223 Expliciunt introductiones algebre et almuchabale. Incipiunt questiones eiusdem

Si vis dividere 10 in duas partes que insimul multiplicate faciant quartam multiplicationis maioris partis in se, pone pro maiori parte radicem, quam appellabis rem; remanebunt pro minori parte 10 minus re, que que multiplicata in re venient 10 res minus censu, quia ex re multiplicata in 10 veniunt 10 res³¹⁵ et ex multiplicata re in se provenit census, quia cum multiplicatur radix in se provenit quadratus ipsius radicis. Ergo decem res minus censu equantur quarte parti census. 224 Quare quadruplum ipsarum equabitur censui uni; ergo multiplica 10 res minus censu per 4: venient 40 radices minus 4 censibus que equantur censui. Restaura ergo 4 census ab utraque parte; erunt 5 census qui equantur 40 radicibus. Quare divide radices 40 per 5: exibunt radices 8 quibus equatur census. Ergo portio pro qua posuisti rem est 8, quibus extractis de 10 remanent 2, que sunt alia portio. 225 Et sic perduximus hanc questionem ad unam ex sex regulis, ad eam videlicet in qua census equatur radicibus; ad quam etiam reducemus hanc, in qua divisi 10 in duas partes, ex quibus multiplicavi unam in aliam³¹⁶, et in id quod provenit divisi quadratum unius portionis, et provenit \({1 \over 2}\) 1. Pone iterum rem pro una portione; remanebunt 10 minus re, et multiplica rem in 10 minus re, venient 10 res minus censu. 226 Et multiplica rem in se; veniet census, quem divide per 10 res minus censu, quod sic fit: tu scis quia ex ipsa divisione provenit \({1 \over 2}\) 1; ergo si multiplicas exeuntem per divisorem proveniet utique divisus numerus, scilicet census. Multiplica ergo 10 res minus censu per \({1 \over 2}\) 1: exibunt 15 res minus censu et dimidio, que equantur censui. 227 Restaura ergo censum \({1 \over 2}\) 1 ab utraque parte, et erunt census \({1 \over 2}\) 2 qui equantur radicibus 15. Quare divide 15 radices per \({1 \over 2}\) 2: exibunt 6 radices que equantur censui. Quare census est 36, quorum radix, scilicet 6, est una ex duabus portionibus. Reliqua autem erit 4.

228 Item divisi 10 in duas partes et multiplicavi unam earum in se, et quod provenit multiplicavi per \({7 \over 9}\) 2, et id quod provenit fuit 100, scilicet quadratus de 10. Sic facies: pone pro ipsa portione rem, quam multiplica in se; veniet census, que multiplica per \({7 \over 9}\) 2 : venient census \({7 \over 9}\) 2, qui equantur 100. Divide ergo 100 per \({7 \over 9}\) 2: venient 36, quibus equatur census. Quare radix eorum, que est 6, est una ex duabus portionibus; et sic perducta est hec questio ad secundam regulam, in qua census equatur numero.

229 Item divisi 10 in duas partes et divisi maiorem earum per minorem, et id quod provenit fuit \({1 \over 3}\) 2. Sic facies: pone rem pro una ex suprascriptis portionibus, quare alia erit 10 minus re, et divide 10 minus re in rem. Quia ex ipsa divisione veniunt \({1 \over 3}\) 2, multiplica divisorem per \({1 \over 3}\) 2: venient res \({1 \over 3}\) 2 que equantur 10 minus re. 230 Adde ergo rem utrique parti, et erunt res \({1 \over 3}\) 3 que equantur 10. Divide ergo 10 per numerum rerum, scilicet per \({1 \over 3}\) 3: veniet quod una res equabitur tribus denariis. Quare una ex suprascriptis portionibus est³¹⁷ 3, a quibus usque in 10 sunt 7 pro alia portione. Et sic reducta est hec questio ad tertiam regulam, ubi radices equantur numero.

231 Divisi in duas partes 12 et multiplicavi unam earum per 27 et quod provenit fuit equale quadrato alterius partis. Sic facies: pone rem pro una partium; remanebunt 12 minus re pro alia, quibus multiplicatis per 27 faciunt 324³¹⁸ minus 27 rebus. Et multiplica rem in re, scilicet primam partem in se: proveniet census, qui equatur denariis 324 minus 27 rebus; quibus rebus additis utrique parti, veniet census et 27 res que equantur denariis 324. 232 Et sic reducta est hec questio ad unam ex tribus compositis regulis, ad eam videlicet in qua census et radices equantur numero. Unde ut procedas secundum ipsam regulam, multiplica \({1 \over 2}\) 13, scilicet dimidium radicum in se; erunt \({1 \over 4}\) 182, que adde cum 324; erunt \({1 \over 4}\) 506, quibus radicem invenias sic: 233 fac quartas ex eis; erunt 2025, cui numero radicem invenias, eritque 45, que divide per radicem de 4 que sunt sub virga, scilicet per 2; exibunt \({1 \over 2}\) 22, de quibus extrahe medietatem radicum: remanebunt 9 pro radice³¹⁹ census, que sunt una pars; a quibus usque in 12 desunt 3 pro secunda parte.

234 Multiplicavi 1 plus de \({2 \over 3}\) unius numeri per unum plus de \({3 \over 4}\) eiusdem, et provenerunt³²⁰ 73. Pone³²¹ pro ipso numero rem; ergo vis multiplicare \({2 \over 3}\) rei uno addito per \({3 \over 4}\) rei plus uno. Multiplica ergo \({2 \over 3}\) rei per \({3 \over 4}\) rei: proveniet medietas census, et multiplica unum per unum: faciet 1, et unum in \({3 \over 4}\) rei et unum in \({2 \over 3}\) rei: veniet res et \({5 \over 12}\) rei. Et sic ex eorum multiplicatione habebitur medietas census et res \({5 \over 12}\) 1 et denarius unus, que equantur denariis 73. 235 Abice ergo denarium unum ab utraque parte: remanebit medietas census et res \({5 \over 12}\) 1 que equantur denariis 72. Reintegra³²² itaque censum tuum, et habebis censum et res \({5 \over 6}\) 2 que equantur 144. Quare dimidia radices; exibunt \({17 \over 12}\), quas multiplica in se; venient \({1 \over 144}\) 2, que adde cum 144: erunt \({1 \over 144}\) 146, 236 quibus radicem invenies ordine demonstrato, scilicet multiplica 146 per 144 et adde unum: erunt centesime quadragesime quarte 21025, cuius numeri radicem divide per 12, scilicet per radicem de 144 que sunt sub virga, et habebis \({1 \over 12}\) 12 pro radice quesita; de qua extrahe medietatem radicum, scilicet \({5 \over 12}\) 1: remanebunt \({2 \over 3}\) 10 pro numero quesito, super \({2 \over 3}\) quorum si addatur 1 venient \({1 \over 9} 8\)³²³, etiam et addito uno super \({3 \over 4}\) ipsorum venient 9, et ex \({1 \over 9} 8\)³²⁴ multiplicatis in 9 surgunt 73, ut propositum fuit.

237 Divisi decem in duas partes et addidi³²⁵ insimul quadratos ipsorum, et provenerunt \({1 \over 2}\) 62. Pone³²⁶ itaque rem pro prima parte, et multiplica eam in se: veniet census. Similiter multiplica secundam partem in se, que est 10 minus re; quam multiplicationem facies sic: ex 10 in 10 veniunt 100, et ex re diminuta in rem diminutam provenit census additus, et ex 10 multiplicatis bis in rem diminutam proveniunt 20 res diminute; et sic pro multiplicatione de 10 minus re in se habentur 100 et census, 20 rebus diminutis. 238 Que si addantur cum quadrato prime partis, scilicet cum censu, erunt 100 et duo census minus viginti rebus, que equantur denariis \({1 \over 2}\) 62. Adde ergo viginti res utrique parti: erunt 100 et duo census que equantur 20 rebus et denariis \({1 \over 2}\) 62. Abice igitur \({1 \over 2}\) 62 ab utraque parte: remanebunt duo census et denarii \({1 \over 2}\) 37 que equantur 20 radicibus. Et sic perducta est³²⁷ hec questio ad tertiam regulam compositarum, ubi census et numerus radicibus equantur. 239 Quare ut ipsam³²⁸ imiteris regulam, divide numerum et radices per numerum censuum, scilicet per 2, hoc est³²⁹ dimidia ea, et veniet quod census et denarii \({3 \over 4}\) 18 equantur radicibus 10. Dimidia ergo radices; venient 5, que multiplica in se; erunt 25, de quibus extrahe \({3 \over 4}\) 18; remanent \({1 \over 4}\) 6, quorum radicem³³⁰, scilicet \({1 \over 2}\) 2, extrahe de medietate radicum, scilicet de 5: remanebunt \({1 \over 2}\) 2, que sunt una predictarum partium; a quibus usque in 10 desunt \({1 \over 2}\) 7, que sunt secunda pars.

240 Et si extracto quadrato minoris partis de quadrato maioris remaneant 50, sic³³¹ facies: quadratum unius partis, scilicet censum, de quadrato alterius extrahe, scilicet de 100 et censu viginti rebus diminutis; remanebunt 100 diminutis 20 rebus que equantur 50. Quare adde utrique parti 20 res et tolle de unaquaque 50, et³³² remanebunt viginti res que equantur 50; quare divide 50 per 20: veniunt \({1 \over 2}\) 2 pro minori portione.

241 Multiplicavi siquidem tertiam unius numeri per quartam eius, et provenit ex multiplicatione idem numerus et denarii 24. Pone³³³ pro ipso numero rem et multiplica \({1 \over 3}\) rei per quartam eius: veniet \({1 \over 12}\) census que equatur rei et denariis 24. Reintegra ergo censum, scilicet multiplica hec omnia per 12, et veniet census qui equatur duodecim rebus et denariis 288. 242 Multiplica ergo 6 que sunt dimidium radicum in se; erunt 36, que adde cum 288; erunt 324, super quorum radicem adde dimidium radicum: erunt 24, que sunt radix census. Ergo quesitus numerus est 24, et sic reducta est hec questio ad secundam ex tribus regulis compositis, ubi census equatur radicibus et numero.

243 Divisi 10 in duas partes et divisi illam per istam et istam per illam et provenerunt \({1 \over 3}\) 3. In hac questione oportet quedam predicere, etiam et demostrationibus demonstrare. Sit itaque prima illarum partium \(A\) et secunda \(B\), et dividatur \(B\) in \(A\) et proveniat \(D\), et \(A\) in \(B\) et proveniat \(G\). Coniunctum ergo ex \(G\), \(D\) est \({1 \over 3}\) 3. 244 Et quia cum dividitur \(A\) in \(B\) provenit \(G\), ³³⁴ ergo si multiplicatur \(G\) in \(B\) provenit \(A\); quod si multiplicetur in \(A\) venit³³⁵ quadratus numeri \(A\). Et cum dividitur \(B\) in \(A\), provenit \(D\); ergo si multiplicetur \(D\) in \(A\) provenit \(B\)³³⁶; quod si multiplicetur in \(B\) provenit quadratus numeri \(B\). Ergo ex \(A\) in \(D\) ducta in \(B\) et ex \(B\) in \(G\) ducta in \(A\), hoc est ex \(A\) in \(B\) ducto in coniunctum ex numeris \(G\), \(D\), scilicet in \({1 \over 3}\) 3, provenit summa quadratorum ex numeris \(A\), \(B\). 245 Quibus demostratis, sit prima pars \(A\) res, remanebit pro \(B\) 10 minus re; et multiplicetur \(A\) in se: provenit census, et \(B\) in se: provenient 100 et census diminutis viginti radicibus. Quibus omnibus in unum iunctis, erunt 100 et duo census minus 20 radicibus pro duobus quadratis numerorum \(A\), \(B\), que equantur multiplicationi ex \(A\) in \(B\) ducte³³⁷ in \({1 \over 3}\) 3. 246 Quare multiplicetur \(A\) in \(B\), scilicet res in 10 minus re; erunt 10 res minus censu, que multiplica per \({1 \over 3}\) 3: erunt res \({1 \over 3}\) 33 minus censibus \({1 \over 3}\) 3 que equantur 100 denariis et duobus censibus viginti rebus diminutis. Adde ergo utrique parti 20 res et census \({1 \over 3}\) 3 et habebis 100 et census \({1 \over 3}\) 5 que equantur rebus \({1 \over 3}\) 53. 247 Que omnia divide per numerum censuum, scilicet per \({1 \over 3}\) 5, et veniet census et denarii \({3 \over 4}\) 18 que equantur radicibus 10. Dimidia ergo radices et multiplica eas in se; erunt 25, ex quibus extrahe \({3 \over 4}\) 18: remanebunt \({1 \over 4}\) 6, quorum radicem adde super medietatem radicum et habebis \({1 \over 2}\) 7 pro maiori portione, quare minor portio erit \({1 \over 2}\) 2.

248 Rursus divisi 10 in duas partes et multiplicavi unam earum per 6 et quod provenit divisi per aliam partem, et tertiam eius quod provenit addidi super summam multiplicationis prime partis in 6, et totum id quod concretum est fuit 39. Pone siquidem pro prima parte rem et ipsam multiplica per 6 et provenient 6 res, quas debes dividere per secundam partem, scilicet per 10 minus re, et eius quod provenit tertiam partem debes addere super 6 res ut habueras³³⁸ 39. 249 Quare accipe tertiam 6 rerum; erit due res, que divide³³⁹ per 10 minus re: veniet illud quod debet addi super 6 res ut veniant 39. Ergo id quod provenit ex divisione duarum rerum in 10 minus re est 39 exceptis 6 rebus. Quare si multiplicas divisorem per exeuntem proveniet utique divisus numerus, scilicet due res. 250 Multiplica ergo 10 minus re in 39 minus 6 rebus, et provenient denarii 390 et 6 census diminutis 99 rebus, que equantur duabus rebus. Adde ergo 99 res utrique parti: erunt sex census et denarii 390 que equantur rebus 101. Divide hec omnia per numerum censuum, scilicet per 6: veniet quod census et³⁴⁰ denarii 65 equantur rebus \({5 \over 6}\) 16. 251 Quare de quadrato medietatis radicum abice 65 et eius quod remanserit radicem accipe, que erit \({5 \over 12}\) 2, quam abice de numero medietatis radicum, scilicet de \({5 \over 12}\) 8: remanebunt 6, que sunt radix census. Quare radix ipsius census, scilicet 6, est una ex duabus portionibus; que si per 6 multiplicata fuerit venient 36³⁴¹, quibus divisis per secundam partem venient 9, quorum tertia si addatur super 36, nimirum 39 provenient, ut propositum fuit.

252 Divisi 60 in homines et provenit unicuique aliquid; et addidi duos homines super illos et per omnes ipsos divisi 60 et provenit unicuique denarii \({1 \over 2}\) 2 minus ex eo quod provenerat prius. Sit numerus primorum hominum linea \(AB\), et erigatur super ipsam secundum rectum angulum linea \(BG\), que sit illud quod contingit unicuique illorum de prescriptis denariis 60; et protrahe lineam \(GD\) equalem et equidistantem linee \(BA\), et copuletur recta \(DA\). 253 Erit ergo spatium quadrilateri \(ABGD\) 60, cum colligatur ex \(AB\) in \(BG\). Deinde lineam \(AB\) protrahe in punctum \(E\), et sit \(BE\) 2, scilicet numerus hominum additorum; et signetur in linea³⁴² \(BG\) punctus \(F\), et sit \(GF\) \({1 \over 2}\) 2, scilicet illud quod diminutum fuit unicuique per additionem duorum hominum³⁴³. 254 Et per punctum \(F\) protrahatur linea \(HI\) equalis et equidistans linee \(EA\), et copuletur recta \(EH\); eritque quadrilaterum \(HEAI\) 60, cum colligatur ex \(AE\) in \(EH\), scilicet ex \(AE\) in \(BF\), que \(BF\) est³⁴⁴ id quod provenit unicuique ex denariis 60 in homines \(AE\). Ergo superficies \(EI\) equatur superficiei \(BD\); ergo multiplicatio \(GB\) in \(BA\) equatur multiplicationi \(EA\) in \(FB\); quare ipse quattuor linee proportionales sunt. 255 Est ergo sicut \(GB\) prima ad \(FB\) secundam ita \(EA\) tertia ad \(BA\) quartam, quare si dividatur erit sicut \(GF\) ad \(FB\) ita \(EB\) ad \(BA\), et cum permutaveris erit sicut \(GF\) ad \(EB\) ita \(FB\) ad \(BA\). Sed proportio \(GF\) ad \(EB\) est sicut 5 ad 4; ergo et \(FB\) ad \(BA\) est sicut 5 ad 4; ergo \(FB\) continet semel et quartam numerum \(BA\)³⁴⁵.

256 Pone igitur pro numero \(AB\) rem. Erit ergo \(BF\) res \({1 \over 4}\) 1; et multiplica \(AB\) in \(BF\), et proveniet census \({1 \over 4}\) 1 pro superficie \(BI\); et multiplica \(AB\) in \(FG\), scilicet \(IF\) in \(FG\): provenient res \({1 \over 2}\) 2 pro superficie \(FD\). Ergo tota superficies \(BD\) est census \({1 \over 4}\) 1 et res \({1 \over 2}\) 2. Sed ipsa est 60; ergo census \({1 \over 4}\) 1 et res \({1 \over 2}\) 2 equantur denariis 60. 257 Divide ergo hec omnia per numerum censuum, scilicet per \({1 \over 4}\) 1: veniet census et radices 2 que equantur denariis 48. Adde ergo quadratum medietatis radicum, scilicet 1, super 48; erunt 49, de quorum radice abice medietatem radicum: remanebunt 6 pro numero \(AB\). Quare \(BG\) est 10 et \(AE\) est 8.

258 Aliter³⁴⁶: quia superficies \(GA\) et \(AH\) sibi invicem equantur cum quelibet ipsarum sit 60, si comuniter auferatur rectiangula superficies \(AF\) remanebit superficies \(DF\) equalis superficiei \(EF\). Equales ergo superficies et equiangule circa equales angulos sunt³⁴⁷ mutue proportionis. Unde est sicut \(GF\) ad \(FH\) ita \(FB\) ad \(FI\), hoc est ad \(BA\); sed \(GF\) ad \(FH\) est sicut 5 ad 4, ergo et \(FB\) ad \(BA\) est sicut 5 ad 4, ut superius inventum est.

259 Item divisi 20 in homines et provenit aliquid; et addidi tres homines et inter omnes divisi 30, et accidit unicuique 4³⁴⁸ minus eo quod evenerat prius. Sit itaque linea \(AB\) numerus primorum hominum et \(BG\) sit id quod accidit unicuique ex 20, quare superficies \(BD\) rectiangula est 20; et protrahatur \(AB\) in \(E\) et sit \(BE\) 3, nec non et ex linea \(BG\) extrahatur \(GF\) que sit 4, et per punctum \(F\) protrahatur linea \(IH\) equidistans et equalis linee \(AE\), et copuletur \(HE\), et erit 30 superficies \(EI\); quare superficies \(IE\) addit 10 super³⁴⁹ superficiem \(BD\). 260 Quare applicetur linee \(ID\) superficies \(DK\), que sit 10, et protrahatur linea \(EA\) in \(Z\), et sit \(AZ\) equalis \(IK\), et compleatur³⁵⁰ copuletur linea \(LZ\). Et quoniam superficies \(BD\) est 20 et superficies \(IL\) est 10, erunt utique ambe superficies \(BD\) et \(IL\) equales superficiei \(IE\). Comuniter addatur superficies \(AK\); erit tota superficies \(EK\) equalis toti superficiei \(BL\). 261 Et quia superficies \(DK\) est 10 et est ³⁵¹ applicata linee \(DI\), que est 4 cum sit equalis linee \(GF\), si dividatur 10 per 4 venient \({1 \over 2}\) 2 pro linea \(IK\), hoc est pro linea \(AZ\). Et quia superficies \(BL\) provenit ex \(GB\) in \(BZ\) et superficies \(EK\) provenit ex \(HE\) in \(EZ\), ergo equalis est multiplicatio \(GB\) in \(BZ\) multiplicationi \(HE\), hoc est \(FB\), in \(EZ\). 262 Erit ergo sicut \(GB\) ad \(FB\) ita \(EZ\) ad \(BZ\), et cum diviseris erit sicut \(GF\) ad \(FB\) ita \(EB\) ad \(BZ\), et cum permutaveris erit sicut \(GF\) ad \(EB\), hoc est sicut 4 ad 3, ita \(FB\) ad \(BZ\). His itaque intellectis, pone numerum primorum hominum, scilicet \(BA\), esse rem, quare tota \(BZ\) erit res et denarii \({1 \over 2}\) 2; et quia est sicut 3 ad 4 ita \(ZB\) ad \(BF\), multiplica³⁵² ergo \(BZ\) per 4 et divides per 3: exibunt pro linea \(BF\) res \({1 \over 3}\) 1 et denarii \({1 \over 3}\) 3. 263 Quibus si addatur \(FG\), que est 4, erit tota linea \(BG\) res \({1 \over 3}\) 1 et denarii \({1 \over 3}\) 7. Et quia ex \(AB\) in \(BG\) proveniunt 20 et ex \(AB\) in \(BG\) provenit census \({1 \over 3}\) 1 et res \({1 \over 3}\) 7, ergo census \({1 \over 3}\) 1 et res \({1 \over 3} 7\) equantur denariis 20. Divide igitur hec omnia per numerum censuum, scilicet per \({1 \over 3}\) 1, et invenies quod census et radices \({1 \over 2} 5\) equantur denariis 15. Procede ergo secundum regulam eius et invenies radicem census, scilicet \(AB\), esse 2; quare \(BG\) est 10.

264 Potest etiam proportio \(FB\) ad \(AB\) promptius inveniri. Ponam iterum lineam \(AB\) rem, cui est equalis linea \(IF\); ergo \(IF\) est res. Multiplicabo siquidem \(IF\) in \(FG\), scilicet rem in 4, et venient 4 res pro superficie \(FD\), cui addam superficiem \(EI\), que est 30. Erunt itaque due superficies \(IE\) et \(FD\) 30 et 4 res, de quibus auferam superficiem \(BD\)³⁵³, que est 20. 265 Ergo pro superficie \(EF\) remanebunt 10 et 4 res; que superficies fit ex \(EB\) in \(BF\)³⁵⁴. Quare si dividatur 10 et 4 res per \(EB\), scilicet per 3, venient \({1 \over 3}\) 3 et res \({1 \over 3}\) 1 pro linea \(BF\), ut per alium modum invenimus.

266 Item divisi 20 in homines et accidit unicuique aliquid, et addidi duos ³⁵⁵ homines et in omnes divisi 60 et accidit unicuique denarii 5 plus eo quod acciderat antea. Ponam itaque \(AB\) numerum primorum hominum, et \(BC\) sit id quod contingit unicuique eorum ex denariis 20; et superaddam ei lineam \(CD\), que sit 5; et linee \(AB\) addam lineam \(BG\), que sit³⁵⁶ 2; 267 et explebo quadrilaterum equiangulum \(EG\) que constat sub rectis \(FG\), \(GA\), et est \(AG\) numerus omnium hominum et \(FG\)³⁵⁷ est³⁵⁸ id quod contingit unicuique ex 60, cum sit equalis linee \(DB\). Ergo superficies \(GE\) est 60 et superficies \(BI\) est 20. 268 Ponam ergo pro \(AB\) rem; erit ergo et \(IC\) res. Et multiplicabo \(IC\) per \(CD\), veniunt 5 res, que addam super superficiem \(BI\) que est 20; veniunt³⁵⁹ in summa 20 et 5 res pro superficie \(BE\), que extraham ex superficie \(GE\), scilicet de 60: remanebunt 40 minus 5³⁶⁰ rebus pro superficie \(GD\). 269 De qua etiam auferam superficiem \(HD\), que est 10, cum proveniat ex \(HC\) in \(CD\)³⁶¹, scilicet ex 2 in 5: remanebunt 30 minus 5 rebus pro superficie \(GC\). Si dividatur per \(GB\), scilicet per 2, venient 15 minus rebus \({1 \over 2}\) 2 pro linea \(BC\), et est id quod provenit unicuique primorum hominum. Quare multiplica eos in \(BA\)³⁶², scilicet rem in 15³⁶³ minus rebus \({1 \over 2}\) 2: venient 15 res diminutis censibus \({1 \over 2}\) 2, que equantur 20. 270 Restaura ergo census \({1 \over 2}\) 2: erunt census \({1 \over 2}\) 2 et 20 que equantur 15 rebus. Divide ergo hec omnia per numerum censuum, scilicet per \({1 \over 2}\) 2: veniet quod census et denarii 8 equantur 6 rebus. Quare ex quadrato medietatis radicum, scilicet ex 9, extrahe 8: remanebit 1, cuius radicem, scilicet 1, extrahe de 3, scilicet medietatem radicum, vel adde eam super 3, et habebis pro numero primorum hominum 2 vel 4.

271 Item divisi 60 in homines et unicuique provenit aliquid. Et addidi tres ³⁶⁴ homines et inter omnes divisi 20 et accidit³⁶⁵ unicuique 26 minus quam acciderat prius. Sit itaque 60 superficies \(ABCD\) rectiangula, et superficies \(EFCH\) sit 20, et \(AI\) sit 26, et \(BF\) sit numerus additorum hominum, scilicet 3, et \(BC\) sit numerus primorum. 272 Quare \(BA\) erit id quod provenit unicuique eorum ex 60, et \(BI\), scilicet \(EF\), est id quod provenit unicuique hominum \(FC\) ex 20, et sit \(CB\), scilicet \(HI\), res. Et multiplicabo \(HI\) in \(IA\): provenient res 26 pro superficie \(ID\), cui addam 20, scilicet superficiem \(FH\), et erunt due superficies \(FH\) et \(ID\) 26 res et denarii 20; quibus duabus superficiebus equantur superficies due, que sunt \(FI\) et \(BD\). 273 Ergo superficies \(FI\) et \(BD\) sunt res 26 et denarii 20, de quibus si auferatur superficies \(DB\), que est 60, remanebunt res 26 minus denariis 40 pro superficie \(FI\); que si dividantur per \(FB\), scilicet per 3, venient res \({2 \over 3}\) 8 minus denariis \({1 \over 3}\) 13 pro linea \(BI\). Quibus si addatur linea \(IA\), scilicet 26, erit tota linea \(BA\) res \({2 \over 3}\) 8 et denarii \({2 \over 3}\) 12. 274 Multiplicabo ergo \(CB\) in \(BA\), hoc est rem in res \({2 \over 3}\) 8 et in denarios \({2 \over 3}\) 12: provenient census \({2 \over 3}\) 8 et res \({2 \over 3}\) 12 pro superficie \(BD\). Que superficies est 60; ergo census \({2 \over 3}\) 8 et res \({2 \over 3}\) 12 equantur denariis 60. Redige ergo hec omnia ad censum unum, scilicet divide ea per numerum censuum, scilicet per \({2 \over 3}\) 8, et veniet unus census et res una et \({6 \over 13}\) rei que equantur denariis \({12 \over 13}\) 6. 275 Accipe ergo dimidium de re \({6 \over 13}\) 1, quod est \({19 \over 26}\), et multiplica illud in se: venient \({361 \over 676}\), quas adde cum \({12 \over 13}\) 6; erunt \({5041 \over 676}\), quibus invenies radicem sic: accipe radicem de 5041, que est 71, et divide eam per radicem de 676, scilicet per 26; exibunt \({19 \over 26}\) 2, de quibus abice medietatem radicum, scilicet \({19 \over 26}\): remanebunt 2, que equantur rei; ergo homines \(CB\) fuerunt 2.

276 Item divisi 10 in homines et provenit unicuique aliquid, et addidi 6 homines et divisi in omnes 40 et provenit unicuique illud quod evenerat prius. Extrahe 10 de 40: remanent 30, que sunt portio 6 hominum additorum. Quare divide 30 per 6; venient 5 unicuique, in quibus etiam 5 dividit 10, scilicet portionem primorum hominum: venient 2, et tot homines fuerunt priores.

277 Divisi decem in duas partes et multiplicavi unam earum in se et provenit triguplum duplum³⁶⁶ alterius partis. Ergo quadratus unius partis equatur multiplicationi secunde partis in 32. Unde non oportet super hanc questionem aliquid dicere, cum superius super regulam huic consimilem demonstravi; est enim prima pars³⁶⁷ 8, secunda 2.

278 Emi nescio quot res pro denariis 36, et fuit³⁶⁸ pretium uniuscuiusque equale; et pro aliis denariis 36 emi res³⁶⁹ cariores sibi invicem equalis pretii, et fuit pretium uniuscuiusque carioris denarii 3 plus pretio aliarum, et inter omnes res fuerunt 10. Sit itaque linea \(AB\) numerus primarum rerum et \(AG\) sit secundarum; est ergo tota \(GB\) 10, super quam secundum rectum angulum erigatur linea \(AC\), que sit equalis pretio uniuscuiusque vilium rerum; et addatur³⁷⁰ super lineam \(AC\) linea \(CD\), que sit 3. 279 Erit ergo tota \(AD\) equalis pretio uniuscuiusque ³⁷¹ cariorum rerum, et protrahatur per punctum \(D\) linea \(EF\) que sit equalis et equidistans linee \(GB\), et copulentur³⁷² recte \(EG\), \(FB\), et per punctum \(C\) protrahatur linea \(CH\). Et quia linea \(AC\) est pretium uniuscuiusque rei vilioris, erit multiplicatio \(CA\) in numerum multitudinis ipsarum rerum, scilicet in \(AB\), 36. 280 Sed ex \(CA\) in \(AB\) provenit superficies \(AH\); ergo superficies \(AH\) est 36. Similiter et superficies \(DG\) est 36, que provenit ex \(DA\) in \(AG\), scilicet ex pretio uniuscuiusque carioris rei in numerum multitudinis ipsarum. Ergo due superficies \(DG\) et \(AH\) sunt 72, scilicet duplum de 36; ergo tota superficies \(GF\) est 72, et superhabundet ex ea superficies \(CF\). 281 Quibus omnibus intellectis, ponam lineam \(AB\)³⁷³ rem³⁷⁴ et multiplicetur \(HC\) in \(CD\), scilicet res in 3: provenient 3 res pro superficie \(CF\); ergo tota superficies \(GF\) est 72 additis tribus rebus. Et quia ipsa superficies provenit ex \(BG\)³⁷⁵ in \(GE\), hoc est ex \(BG\) in \(AD\), et est \(BG\) 10, in quibus ergo si dividantur 72 et 3 res, provenient \({1 \over 5}\) 7 et \({3 \over 10}\) rei pro linea \(AD\), de qua si auferatur linea \(DC\), que est 3, remanebunt pro linea \(AC\) \({1 \over 5}\) 4 et \({3 \over 10}\) rei. 282 Et quia ex \(BA\) in \(AC\) provenit 36, multiplica \(BA\) in \(AC\), scilicet rem in \({1 \over 5}\) 4 et in \({3 \over 10}\) rei: provenient ex³⁷⁶ multiplicatione res \({1 \over 5}\) 4 et \({3 \over 10}\) census, que equantur denariis 36. Reintegra ergo censum tuum, scilicet multiplica omnia suprascripta per 10 et divide ipsas multiplicationes per 3 que sunt super 10, et proveniet census et radices 14 que equantur 120, super que adde quadratum medietatis radicum, scilicet 49; erunt 169, 283 de quorum radice, que est 13, abice 7: remanebunt 6 pro radice tui census, que radix est linea \(BA\). Ergo \(BA\) est 6, in qua si diviseris 36, venient 6 pro linea \(AC\); quibus si addatur \(CD\), erit tota \(AD\) 9; et si extrahatur \(AB\) ex 10, remanebunt 4 pro numero cariorum rerum, qui numerus est linea \(AG\).

284 Divisi 12 in duas partes et multiplicavi unam per aliam, et quod provenit divisi per differentiam ipsarum partium et provenit \({1 \over 2}\) 4. Pone pro minori parte rem, et multiplica eam per aliam, scilicet per 12 minus re: provenient 12 res censu³⁷⁷ diminuto, que divide per differentiam que est inter portiones, scilicet inter rem et 12 minus re, que est 12 duabus rebus diminutis. 285 Et quia scis³⁷⁸ ex ipsa divisione evenire \({1 \over 2}\) 4, multiplica \({1 \over 2}\) 4 in 12 minus duabus rebus: venient 54 rebus 9 diminutis, que equantur 12 rebus minus censu. Restaura ergo in utraque parte censum et 9 res, et veniet census et 54 que equantur radicibus 21. Quare ex quadrato medietatis radicum, scilicet ex \({1 \over 4}\) 110, extrahe 54; remanent³⁷⁹ \({1 \over 4}\) 56 , quorum radix, que est \({1 \over 2}\) 7, extrahenda est ex medietate radicum, scilicet de \({1 \over 2}\) 10: remanent 3 pro posita re, scilicet pro minori parte; quare maior pars est 9.

286 Rursus divisi 10 in duas partes et divisi maiorem partem per minorem, et quod provenit addidi super 10 et multiplicavi hoc totum per 10, et provenit 115. Ex multiplicatione quidem de 10 in 10 proveniunt 100, quibus extractis de 115 remanent 15, que divide per 10: evenit \({1 \over 2}\) 1, quod est id quod provenit ex divisione maioris partis per minorem. 287 Quo intellecto, pone pro minori parte rem et divide per eam reliquam partem, scilicet 10 minus re; hoc est multiplica rem per \({1 \over 2}\) 1, et veniet res \({1 \over 2}\) 1, que equantur 10 minus re. Restaura ergo rem, et habebis res \({1 \over 2}\) 2 que equantur³⁸⁰ 10. Divide ergo 10 per \({1 \over 2}\) 2: exibunt 4 pro minori parte, quare maior est 6.

288 Item divisi 10 in duas partes et divisi maiorem per minorem et quod provenit addidi super 10, et postea divisi minorem per maiorem et quod provenit addidi iterum super³⁸¹ 10, et multiplicavi ³⁸² factum ex prima iunctione per factum ex secunda et provenit \({2 \over 3}\) 122. Sit itaque \(AB\) 10, quibus addatur \(BG\), scilicet id quod provenit ex divisione maioris partis per minorem; et sit iterum \(DE\) 10, cui addatur \(EZ\), scilicet id³⁸³ quod provenit ex divisione minoris partis per maiorem. 289 Et quia ex \(AG\) in \(DZ\)³⁸⁴ proveniunt \({2 \over 3}\) 122, si auferatur ex his 100 que proveniunt ex \(AB\) in \(DE\), remanebunt \({2 \over 3}\) 22 pro tribus multiplicationibus, que sunt \(BG\) in \(DE\) et \(BG\) in \(EZ\) et \(EZ\) in \(AB\). De quibus si auferatur multiplicatio \(BG\) in \(EZ\), quod est 1, remanebunt \({2 \over 3}\) 21 pro duabus multiplicationibus, que sunt \(BG\) in \(DE\) et \(EZ\) in \(AB\), que equantur multiplicationi summe numerorum \(BG\), \(EZ\) in 10. 290 Quare divide \({2 \over 3}\) 21 per 10: exibunt \({1 \over 6}\) 2, que sunt summa numerorum \(BG\) et \(EZ\). Et sic reducta est hec questio ad unam ex antecedentibus questionibus, in qua dicitur: divisi 10 in duas partes, et divisi istam per illam et illam per istam et que provenerunt ex divisionibus aggregavi et illud fuit \({1 \over 6}\) 2. 291 Operare ergo secundum illam regulam, et invenies illas partes esse 4 et 6. Et scias quia quotiens habueris duos numeros et diviseris maiorem per minorem et minorem per maiorem et multiplicaveris id quod provenit ex una divisione in id quod provenit ex alia, semper ex eorum multiplicatione procreabitur 1, et ideo dixi 1 evenire ex \(BG\) in \(EZ\)³⁸⁵.

292 Item addatur divisio maioris partis per minorem super 10 et divisio minoris partis per³⁸⁶ maiorem tollatur de 10, et que provenerint³⁸⁷ multiplicentur, et ex ipsa multiplicatione proveniat \({1 \over 3}\) 107. Sit itaque numerus \(AB\) id quod provenit ex divisione maioris portionis per³⁸⁸ minorem, et \(BD\) sit id quod provenit ex divisione minoris per maiorem. 293 Et multiplica 10 per 10: proveniunt 100. ³⁸⁹ Et multiplica \(AB\) additum in \(DB\) diminutum: proveniet 1 diminutum, quo extracto de 100 remanent 99, quibus extractis de \({1 \over 3}\) 107 remanent \({1 \over 3}\) 8 que proveniunt ex multiplicatione \(AB\) in 10, extracta inde multiplicatione \(DB\) diminuti in 10. Ergo \({1 \over 3}\) 8 proveniunt ex 10 multiplicatis in superfluum quod est inter \(BD\) et numerum \(AB\); quod superfluum est \(AD\). Dividantur ergo \({1 \over 3}\) 8 per 10: provenient \({5 \over 6}\) unius pro numero \(AD\). 294 Dividatur ergo \(AD\) in duo equa super \(E\); erit ergo multiplicatio \(DB\) in \(AB\) cum quadrato numeri \(ED\) equalis quadrato numeri \(EB\). Provenit enim 1³⁹⁰ ex \(BD\) in \(AB\), cui si addatur quadratus numeri \(ED\), scilicet de \({5 \over 12}\), erunt \({169 \over 144}\), quorum radix, scilicet \({13 \over 12}\), est numerus \(BE\). Cui si addatur \(EA\) habebitur \({1 \over 2}\) 1 pro numero \(AB\), et si auferatur \(ED\) ex \(EB\), scilicet \({5 \over 12}\) de \({13 \over 12}\), remanent \({2 \over 3}\) pro numero \(BD\). Deinde pone rem pro maiori parte et divide eam per reliquam partem, scilicet per 10 minus re: proveniet \({1 \over 2}\) 1. 295 Quare si multiplicas \({1 \over 2}\) 1 per 10 minus re habebis 15³⁹¹ et rem \({1 \over 2}\) 1 diminutam³⁹², que equantur rei; quare res \({1 \over 2}\) 2 equantur 15. Divide ergo 15 per \({1 \over 2}\) 2: provenient 6, que sunt maior pars. Aliter: quia ex divisione maioris partis in minorem provenit \({1 \over 2}\) 1, ergo minor pars est in maiori semel et semis. Et est etiam illa minor pars in se semel; ergo est in 10 bis et semis. Quare si diviseris 10 per \({1 \over 2}\) 2, provenient 4 pro minori parte.

296 Et si proponatur quod super maiorem portionem ponatur predictus numerus \(AB\) et super minorem ponatur predictus numerus \(DB\), et multiplicentur insimul, et veniunt 35; multiplicetur quidem \(AB\) in \(BD\): proveniet 1, quo extracto de 35 remanent 34, et multiplicetur \(AB\) in minorem partem et proveniet maior pars, et multiplicetur \(BD\) in maiorem partem et veniet pars minor. 297 Ergo ex his duabus multiplicationibus proveniunt 10, quibus extractis de 34 remanet 24 pro multiplicatione unius partis earum in aliam, que extrahes ex quadrato medietatis de 10: remanet 1, cuius radix, scilicet 1, tolle de 5 et adde super 5, et habebis 4 et 6 pro quesitis partibus.

298 Rursus divisi 10 in duas partes et divisi illam per istam et istam per illam, et que ex divisione provenerunt addidi super 10, et in id quod provenit multiplicavi alteram ³⁹³ partium et provenerunt 114. Sit itaque \(A\) una ex predictis partibus, quam pone rem, et \(BG\) sit 10, super que addantur numeri \(GD\) et \(DE\), qui proveniant ex divisione partium inter se. 299 Et quia ex \(A\) in \(BE\) proveniunt 114, ergo ex \(A\) in \(BG\) et in \(GD\) et in \(DE\) provenient in summa similiter 114; quare si auferatur inde id quod provenit ex \(A\) in \(BG\), scilicet multiplicatio rei in 10, remanebunt 114 minus 10 rebus pro multiplicatione numeri \(A\) in \(GE\). De qua si extraxeris multiplicationem ex \(A\) in \(GD\), scilicet in id quod provenit ex divisione alterius partis per \(A\), ex qua multiplicatione surgit pars divisa, que est 10 minus re, remanebunt 104 minus 9 rebus pro multiplicatione \(A\) in \(DE\). 300 Sed est \(DE\) id quod provenit ex portione \(A\) divisa per aliam partem. Et quia manifestum est cum unus numerus dividatur³⁹⁴ per alium et in hoc quod provenit ex divisione multiplicatur numerus divisus, id quod³⁹⁵ ex ipsa multiplicatione provenit est equale ei³⁹⁶ quod proveniret³⁹⁷ si quadratus divisi divideretur per divisorem, 301 ergo multiplicatio \(A\) in \(DE\)³⁹⁸ equatur divisioni quadrati numeri \(A\) in secundam partem, scilicet in 10 minus re. Quare multiplicetur \(A\) in se: proveniet census, qui cum dividitur per 10 minus re proveniunt 104 minus 9 rebus. Quare si multiplicaveris 10 minus re in 104 minus 9 rebus venient 1040 et 9 census diminutis 194 rebus, que equantur censui. 302 Restaura ergo res diminutas et extrahe unum censum ab utraque parte: remanebunt 8 census et denarii 1040 que equantur rebus 194. Divide ergo hec omnia per numerum censuum³⁹⁹ et veniet census et denarii 130 qui equantur rebus \({1 \over 4}\) 24. Procede ergo secundum suam regulam, et invenies partes esse 2 et 8.

303 Divisi 10 in duas partes et divisi maiorem per minorem et quod provenit multiplicavi in hoc quod est inter utramque partem, et fuit 24. Ponam siquidem pro maiori ⁴⁰⁰ parte lineam \(AB\), que sit res, de qua auferatur⁴⁰¹ \(BG\), que sit equalis minori parti. Erit ergo \(GA\) residuum quod est inter utramque partem, et dividatur \(AB\) in \(GB\), et proveniat \(E\). Ex multiplicatione ergo \(E\) in \(AG\) provenient 24, et ex \(E\) in \(GB\)⁴⁰² provenit divisus, scilicet \(AB\); 304 ergo ex \(E\) in \(AB\) proveniunt 24 et res una. Sed id quod provenit ex \(E\) in \(AB\) equatur ei quod provenit ex quadrato numeri \(AB\) diviso in \(GB\); ergo si dividatur quadratus numeri \(AB\) per numerum \(GB\) provenient 24 et⁴⁰³ res una. 305 Ergo si multiplicaverimus \(GB\), scilicet 10 minus⁴⁰⁴ re, in 24 et rem unam, proveniet quadratus numeri \(AB\), scilicet census. Nam multiplicatio de 24 addita re⁴⁰⁵ in 10 re diminuta sic fit: ex 10 in 24 veniunt denarii 240, et ex 10 in re addita veniunt decem res addite, et ex 24 in re diminuta veniunt 24 res diminute, a quibus si auferantur 10 res addite remanebunt 14 res diminute. 306 Et ex re addita in rem diminutam provenit census diminutus⁴⁰⁶; et sic habentur pro dicta multiplicatione denarii 240 censu⁴⁰⁷ diminuto⁴⁰⁸ et rebus 14, que equantur censui. Quare addantur utrique parti census et res 14: venient duo census et res 14⁴⁰⁹ que equantur denariis 240. Quare unus census et radices 7 equantur denariis 120.

307 Vel aliter: quia ex \(E\) in \(AB\) proveniunt 24 et res una et ex \(E\) in \(GB\) provenit res una, ergo ex \(E\) in 10 proveniunt 24 et due res. Quare si dividantur 24 et due res per 10, venient denarii \({2 \over 5}\) 2 et \({1 \over 5}\) rei⁴¹⁰ pro numero \(E\); que si multiplicata fuerint per numerum \(BG\), scilicet per 10 minus re, provenient denarii 24 minus \({1 \over 5}\) census et \({2 \over 5}\) rei, que equantur rei, scilicet numero \(AB\), cum proveniat ex \(E\) in \(GB\). 308 Adde ergo utrique parti \({1 \over 5}\) census et \({2 \over 5}\) rei: veniet \({1 \over 5}\) census et res una et \({2 \over 5}\) que equantur denariis 24. Quincupla ergo hec omnia et erit similiter census et septem res que equantur denariis 120. Dimidia ergo radices, et cetera, et invenies 10 divisa fuisse in 8 et 2.

309 Divisi⁴¹¹ 10 in duas partes et divisi istam per illam⁴¹² et illam per istam, et quod provenit multiplicavi in unam partium, et fuit 34. Sit maior pars \(A\) et minor sit \(B\), et dividatur \(A\) per \(B\) et veniet \(D\), et \(B\) per \(A\) et veniet \(G\). Multiplicavi ergo coniunctum ex \(G\), \(D\) in \(A\) et provenit 34. 310 Pone ergo \(A\) rem; remanebit \(B\) 10 minus re, et multiplicetur⁴¹³ \(G\) per \(A\) et ⁴¹⁴ veniet \(B\), scilicet 10 minus re, que extrahantur⁴¹⁵ de 34⁴¹⁶: remanent 24 addita re pro multiplicatione numeri \(D\) in \(A\), que multiplicatio equatur divisioni quadrati ex numero \(A\) in \(B\). Quare si multiplicetur \(B\), scilicet 10 minus re, per 24 re addita, venient omnia que dicta sunt in antecedenti questione.

311 Divisi 10 in duas partes et divisi istam per illam et illam per istam, et ⁴¹⁷ differentiam que provenit inter exeuntes numeros ex divisione multiplicavi per unam partem, et fuerunt 5. Sit iterum maior pars \(A\), minor quoque sit \(B\), et ex divisione \(A\) in \(B\) proveniat \(GD\) et ex \(B\) in \(A\) proveniat \(ED\); quare \(GE\) est id in quo multiplicatur \(A\) et proveniunt 5. 312 Pone itaque pro \(A\), scilicet pro maiori parte, rem; erit ergo \(B\) 10 minus re, et multiplicetur \(GE\) in \(A\); venient 5, et \(ED\) multiplicetur iterum in \(A\); veniet \(B\), quo addito cum 5 faciunt 15 minus re. 313 Ergo ex multiplicatione \(GD\) in \(A\) proveniunt 15 minus re, et est \(GD\) id quod provenit ex \(A\) diviso in \(B\); que multiplicatio equatur divisioni quadrati numeri \(A\) in \(B\). Ergo si dividatur quadratus numeri \(A\) per \(B\) proveniunt 15 minus re. Quare si multiplicabitur numerus \(B\), scilicet 10 minus re, per 15 minus re, redibit⁴¹⁸ utique quadratus numeri \(A\), qui est census. 314 Ex ductis quidem 10 minus re⁴¹⁹ in 15 minus re veniunt denarii 150 et census diminutis inde 25 radicibus, que equantur censui. Quare si addantur 25 radices utrique parti et auferatur census ab eis, remanebunt denarii 150 que equantur 25 radicibus. Divide ergo 150 per 25: venient 6 pro unaquaque radice, scilicet pro numero \(A\). Quare \(B\) est 4.