20 Modus alius proportionis inter tres numeros

Sunt tres numeri, ex quibus primus et tertius sunt noti, secundus autem²⁹ est ignotus, sed proportio superhabundantie maioris super medium ad superhabundantiam medii super minorem est sicut maior numerus ad minorem. 21 Pone numeros diversos quos vis pro maiori et minori numero, sintque 20 et 12, et auferatur 12 de 20: remanebunt 8, que sunt summa duarum suprascriptarum superhabundantiarum, que oportet dividere in ea proportione quam 20 habent ad 12. Quare addes 20 cum 12: erunt 32; erit ergo sicut 32 ad 12 ita 8 ad superhabundantiam medii super minorem. Quare multiplicabis 8 per 12; veniunt 96, que divide per 32: veniunt 3 pro superhabundantia medii super minorem; quare si addatur 3 super 12, erit medius numerus 15.

22 Sint itaque omnia que diximus inter predictos tres numeros, sed maior numerus sit ignotus, reliqui duo sint³⁰ noti. Et quia est sicut tertius ignotus ad primum notum ita superhabundantia tertii ignoti ad superahabundantiam secundi noti, quare si permutaverimus proportionem erit sicut tertius ad superhabundantiam eius super secundum ita primus ad superhabundantiam secundi super primum. 23 Et quia primus et secundus sunt noti, erit ipsa superhabundantia nota. Pone igitur pro secundo et primo numero numeros quales vis: sintque 15 et 12, et tertius numerus sit \(AB\), de quo auferatur numerus \(AG\) qui sit 15, scilicet equalis secundo numero; ergo \(GB\)³¹ est superhabundantia numeri \(AB\) super secundum numerum. 24 Demonstrata³² est proportio numeri \(AB\) ad \(GB\)³³ esse ea³⁴ quam habet minor numerus 12 ad superhabundantiam secundi, scilicet ad 3; que proportio est in minimis sicut 4 ad 1. Ergo sicut 4 sunt ad 1 ita \(AB\) ad \(GB\); quare proportio \(AG\) ad \(GB\) erit sicut 3 ad 1. Ergo multiplicandus est numerus \(AG\), scilicet 15, per 1, et summa dividenda est per 3: venient 5 pro numero \(GB\), quare totus \(AB\), scilicet maior numerus, est 20.

25 Sit siquidem ipsorum trium numerorum minor ignotus; reliqui duo sint noti, quorum medius sit 15, maior 20; quare superhabundantia eius super secundum est 5. Et quia est sicut 20 ad minorem numerum ignotum ita 5 ad superhabundantiam secundi super primum³⁵; quare permutatim erit sicut 20 ad 5, hoc est sicut 4 ad 1, ita primus ignotus ad superhabundantiam secundi. 26 Sit³⁶ itaque secundus numerus \(DE\), de quo sumatur numerus \(DZ\) qui sit equalis minori ³⁷ ignoto numero. Et quia est sicut 4 ad 1 ita primus ignotus ad superhabundantiam secundi, ergo sicut 4 est ad 1 ita \(DZ\) ad \(ZE\). Quare coniunctim³⁸ erit sicut 5 ad 4 ita \(DE\) ad \(ZD\)³⁹; et quia \(DE\) est 15, multiplica ea per 4 et summam divide per 5: venient 12 pro numero \(DZ\); qui cum sit equalis primo, primus⁴⁰ erit 12.

27 Modus alius proportionis inter tres numeros

Sint iterum tres numeri inequales, quorum maior et minor sint noti, scilicet dati, medius autem sit ignotus, et sit superhabundantia medii super minorem ad superhabundantiam maioris super medium sicut⁴¹ maior numerus est ad minorem. 28 Pone ergo pro minori et maiori numero⁴² numeros quoslibet datos, sintque⁴³ 12 et 4, et extrahe 4 de 12: remanent 8 pro summa duorum residuorum suprascriptorum. 29 Et quia est sicut 12 ad 4 ita superhabundantia prima ad superhabundantiam secundam, erit ergo sicut compositum ex 12 et 4 ad 4 ita summa utriusque superhabundantie, scilicet 8, ad superhabundantiam secundam. Quare multiplicanda sunt 4, scilicet minor numerus, per 8 et summa dividenda⁴⁴ per 16: exibunt 2 pro superhabundantia maioris numeri in qua excedit secundum; quare extractis 2 de maiori numero, remanent 10 pro medio numero.

30 Sed sit datus primus et secundus numerus, quorum primus sit 4, secundus 10, tertius autem sit ignotus; et quia est sicut tertius ad primum ita superfluum primum ad superfluum secundum, erit igitur multiplicatio tertii in superfluum secundum equalis multiplicationi primi in superfluum <primum>, scilicet de 4 in 6; que multiplicatio est 24. 31 Sit itaque tertius numerus \(AB\), de quo auferatur secundus numerus, qui sit \(AG\), remanebit \(GB\)⁴⁵ pro superfluo in quo numerus \(AB\) excedit secundum numerum; ergo⁴⁶ ex ductu \(AB\) in \(BG\) provenit 24, et est notus numerus \(AG\), cuius dimidium sit \(GD\), qui erit 5; 32 quorum quadratum si addideris super 24, erunt 49, quorum radix, scilicet 7, est numerus \(DB\). Cui si addatur numerus \(DA\), erit totus \(AB\) 12; de quibus si auferatur numerus \(AG\), remanebunt 2⁴⁷ pro numero \(BG\)⁴⁸.

33 Sed sint dati secundus et tertius numerus, quorum secundus sit 10, tertius 12, et sit primus numerus ignotus; et quia est sicut 12 ad primum numerum ignotum ita superhabundantia secundi super primum, que est ignota, ad superhabundantiam tertii super secundum, que est 2; quare multiplicatio de 12 in 2 equatur multiplicationi primi numeri in superhabundantiam primam. 34 Adiaceat itaque numerus \(DE\)⁴⁹, qui sit 10, scilicet quantitas secundi numeri, et auferatur ab eo minor numerus, qui sit⁵⁰ \(DZ\); remanebit ergo \(ZE\) pro superhabundantia quam habet secundus super primum. Ergo divisa sunt 10 in duas partes, quarum una multiplicata per aliam facit 24; que partes sunt \(DZ\) et⁵¹ \(ZE\). 35 Dividatur ergo \(DE\) in duo equalia super punctum \(I\), et multiplicetur \(EI\) in se; erunt 25, de quibus extrahe 24: remanet 1, cuius radix, que est 1, est numerus \(IZ\). Quare \(ZE\) est 6, et \(ZD\), qui est equalis primo numero, est 4.

36 Modus alius proportionis in tribus numeris

Sit itaque proportio maioris ad minorem, que sit nota, sicut superfluum primum et secundum ad secundum, et sit medius numerus ignotus. Ponamus pro maiori et minori numero 12 et 6, qui sint dati, et extrahantur 6 de 12; remanebunt 6, que sunt summa amborum superfluorum⁵². 37 Et quia est sicut 12 ad 6, scilicet sicut maior numerus ad minorem, ita 6, scilicet summa⁵³ utriusque superflui, ad superfluum secundum, ideo⁵⁴ multiplicabis 6 per 6 et divides per 12: exibunt 3 pro secundo superfluo, quo extracto de maiori numero remanent 9 pro mediano⁵⁵ numero.

38 Sit itaque tertius numerus ignotus et secundus sit 9 et primus 6, et adiaceat numerus \(AB\) ignotus pro maiori, et auferatur inde⁵⁶ secundus numerus, qui sit \(AG\), ex quo etiam auferatur minor, qui sit \(AD\): remanebit \(DB\) equalis duorum superfluorum, et \(GB\) est superfluum secundum. 39 Et quia est sicut numerus \(AB\) ad numerum \(AD\) ita \(DB\) ad \(GB\)⁵⁷, erit cum diviserimus sicut \(BD\) ad \(DA\) ita \(DG\) ad \(GB\); quare multiplicatio \(BD\) primi in \(GB\) quartum est sicut multiplicatio \(AD\) secundi in \(DG\) tertium. 40 Est enim⁵⁸ \(AD\) 6 et \(AG\) est 9; quare \(DG\) est 3, quibus multiplicatis in \(DA\) faciunt 18, quibus equatur multiplicatio \(DB\) in \(GB\). Sed \(DG\) est notus, cui additus est numerus \(GB\); ergo \(DB\)⁵⁹ in \(GB\) cum quadrato dimidii \(DG\) equatur quadrato coniuncti ex \(GB\) et⁶⁰ ex dimidio \(GD\); 41 quod dimidium est \({1 \over 2}\) 1, cuius quadratus, scilicet \({1 \over 4}\) 2, si addatur super 18 erunt \({1 \over 4}\) 20, de quorum radice, scilicet de \({1 \over 2}\) 4, si auferatur \({1 \over 2}\) 1, scilicet dimidium ex \(GD\), remanebit \(GB\)⁶¹ 3, in quibus maior \(BA\) superhabundat numerum medium \(AG\), qui est 9. Quibus additis cum 3 faciunt 12 pro maiori numero \(AB\).

42 Et si minor numerus \(AD\) fuerit ignotus, reliqui vero \(AG\) et \(AB\) sint noti; quia est sicut \(AB\) primus ad \(AD\) secundum ita summa duorum superfluorum, scilicet \(DB\), est ad superfluum secundum, scilicet ad \(GB\), erit itaque multiplicatio \(AB\) primi in \(GB\) quartum equalis multiplicationi \(AD\) in \(DB\). Et quia ex \(AB\) in \(GB\) proveniunt 36, qui sunt quadratus medietatis totius \(AB\), idcirco radix eorum, scilicet 6, est minor numerus \(AD\) qui erat ignotus.

43 Modus alius proportionis

Sit itaque \(AB\) ad \(AD\) sicut summa duorum superfluorum ad superfluum primum, scilicet \(BD\) ad \(GD\), et sit ignotus numerus \(AG\); numeri vero \(AD\) et \(AB\) sint noti, quorum \(AB\) sit 25 et \(AD\)⁶² sit 10. 44 Quare \(DB\) est 15, et quia est sicut \(BA\) ad \(DA\) ita \(BD\) ad \(GD\), ergo si ⁶³ multiplicaverimus \(AD\) secundum in \(DB\) tertium, scilicet⁶⁴ 10 per 15, et diviserimus summam per \(AB\), scilicet per 25, venient 6 pro superfluo \(GD\); quibus si addatur numerus \(DA\) erit numerus \(AG\) 16, qui erat ignotus.

45 Et si maior numerus \(AB\)⁶⁵ fuerit ignotus, reliqui vero \(AG\) et \(AD\)⁶⁶ sint noti, quia est sicut \(AB\) ad \(AD\) ita \(DB\) ad \(GD\), erit cum⁶⁷ diviseris sicut \(BD\) ad \(DA\) ita \(BG\) ad \(GD\). Quare cum permutaveris, erit \(BD\) ad \(BG\) sicut \(DA\) ad \(DG\). Est enim \(DA\) 10 et \(GA\) est 16 ex positione; quare si ex \(AG\) auferatur \(AD\) remanebit \(DG\) 6. 46 Ergo proportio \(AD\) ad \(DG\) est in minimis sicut 5 ad 3; ergo et⁶⁸ proportio \(BD\) ad \(GB\) est sicut 5 ad 3; quare cum diviseris, erit sicut 2 ad 3 ita \(DG\), scilicet 6, ad \(GB\) ignotum. Ergo multiplicatio de 3 in 6 dividenda est per 2, et sic⁶⁹ habebuntur 9⁷⁰ pro numero \(GB\), cui si addatur numerus \(GA\) erit totus \(AB\) 25, qui erat ignotus.

47 Sed sit⁷¹ ignotus numerus \(AD\), reliqui vero \(AB\) et⁷² \(AG\) sint noti; et quia est sicut \(AB\) ad \(AD\) ita \(DB\) ad \(DG\), erit cum diviseris⁷³ sicut⁷⁴ \(AB\) ad \(DB\)⁷⁵ ita \(DB\) ad \(GB\); ergo numeri \(AB\) et \(DB\) et \(GB\)⁷⁶ continui proportionales sunt. 48 Quare si ex ductu \(AB\) in \(GB\) radicem acciperis, proveniet utique numerus \(DB\) notus. Est enim numerus \(AB\) 25 et \(GB\) est 9, cum \(AG\) sit 16; quibus insimul multiplicatis faciunt 225, quorum radix, scilicet 15, est numerus \(BD\), qui si auferatur ex numero \(BA\) remanebunt 10 pro numero \(DA\).