \(A\) in \(ED\) equalis quadrato numeri \(BG\), qui quadratus est 36. 16 Ergo ex ductu \(ZD\), qui est equalis \(A\), in \(DE\), provenit 36; quibus si addatur quadratus medietatis numeri \(ZE\), scilicet \({1 \over 4}\) 6, erunt \({1 \over 4}\) 42, de quorum radice, scilicet de \({1 \over 2}\) 6, tolle \({1 \over 2}\) 2, scilicet dimidium \(ZE\): remanebunt 4 pro \(ZD\), hoc est pro numero \(A\); quibus additis 5 erunt 9 pro toto numero \(ED\).

17 Et si proponeremus differentias predictas in quadratis vel in cubis trium quorumlibet numerorum continue proportionalium, evenirent utique omnia que diximus in eisdem; quia cum fuerit sicut primus numerus ad secundum ita secundus ad tertium, 18 per equale erit sicut quadratus primi ad quadratum secundi ita quadratus secundi ad quadratum tertii; nec non si coniungantur, erit proportio summe quadratorum primi et secundi ad quadratum secundi sicut proportio quadratorum secundi²⁸ et tertii ad quadratum tertii, et econverso. 19 Eritque similiter sicut quadratus primi ad quadratum secundi ita superfluum quod addit quadratus secundi super quadratum primi ad id quod addit quadratus tertii super quadratum secundi, et hec omnia accident in cubis.