406 Item divisi 10 in duas partes et multiplicavi unam earum in radicem de 10 et aliam in se, et que provenerunt fuerunt equalia. Ponam unam duarum partium rem et aliam 10 minus re, et multiplicabo rem in radicem de 10 et provenit radix 10 censuum; et ex 10 minus re in se provenit census et denarii 100 minus 20 rebus, que equantur radici 10 censuum. Quare adde utrique parti 20 res: erunt 20 res et radix 10 censuum equales censui et denariis 100. 407 Dimidia ergo radices, et erunt 10 et radix de \({1 \over 2}\) 2, que multiplica in se; erunt \({1 \over 2}\) 102 et radix 1000 denariorum, de quibus abice 100; remanebunt \({1 \over 2}\) 2 et radix 1000 denariorum, quorum radicem abice ex 10 et ex radice \({1 \over 2}\) 2: remanebunt pro prima parte 10 et radix de \({1 \over 2}\) 2 minus radice de \({1 \over 2}\) 2 et radicis 1000 denariorum. Quare secunda pars erit radix de \({1 \over 2}\) 2 et radicis 1000 denariorum, diminuta radice denariorum \({1 \over 2}\) 2.

408 Quam partem inveniemus aliter, videlicet multiplicabo rem in se, et veniet census, et ex 10 minus re in radicem de 10 veniet radix de 1000 diminuta radice 10 censuum. Et sic census equatur radici 1000 denariorum diminuta radice 10 censuum. Adde⁵⁸⁴ utrique parti radicem 10 censuum: erunt census et radix 10 censuum equales radici 1000 denariorum. 409 Dimidia ergo radicem 10 denariorum, et veniet radix de \({1 \over 2}\) 2, quam multiplica in se, et venient denarii \({1 \over 2}\) 2, quos adde cum radice de 1000 et abice ex eorum radice radicem de \({1 \over 2}\) 2: remanebit radix de \({1 \over 2}\) 2 et radicis 1000 denariorum diminuta radice de \({1 \over 2}\) 2 pro secunda parte, ut per alium modum invenimus.

410 Super quoddam avere addidi denarios 10 et quod provenit multiplicavi in radicem de 5; accepi⁵⁸⁵ radicem, et fuit sicut avere predictum. Ponam pro ipso avere rem, cui addidi 10 et fuit quod provenit res et denarii 10, que multiplicata in radicem de 5 faciunt radicem 5 censuum et radicem 500 denariorum, quorum radix equatur rei⁵⁸⁶. 411 Multiplica ergo rem in se, et provenit census; et multiplica radicem radicis 5 censuum et radicis 500 denariorum <in se, et proveniunt radix 5 censuum et radix 500 denariorum>, que equantur censui; et sic census equatur radicibus et numero. 412 Dimidia ergo radices; veniet radix de \({1 \over 4}\) 1, quam multiplica in se et veniet denarius⁵⁸⁷ \({1 \over 4}\) 1, que adde cum radice de 500: erunt \({1 \over 4}\) 1 et radix de 500, super quorum radice adde radicem de \({1 \over 4}\) 1, et habebis pro quantitate rei, scilicet pro quantitate quesiti averis, radicem radicis de 500 et de denario \({1 \over 4}\) 1 et radicem de denario \({1 \over 4}\) 1.

413 Inter duas quantitates est⁵⁸⁸ 5, et multiplicavi maiorem quantitatem in decuplum eius et eius quod provenit accepi radicem, et fuit sicut multiplicatio minoris quantitatis in se. Pone pro maiori quantitate rem et minor quantitas erit res diminutis 5 dragmis, et multiplica rem in decuplum eius et venient 10 census, de quibus accipe radicem, et erit radix 10 censuum. 414 Et multiplica rem diminutis 5 in se: provenerunt census et dragme 25 diminutis 10 rebus, que equantur radici 10 censuum. Adde ergo 10 res⁵⁸⁹ utrique parti, et erunt census et 25 dragme equales 10 radicibus et radici 10 censuum; et sic census et numerus equantur radicibus. Dimidia ergo radices, et erunt 5 et radix de \({1 \over 2}\) 2, que multiplica in se, et erunt \({1 \over 2}\) \(27\) et radix de 250; 415 de quibus abice 25 que sunt cum censu⁵⁹⁰; remanebunt \({1 \over 2}\) 2 et radix de 250, super quorum radice adde medietatem radicum, scilicet⁵⁹¹ 5 et radicem⁵⁹² de \({1 \over 2}\) 2: erunt 5 et radix de \({1 \over 2}\) 2 et radix radicis de 250 et dragmarum \({1 \over 2} 2\)⁵⁹³ pro quantitate rei, scilicet maioris quantitatis; de quibus si auferantur 5 habebitur minor quantitas.

416 Item sunt duo numeri quorum unus excedit alterum in 5, et multiplicavi maiorem eorum in radicem de 8 et minorem in radicem de 10, et que provenerunt fuerunt equalia. Pone pro minori numero rem, et maior erit res et denarii 5. Duc ergo rem in radicem de 10: provenit radix 10 censuum, et multiplica rem et denarios 5 in radicem de 8: veniet radix 8 censuum et radix denariorum 200, que equantur radici 10 censuum. 417 Abice ergo ab utraque⁵⁹⁴ parte radicem 8 censuum, et erit radix 10 censuum diminuta radice 8 censuum equalis radici 200 denariorum. Multiplica ergo radicem 200 in se, venient denarii 200; et multiplica radicem 10 censuum diminuta radice 8 censuum in se, erunt 18 census diminuta radice 320 censuum census. 418 Verbi gratia: sit quantitas \(AB\) radix 10 censuum et auferatur ab ea quantitas \(CB\) que sit ⁵⁹⁵ radix 8 censuum: remanebit quantitas \(AC\), quam volumus multiplicare in se. Et quoniam quantitas \(AB\) divisa est ut libet in duo ad punctum \(C\), erunt quadrata quantitatum \(AB\) et \(CB\) equalia duplo superficiei ex⁵⁹⁶ \(CB\) in \(AB\) et quadrato quantitatis \(AC\); 419 quare si ex quadratis quantitatum \(AB\) et⁵⁹⁷ \(CB\) auferatur duplum superficiei ex \(CB\) in \(AB\), remanebit quadratum quantitatis \(AC\). Proveniunt enim 10 census ex \(AB\) in se, et ex \(CB\) in se proveniunt 8 census, et sic pro quadratis quantitatum \(AB\) et \(CB\) habentur 18 census; 420 de quibus si auferamus duplum superficiei ex \(CB\) in \(AB\), quod est radix 320 censuum census, remanebunt pro quadrato quantitatis \(AC\) 18 census diminuta radice 320 censuum census, ut dictum est. Nam ex \(BC\) in \(AB\), hoc est ex radice 8 censuum in radicem 10 censuum, provenit radix 80 censuum census, cuius duplum sunt due radices 80 censuum census, et⁵⁹⁸ due radices 80 censuum census sunt una radix de 320 censuum census. 421 Et quia radix 10 censuum diminuta radice 8 censuum equatur radici 200 denariorum, et eorum quadrata similiter sibi invicem equabuntur; quare 18 census diminuta radice⁵⁹⁹ 320 censuum census equantur 200 denariis. Reduc ergo hec omnia ad censum unum; et illud est ut multiplices ea per \({1 \over 2}\) 4 et per radicem de 20. 422 Nam ex multiplicatione de \({1 \over 2}\) 4 et radicis de 20 in 18 census diminuta radice 320 censuum census provenit census, ut inferius demonstrabo. Et ex multiplicatione \({1 \over 2}\) 4 et radicis 20 in denarios 200 proveniunt 900 et radix 800000; ergo census equatur denariis 900 et radici 800000, quorum radix, que est 20 et radix de 500, erit res, hoc est minor numerus; cui si addantur 5, habebunt pro maiori numero 25 et radix 500 denariorum.

423 Modus autem inveniendi radicem⁶⁰⁰ de 900 et radicis 800000 est ut de quadrato medietatis 900, quod est 202500⁶⁰¹, auferas quartam de 800000; remanebunt 2500, quorum radicem, que est 50, adde super 450, scilicet super medietatem⁶⁰² de 900: erunt 500. Et de 450⁶⁰³ abice 50⁶⁰⁴: remanent⁶⁰⁵ 400, et accipe radicem de 500 et de 400 et venient 20 et radix de 500, ut pro primo numero inventum est. 424 Et si vis scire modum reducendi⁶⁰⁶ 18 census diminuta radice⁶⁰⁷ 320 censuum census ad unum censum, considera quod quando aliquod recisum multiplicatur in suum binomium, vel quando multiplicatur binomium aliquod in suum recisum, egreditur inde numerus ratiocinatus. 425 Dicimus enim recisum 18 minus radice 320, cuius binomium est 18 et radix 320; quibus insimul multiplicatis faciunt 4, quia ex ductu 18 in se veniunt 324 addita et ex ducta radice 320 addita in radicem 320 diminutam veniunt 320 diminuta, quibus extractis de 324 remanent 4 addita⁶⁰⁸, ut⁶⁰⁹ diximus. Eodemque modo, si multiplicavimus⁶¹⁰ 18 census minus radice 320 censuum census in suum binomium, scilicet in 18 census et radicem 320 censuum⁶¹¹ census, egredientur inde 4 census⁶¹² census. 426 Unde si diviserimus 18 census et radicem 320 censuum census per censum, et quod provenerit, scilicet 18 et radicem 320, multiplicaverimus in 18 census diminuta radice 320 censuum census, egredientur inde 4 census tantum. Quare si multiplicaverimus 18 census minus radice 320 censuum census in quartam de 18 et radicis 320, scilicet in \({1 \over 2}\) 4 et in radicem de 20, nimirum unus census proveniet; et hoc est quod volui demonstrare.

427 Possumus aliter ad solutionem huius questionis venire. Sed sunt quedam plus demonstranda, videlicet cum fuerint tres quantitates continue proportionales, in ea quam habet aliqua alia data quantitas ad aliam quantitatem; erit multiplicatio minoris quantitatis illarum duarum quantitatum in coniunctum medie et maioris illarum trium quantitatum, sicut multiplicatio maioris earundem⁶¹³ duarum quantitatum in coniunctum eiusdem medie et minoris illarum trium quantitatum. 428 Verbi gratia: sint tres quantitates \(A\), \(B\), \(C\) continue proportionales in ea quam habet quantitas \(D\) ad quantitatem \(E\), et sit \(D\) minor quam \(E\); et sit sicut \(D\) ad \(E\) ita \(A\) ad \(B\) et \(B\) ad \(C\). Dico quod factum ex \(D\) in quantitates \(B\), \(C\) est sicut factum ex \(E\) in quantitates \(A\), \(B\); quod sic probatur. Quoniam est sicut \(A\) ad \(B\) ita \(B\) ad \(C\); erit coniunctim⁶¹⁴ sicut \(A\) et \(B\) ad \(B\) ita \(B\) et \(C\) ad \(C\). Permutatim ergo erit sicut quantitates \(A\), \(B\) ad quantitates \(B\), \(C\) ita \(B\) ad \(C\). 429 Sed sicut \(B\) ad \(C\) ita \(D\) ad \(E\); ergo sicut \(D\) ad \(E\) ita quantitates \(A\), \(B\) ad quantitates \(B\), \(C\); quare multiplicatio \(D\) coniunctim ex quantitatibus \(B\), \(C\) equatur multiplicationi quantitatis \(E\) in coniunctum quantitatum \(A\), \(B\), ut predixi. Quibus intellectis, redeam ad questionem suprascriptam et ponam \(D\) radix de 8 et \(E\) radix de 10, et \(F\) sit 8 et \(H\) sit 10; et esto sicut \(F\) ad \(H\) ita \(A\) ad \(C\), et sit \(C\) quinque plus quam \(A\); et ponam inter numeros \(F\), \(H\) numerum \(G\) medium in proportione, et numerum \(B\) inter numeros \(A\), \(C\). 430 Dico quod⁶¹⁵ primum numeros \(A\), \(B\), \(C\) proportionales esse, in ipsa quam habet quantitas \(D\) ad ⁶¹⁶ quantitatem \(E\). Quoniam \(D\) se ipsam multiplicans numerum \(F\) fecit, et \(E\) se ipsam multiplicans numerum \(H\) fecit, et posita est \(G\) quantitas inter numeros \(F\), \(H\) in proportione media; quare est sicut \(D\) ad \(E\) ita \(F\) ad \(G\) et \(G\) ad \(H\), et est sicut \(F\) ad \(H\) ita \(A\)⁶¹⁷ ad \(C\). Sed sicut \(F\) ad \(H\) ita quadratum quod est a numero \(F\) ad quadratum quod est a numero \(G\), sicuti in geometria patet. 431 Est enim similiter sicut \(A\) ad \(C\), hoc est sicut prima ad tertiam, ita quadratum quod est a prima \(A\) ad quadratum quod est a secunda \(B\); ergo quia est sicut \(F\) ad \(H\) ita \(A\) ad \(C\), erit sicut quadratum quod est ab \(F\) ad quadratum quod est a numero \(G\) ita quadratum quod est ab \(A\) ad quadratum quod est a numero \(B\). 432 Quare erit sicut \(F\) ad \(G\) ita \(A\) ad \(B\). Sed \(F\) ad \(G\) est sicut \(D\) ad \(E\); ergo est sicut \(D\) ad \(E\) ita \(A\) ad \(B\). Sed est sicut \(A\) ad \(B\) ita \(B\) ad \(C\); ergo est sicut \(D\) ad \(E\) ita \(A\) ad \(B\) et \(B\) ad \(C\): numeri ergo \(A\), \(B\), \(C\) continui sunt in proportione quam habet quantitas \(D\) ad quantitatem \(E\); quare multiplicatio ex \(D\) in numeros \(B\), \(C\) est sicut⁶¹⁸ multiplicatio \(E\) in numeros \(A\), \(B\), ut superius demonstratum est.

433 Sed qualiter inveniantur numeri \(A\), \(C\)⁶¹⁹ demonstrare volo. Quoniam est sicut \(F\) ad \(H\) ita \(A\) ad \(C\), et \(H\) superat numerum \(F\) in⁶²⁰ 2, et numerus \(C\) numerum \(A\) in 5, est sicut 2 ad 5 ita \(F\) ad \(A\) et ita \(H\) ad \(C\). Quare si multiplicaveris numeros \(F\), \(H\) per 5, scilicet 8 et 10, et summas, que sunt 40 et 50, diviseris per 2, habebis 20 pro numero \(A\) et 25 pro numero \(C\). 434 Et quia numeri \(A\), \(B\), \(C\) continue proportionales sunt, erit⁶²¹ multiplicatio numeri \(A\) in numerum \(C\), que est 500, sicut multiplicatio numeri \(B\) in se; quare numerus \(B\) est radix de 500. Et sic invenimus primum numerum esse 20 et radix de 500, et secundus numerus addit 5 super ipsum, et est 25 et radix de 500, ut per alium modum invenimus.

435 Et notandum quod si radices \(D\), \(E\) sibi invicem commensurabiles essent, ita quod proportio quadrati radicis \(D\) ad quadratum radicis⁶²² \(E\) esset sicut proportio ⁶²³ quadrati numeri ad quadratum numerum, essent itaque numeri \(A\), \(B\) sibi invicem commensurabiles et coniunctum ex eis faceret numerum ratiocinatum⁶²⁴. Verbi gratia: sit⁶²⁵ \(D\) radix de 2 et \(E\) radix de 8; est⁶²⁶ enim proportio de 2 ad 8, qui sunt quadrati radicum de \(D\), \(E\), sicut proportio quadrati numeri 4 ad quadratum numerum 16. 436 Et quia volumus invenire duos numeros quorum unus excedat alterum in 5 et ⁶²⁷ sit multiplicatio maioris eorum in radicem⁶²⁸ de 2 sicut multiplicatio minoris in radicem de 8, multiplicabimus 2 et 8⁶²⁹, qui sunt quadrati radicum \(D\), \(E\), per 5 predicta, et dividemus que provenerint per 6, que sunt differentia⁶³⁰ que est inter 8 et 2, et hahebimus pro numero \(A\) \({2 \over 3}\) 1, et pro numero\(C\) habebimus \({2 \over 3}\) 6. 437 Quare numerus \(B\), qui est medius inter utrumque, est duplum de \({2 \over 3}\) 1, scilicet \({1 \over 3}\) 3; cuius etiam tertius numerus, scilicet \({2 \over 3}\) 6, duplus existit. Unde addamus numeros \(A\), \(B\) in unum: habebimus 5 pro minori numero; et si addamus numeros \(B\), \(C\) insimul⁶³¹, scilicet \({1 \over 3}\) 3 et \({2 \over 3}\) 6, facient 10 pro maiori numero. 438 Et est proportio coniunctorum \(A\), \(B\) ad coniunctos \(B\), \(C\), hoc est ad 10, sicut proportio \(D\) ad \(E\); est enim radix de 2 medietas radicis de 8, et 5 similiter sunt medietas de 10. Et sic in similibus studeas operari.

439 Multiplicavi quoddam avere in duplum eius et radici⁶³² venientis summe addidi⁶³³ 2, et illud totum multiplicavi per avere predictum et provenerunt inde denarii 30. Pone pro ipso avere rem, et multiplica eam in duplum eius, et venient duo census; quorum radici⁶³⁴ adde 2, et habebis radicem duorum censuum et denarios 2, que multiplica per rem, et proveniet radix duorum censuum census et due res, que equantur denariis 30. 440 Redige ergo radicem duorum censuum census ad censum unum, et hoc est ut multiplices illud per radicem de \({1 \over 2}\), quia cum multiplicatur radix duorum censuum census per radicem duorum censuum census, proveniunt duo census censuum. 441 Unde si diviserimus radicem duorum censuum census per censum, veniet utique radix de 2, in qua si multiplicaverimus radicem duorum censuum census, egredientur inde duo census tantum. Quare si multiplicaverimus radicem duorum censuum census per medietatem radicis de 2, hoc est per radicem de \({1 \over 2}\), veniet inde unus census, ut diximus. 442 Et⁶³⁵ multiplica similiter duas res per radicem de \({1 \over 2}\): veniet radix duorum censuum; et sic habebis censum et radicem duorum censuum que equantur multiplicationi de 30 in radicem de \({1 \over 2}\); que multiplicatio est radix de 450. Et sic in hac questione census et radices equantur numero. 443 Dimidia ergo radices; veniet radix medietatis denarii, quam multiplica in se: veniet \({1 \over 2}\), quam adde cum radice de 450 et habebis radicem de 450⁶³⁶ et medietatem unius denarii⁶³⁷, de quorum radice extrahe radicem de \({1 \over 2}\): remanebit pro quesito avere radix radicis 450 et medietatis denarii, diminuta inde radice⁶³⁸ \({1 \over 2}\) unius integri.

444 Et notandum quia quando dividitur radix aliquot censuum census per censum, non est aliud nisi dividere numerum per numerum; et cum dividitur radix numeri per numerum, tunc dividendus est numerus cuius radix dividitur per quadratum numeri in quo radix dividitur. Verbi gratia: volumus dividere radicem de 32 per 4: hic dividenda sunt 32 per quadratum de 4, et radix eius quod provenit, scilicet de 2, est id quod provenit ex divisione. 445 Eodemque modo⁶³⁹ cum dividimus radicem duorum censuum census per censum, tunc dividimus duos census census per censum census, et radix eius quod provenerit, scilicet de 2, est illud quod provenit ex divisione, ut diximus. Item cum multiplicatur radix alicuius numeri per rem, aut per res, est sicut multiplicare radicem numeri per numerum. 446 Sed cum multiplicatur radix numeri per numerum, tunc multiplicatur quadratum radicis per quadratum numeri, et radix eius quod provenit est id quod queritur⁶⁴⁰. Verbi gratia: cum volumus multiplicare radicem 8 per 4, multiplicamus 8 per 16, et radix venientis summe, scilicet de 128, est summa quesite multiplicationis. 447 Similiter cum multiplicamus res per radicem numeri, debemus ipsas res multiplicare in se et illud quod provenit multiplicare per numerum radicis, et provenientis summe radicem accipere. Et ideo cum multiplicavimus superius duas res in radicem de \({1 \over 2}\), intelleximus multiplicationem duarum rerum in se, de qua proveniunt 4 census, quibus ductis in \({1 \over 2}\) veniunt duo census, radicem quorum diximus provenire ex ipsa multiplicatione.

448 Divisi 10 in duas partes, et divisi maiorem per minorem et minorem per maiorem et aggregavi ea que provenerunt ex divisione, et fuerunt radix 5 denariorum. Sit una ipsarum partium \(A\), reliqua sit \(B\); et dividatur \(B\) per \(A\), et proveniet \(GD\); et \(A\) per \(B\), et proveniet⁶⁴¹ \(DE\). Dico primum quod multiplicatio \(A\) in \(B\) producta in \(GE\) est equalis duobus quadratis numerorum \(A\), \(B\). 449 ⁶⁴² Exemplum⁶⁴³: cum dividitur \(B\) per \(A\), provenit \(GD\); si multiplicatur \(GD\) in \(A\), provenit \(B\); ergo si multiplicatio \(GD\) in \(A\) ducatur in \(B\) erit sicut \(B\) in se. Rursus, quia⁶⁴⁴ cum dividitur \(A\) per \(B\) provenit \(DE\), ergo si multiplicatur \(DE\) in \(B\) provenit \(A\); quare si multiplicatio \(DE\) in \(B\) ducatur in \(A\) proveniet sicut \(A\) ducta in se. 450 Propterea si ducatur⁶⁴⁵ \(A\) in \(B\) et illud quod provenit ducatur⁶⁴⁶ in \(GE\), erit sicut coniunctum quadratorum numerorum \(A\), \(B\). Et quia ita est, pro \(A\) pone rem: remanebunt pro \(B\) 10 minus re. Et duc \(A\) in se, venit⁶⁴⁷ census; et 10 minus re in se, venit 100 et census diminutis 20 rebus, que adde cum censu: erunt 2 census et denarii 100 diminutis 20 rebus. 451 Deinde multiplica \(A\) in \(B\), scilicet rem in 10 minus re: exibunt 10 res diminuto censu, quod totum multiplica per \(GE\), quam quantitatem posuimus⁶⁴⁸ radicem esse 5 denariorum, que veniet radix 500 censuum diminuta radice 5 censuum census, que equantur 2 censibus et 100 denariis, diminutis 20 rebus. 452 Restaura ergo 20 res et radicem 5 censuum census utrique parti: erunt⁶⁴⁹ radix 5 censuum census et 2⁶⁵⁰ census et denarii 100 equales 20 rebus et radici 500 censuum. Redige hec omnia ad censum unum, hoc est ut multiplices hec omnia per radicem de 5 diminutis 2 denariis. 453 Nam ex multiplicatione radicis 5 censuum census et duorum censuum in radicem 5 diminutis 2 provenit census; quia cum multiplicatur radix 5 et denarii 2 in radicem de 5 minus 2 provenit⁶⁵¹ 1, et ex multiplicatione 100 in radicem de 5 minus 2 provenit radix 50000 diminutis 200 denariis, et ex multiplicatione 20 rerum et radicis 500 censuum in radicem 5 minus denariis 2 veniunt 10 res tantum; 454 quia et ex multiplicatione radicis 5 in radicem 500 censuum provenit radix 2500 censuum, scilicet 50 res, et ex multiplicatione 2 diminutorum in 20 res proveniunt 40 res diminute, quibus extractis de 50 rebus modo inventis, remanent⁶⁵² 10 res. 455 Multiplicatio quidem 20 rerum in radicem de 5 que est addita relinquimus, cum sit equalis multiplicationi radicis 500 censuum in 2 diminuta. Et sic ex multiplicatione 20 rerum et radicis 500 censuum in radicem 5 minus 2, proveniunt 10 res tantum, que equantur uni censui et radici 50000 minus 200. Et sic radices equantur censui et numero.

456 Et nos ponamus hec in figura, ut que dicere volumus clarius videantur. Sit superficiei rectiangule latus \(AB\) equale rei, et \(BC\) sit 10; et sic ⁶⁵³ superficies \(AC\) continebit 10 res. Et quia 10 res equantur uni censui et radici 50000 minus 200, auferamus a superficie \(AC\) quadratum \(AE\), quod sit census: remanebit ex superficie \(AC\) superficies \(FC\), que est radix 50000 minus 200, que provenit ex \(FE\) in \(EC\), idest⁶⁵⁴ ex \(BE\) in \(EC\). 457 Et dividatur linea \(BC\) in duo equa ad punctum \(D\), et erit linea \(BC\), que est 10⁶⁵⁵, divisa in duo equalia in punctum \(D\) et in duo inequalia⁶⁵⁶ ad punctum \(E\). Quare si ex quadrato numeri \(BD\), quod est 25, auferamus multiplicationem ex \(BE\) in \(EC\), que est radix 50000 minus 200, remanebunt 225 diminuta radice 50000 pro quadrato numeri \(DE\). 458 Quare si radix eius auferatur, que est numerus \(DE\), ex \(BD\)⁶⁵⁷, hoc est ex 5, remanebunt pro numero \(BE\) 5 minus radice differentie que est inter 225 et radicem 50000. Et hec sunt una res, scilicet una duarum partium de 10; reliqua vero est numerus \(EC\), qui est 5 et radix differentie que est inter radicem de 50000 et⁶⁵⁸ 225.

459 Et si vis invenire radicem de 225 minus radice de 50000, multiplica 225 in se; erunt 50625, de quibus abice 50000; remanebunt 625, quorum radix, que est 25, dimidia; venient \({1 \over 2}\) 12, que abice ex medietate de 225, que est \({1 \over 2}\) 112; remanebunt 100. Et adde \({1 \over 2}\) 12 super \({1 \over 2} 112\); erunt 125. 460 De quibus duobus⁶⁵⁹ numeris radices accipe et minorem de maiori extrahe: remanebit radix de 125 minus 10 pro radice de 225 diminuta radice 50000, que est numerus \(ED\). Cui si addamus \(DC\), scilicet 5, habebitur pro tota \(EC\) radix de 125 minus 5, que sunt maior pars. Et si extraxerimus \(ED\) ex \(BD\), scilicet radix de 125 minus 10 de 5, remanebunt pro minori parte, scilicet pro numero \(BC\), 15 minus radice de 125.

461 Possumus enim aliter solutionem eiusdem questionis invenire; et est ut ponas unam duarum partium rem, aliam vero 10 minus re, et ex divisione 10 minus re in rem veniat denarius; quare ex divisione rei in 10 minus re venit radix 5 diminuto denario. Et quia cum dividitur 10 minus re per rem provenit denarius, si multiplicabitur denarius in rem venient utique 10 minus re; quia semper cum multiplicatur numerus dividens per exeuntem provenit divisus. 462 Similiter, quia cum dividitur res per 10 minus re provenit radix 5 diminuto denario, si multiplicaveris radicem 5 minus denario in 10 minus re provenit inde res. Sed ex multiplicatione radicis 5 minus denario in 10 minus re proveniunt 10 et radix 500, diminuta radice 5 censuum et re et 10 denariis⁶⁶⁰. 463 Que multiplicatio sic fit: multiplicatur primum radix 5 per 10 et provenit radix 500 addita, et radix 5 in re diminuta provenit radix 5 censuum diminuta, et denarius diminutus in 10 addita proveniunt 10 denarii diminuti, et ex multiplicatione denarii diminuti in rem diminutam proveniunt 10 addita, diminuta re. Et sic pro multiplicatione radicis 5 diminuto denario in 10 minus re, provenit radix 500 et⁶⁶¹ 10 minus re et radice⁶⁶² 5 censuum et denariis 10, que equantur rei. 464 Adde ergo utrique parti 10 denarios et tolle ab utraque parte rem, et erunt 10 et radix 500, diminutis duabus rebus et radice 5 censuum, que equantur 10⁶⁶³ denariis. Dividamus per 10, et veniet 1 et radix 5, diminuta⁶⁶⁴ \({1 \over 5}\) rei et diminuta radice vigesime census, que equantur uni denario. Et quia ex ducto denario in rem provenit 10 minus re, si id quod est equale uni denario, scilicet radix 5 et 1 minus quinta rei et minus radice \({1 \over 20}\)⁶⁶⁵ census, multiplicetur in rem, veniet similiter ex ipsa multiplicatione 10 minus re. 465 Quare multiplicemus rem in radicem 5 et in 1, diminuta quinta rei et radice⁶⁶⁶ \({1 \over 20}\)⁶⁶⁷ census, et venient radix 5 censuum et res, diminuta quinta census et radice \({1 \over 20}\)⁶⁶⁸ census census, que equantur 10 minus re. Adde ergo utrique parti rem et quintam census et radicem \({1 \over 20}\)⁶⁶⁹ census census, et erunt radix \({1 \over 20}\)⁶⁷⁰ census census et quinta⁶⁷¹ census et denarii 10 equales radici 5 censuum et 2 rebus. 466 Reduc ergo radicem \({1 \over 20}\)⁶⁷² census census et quintam census ad censum unum, et est ut multiplices illud per radicem de 500 minus 20 denariis, et proveniet census. Deinde ut reducas denarios 10 qui sunt cum censu et radicem 5 censuum et duas res que opponuntur censui, multiplica eam per radicem 500 diminutis 20, et venient 10 res, que equantur censui et radici 50000 minus denariis 200, ut superius invenimus. Deinde operabis⁶⁷³ ut supra, et habebis propositum.

467 Est enim alius modus in solvendo similes questiones, quem demonstrare nequeo donec ⁶⁷⁴ quedam huic operi necessaria demonstrentur. Si duo numeri qualescumque fuerint, et dividatur secundus per primum et primus per secundum et que ex utraque⁶⁷⁵ divisione provenerint⁶⁷⁶ si⁶⁷⁷ insimul multiplicata fuerint, nimirum veniet inde 1. Ad cuius rei evidentiam, sint duo numeri \(A\), \(B\) et dividatur \(B\) per \(A\) et veniat \(GD\), et \(A\) per \(B\) veniat \(DE\). 468 Dico quod si \(GD\) multiplicetur in \(DE\) egredietur ex ipsa multiplicatione 1⁶⁷⁸, quod sic probatur. Quia cum dividitur \(B\) per \(A\) provenit \(GD\), ergo si multiplicetur \(GD\) per \(A\) provenit \(B\), quod etiam provenit si multiplicetur \(1\) in \(B\). Quare est sicut \(B\) ad \(A\) ita \(GD\) ad unitatem. Rursus quia cum dividitur \(A\) per \(B\) provenit \(DE\), si multiplicetur \(DE\) in \(B\) provenit \(A\). 469 Sed si \(A\) ducatur in 1 provenit similiter \(A\), quare est sicut unitas ad \(DE\) ita \(B\) ad \(A\). Sed sicut \(B\) ad \(A\) ita fuit⁶⁷⁹ \(GD\) ad unitatem; ergo est sicut \(GD\) ad 1 ita unum⁶⁸⁰ ad \(DE\). Unitas ergo media est inter \(GD\) et \(DE\); quare multiplicatio \(GD\) in \(DE\) est sicut multiplicatio unitatis in se. Sed ex ductu⁶⁸¹ \(1\) in se provenit 1; ergo ex ductu⁶⁸² \(GD\) in \(DE\) provenit 1, et hoc volui demonstrare⁶⁸³.

470 ⁶⁸⁴ Nunc revertamur ad questionem, et dividatur 10 in duas partes. Et divisi istam per illam et illam per istam et aggregavi insimul que ex ipsis divisionibus provenerunt, et fuit totum hoc radix 5. Dividenda est ergo radix 5 in duas partes, quarum una multiplicata per aliam faciat 1; 471 sintque predicte partes \(GD\) et \(DE\) et tota \(GE\) sit radix 5, et dividatur \(GE\) in duo equa ad punctum \(C\), et erit unaquaque pars \(GC\) et \(CE\) radix de \({1 \over 4} 1\). Et multiplicetur \(GC\)⁶⁸⁵ in se; proveniet \({1 \over 4} 1\), et auferatur⁶⁸⁶ inde multiplicatio ex \(GD\)⁶⁸⁷ in \(DE\), que est 1: 472 remanebit \({1 \over 4}\) pro quadrato numeri \(DC\), cuius radix, que est \({1 \over 2}\), est numerus \(DC\), quo ablato ex \(GC\) remanebit pro \(GD\) radix \({1 \over 4}\) 1 minus medietate denarii; et addita \(DC\) super \(CE\) erit totus \(DE\) radix de \({1 \over 4}\) 1 et medietas denarii. Ergo cum dividitur maior pars de 10 per minorem, provenit radix \({1 \over 4}\) 1 et denarii \({1 \over 2}\); et cum dividitur minor pars per maiorem⁶⁸⁸, provenit radix \({1 \over 4}\) 1 minus \({1 \over 2}\) denarii.

473 Possumus enim has partes aliter invenire. Pone pro una duarum partium rem; alia erit radix 5 minus re. Et multiplicetur res in radicem 5 minus re: venit radix 5 censuum diminuto censu, que equantur uni denario. Adde ergo censum utrique parti, et erit census et denarius 1 que equantur radici 5 censuum. Dimidia ergo radicem 5⁶⁸⁹, et erit radix \({1 \over 4}\) 1, de cuius quadrato⁶⁹⁰ abice 1 qui est cum censu; remanebit \({1 \over 4}\). 474 Cuius radicem, que est \({1 \over 2}\), abice ex radice de⁶⁹¹ \({1 \over 4}\) 1: remanebit radix \({1 \over 4}\) 1 minus \({1 \over 2}\) pro una duarum partium; reliqua vero erit radix \({1 \over 4}\) 1 et⁶⁹² medietas denarii.

Inventis itaque his partibus, pone pro maiori parte de 10 rem; minor vero erit 10 minus re. Et divide 10 minus re per rem; venit radix \({1 \over 4}\) 1 minus \({1 \over 2}\), quod multiplica per rem: venit radix unius census et \({1 \over 4}\) census minus medietate rei, que equantur 10 minus re. 475 Adde ergo utrique parti medietatem rei: erunt 10 minus medietate rei que equantur⁶⁹³ radici de censu⁶⁹⁴ \({1 \over 4}\) 1. Quare multiplica 10 minus medietate rei in se: erunt 100 et \({1 \over 4}\)⁶⁹⁵ census diminutis 10 rebus; et multiplica radicem census \({1 \over 4}\) 1 in se, et provenit census \({1 \over 4}\) 1. 476 Adde ergo utrique parti 10 res et tolle ab utraque parte quartam census: veniet census et 10 res que equantur 100 denariis. Operare deinceps in hoc secundum alzebra, et invenies maiorem partem, scilicet rem, esse radicem de 125 diminutis 5 denariis. Reliqua vero pars erit 15 diminuta radice de 125, ut superius invenimus.

477 Et nota: cum habuisti⁶⁹⁶ superius radicem unius census et \({1 \over 4}\)⁶⁹⁷ diminuta medietate unius rei equari 10 denariis <minus re>, et addidimus utrique parti dimidiam rem, tunc potuimus addere utrique parti rem, et essent radix census \({1 \over 4}\) 1 et medietas rei equales 10 denariis. Et si secundum hanc processionem vis procedere, multiplica 10 in se: erunt 100, et multiplica radicem census \({1 \over 4} 1\) et medietatem rei in se, et provenient census \({1 \over 2}\) 1 et radix census census \({1 \over 4}\) 1, et hec equantur denariis 100. 478 Unde ut reducamus hec ad unum censum, multiplicabis ea per \({1 \over 2}\) 1 minus radice de \({1 \over 4} 1\), et erit census equalis denariis 150 minus radice de 12500; quorum radix, que est radix de 125 minus 5, erit res, hoc est maior pars.

479 Et si volumus procedere per inventionem minoris partis, pone eam rem; maior⁶⁹⁸ vero pars⁶⁹⁹ erit 10 minus re. Et quia ex divisione 10 minus re in rem provenit radix de \({1 \over 4}\) 1 et medietas denarii, multiplica hec⁷⁰⁰ in rem, et venit⁷⁰¹ 10 minus re. Sed ex multiplicatione radicis de \({1 \over 4}\) 1 et medietatis denarii in rem provenit radix census \({1 \over 4}\) 1 et medietas rei; ergo hec equantur 10 minus rei. 480 Unde si ab utraque parte abstuleris medietatem rei, remanebit radix census \({1 \over 4} 1\) equalis 10⁷⁰² diminuta re \({1 \over 2}\) 1. Quare si multiplicabis⁷⁰³ utramque partem in se, erit census \({1 \over 4} 1\) equalis denaris 100 et censibus \({1 \over 4} 2\) diminutis 30 rebus. 481 Adde ergo utrique parti 30 res et tolle ab utraque⁷⁰⁴ parte censum \({1 \over 4} 1\), et veniet census et denarii 10 que equantur 30 rebus. Age in hoc secundum alzebra, et invenies rem, scilicet minorem partem, esse 15 minus radice de 125, ut superius invenimus.

482 Et nota iterum: quando habuisti radicem census \({1 \over 4}\) 1 et medietatem rei equalem denariis 10 minus re, et extraxisti ab utraque⁷⁰⁵ parte medietatem rei, tunc potuisti addere utrique parti rem, et esset radix census \({1 \over 4}\) 1 et res \({1 \over 2}\) 1 equales 10 denariis. Unde si multiplicaveris hec omnia in se, habebimus census \({1 \over 2}\) 3 et radicem census census \({1 \over 4}\) 11 equales denariis 100. 483 Unde ut redigamus hec omnia ad proportionem unius⁷⁰⁶ census, multiplica ea per \({1 \over 2}\) 3 minus radice \({1 \over 4}\) 11, et venit census equalis denariis 350 minus radice 112500; quorum radix, que est 15 diminuta radice 125, erit res, hoc est minor pars; maior vero pars est radix 125 minus 5.

484 Possemus etiam⁷⁰⁷ in his aliis⁷⁰⁸ modis procedere, sed ista que diximus sufficiant. Et scias⁷⁰⁹ secundum hanc divisionem 10 divisa esse media et extrema proportione, quia est sicut 10 ad maiorem partem ita maior pars ad minorem; quare multiplicatis 10 in minorem partem, scilicet in 15 minus radice 125, faciunt equale multiplicationi maioris partis in se.

485 In qua proportione si 10 dividere vis, pone maiorem partem rem, minorem vero 10 diminuta re, in qua multiplica 10, erunt 100 diminutis 10 rebus; et multiplica rem in se, venit⁷¹⁰ census, qui equatur 100 diminutis 10 rebus. Adde ergo utrique parti 10 res, et erit census et 10 res equales denariis 100. Age ergo in his secundum alzebra, et cetera.

486 Divisi 12 in duas partes, et divisi quamlibet⁷¹¹ illarum partium per aliam, et multiplicavi quodlibet exeuntium in se, et sunt 4 dragme. Pone pro maiori parte rem, pro minori 12 minus re; et dividatur 12 minus re in rem, et veniat numerus \(AB\), et ex re divisa in 12 minus re veniat \(BC\); et aggrega multiplicationes ex \(AB\) in se et ex \(BC\) in se: erunt 4. 487 ⁷¹² Et quia numerus \(AC\)⁷¹³ divisus est in duo, scilicet in \(AB\) et in \(BC\), erit multiplicatio dupli \(AB\) in \(BC\) cum quadratis numerorum \(AB\) et \(BC\) equalis quadrato numeri \(AC\). Sed ex quadratis numerorum \(AB\) et \(BC\) proveniunt 4, et ex duplo \(AB\) in \(BC\) veniunt 2, quibus additis cum 4 faciunt 6 pro quadrato numeri \(AC\); ergo \(AC\) est radix de 6. 488 Divide ergo eam in duas partes per modum superius demonstratum, ut ex minore ducta in maiorem veniat 1; et erit minor pars radix \({1 \over 2}\) 1 minus radice \({1 \over 2}\) et maior erit radix \({1 \over 2}\) 1 et radix \({1 \over 2}\). Ergo cum dividitur⁷¹⁴ 12 minus re, scilicet minor pars, in rem, provenit radix \({1 \over 2}\) 1 minus radice \({1 \over 2}\). Multiplica radicem \({1 \over 2} 1\) minus radice \({1 \over 2}\) in rem, et venit radix census \({1 \over 2}\) 1 minus radice medietatis census, que equatur denariis 12 minus re. 489 Deinde multiplica radicem unius census et dimidii minus radice medietatis census in se: venient duo census minus radice trium censuum⁷¹⁵ census, que equantur multiplicationi 12 minus re in se, hoc est denariis 144 et uni censui diminutis 24 radicibus. 490 Adde ergo utrique parti 24 res et tolle ab utraque parte censum, et venit census et⁷¹⁶ 24 res diminuta radice trium censuum⁷¹⁷ census, que equantur denariis 144. Multiplica ergo censum minus radice trium censuum census in suum binomium, hoc est in 1 et⁷¹⁸ radicem trium, et venient duo census diminuti. 491 Quare multiplica unum censum⁷¹⁹ diminuta radice trium censuum census in medietatem⁷²⁰ sui binomii⁷²¹, hoc est in \({1 \over 2}\) et⁷²² in radicem⁷²³ de \({3 \over 4}\): veniet unus census diminutus; et multiplica 24 res similiter in \({1 \over 2}\) et in radicem de \({3 \over 4}\): venient 12 res⁷²⁴ et radix 432⁷²⁵ censuum; et sic habetur ab una parte 12 res et radix 432 censuum diminuto censu, que equantur multiplicationi de⁷²⁶ 144 in \({1 \over 2}\) et in radicem de \({3 \over 4}\), hoc est denariis 72 et radici 15552. 492 Adde ergo censum utrique parti, et erunt res 12⁷²⁷ et radix 432 censuum que equantur censui et denariis 72 et radici de 15552; que radix est 12 radices de 108. Dimidia ergo⁷²⁸ 12 et radicem 432, erunt 6⁷²⁹ et radix de 108, que multiplica in se; venient 144 et 12 radices de 108. 493 De quibus abice numeros qui sunt <cum> censu, scilicet 72 et 12 radices de 108; remanebunt 72, quorum radicem abice ex medietate radicum: remanebunt 6 et radix de 108 diminuta radice 72⁷³⁰ pro⁷³¹ quantitate rei, scilicet pro maiori parte. Reliqua vero pars est 6 et⁷³² radix de 72 minus radice de 108⁷³³. 494 Quam etiam partem invenies⁷³⁴ si ponas minorem partem rem, maiorem⁷³⁵ vero 12 minus re, et dividas 12 minus re per rem: veniet radix \({1 \over 2}\) 1 et⁷³⁶ radix medietatis dragme, que multiplicata in rem veniunt radix census \({1 \over 2}\) 1 et radix medietatis census, que equantur⁷³⁷ 12 minus re. Multiplica hec omnia in se: erunt duo census et radix trium censuum census⁷³⁸ equales 144 et censui diminutis 24 rebus. 495 Adde ergo utrique parti 24 res, et tolle censum ab utraque parte: remanebit radix trium censuum census⁷³⁹ et census et 24⁷⁴⁰ res que equantur 144 dragmis. Redige hec omnia ad censum unum, et est ut multiplices ea per radicem \({3 \over 4}\)⁷⁴¹ diminuta medietate dragme; et erit census et radix 432 censuum diminutis 12 radicibus equales 12 radicibus de 108 minus 72 dragmis. 496 Multiplica ergo medietatem radicum que sunt <cum> censu, scilicet radix de 108 diminutis 6⁷⁴², in se; erunt 144 diminutis 12 radicibus de 108, super que adde 12 radices de 108 diminutis 72 dragmis: remanebunt 72, de quorum radice abice radicem de 108 minus 6 et habebis minorem partem radicem de 72 et dragmas 6 diminuta radice de 108, ut superius invenimus.

497 Divisi 10 in duas partes, et divisi quamlibet⁷⁴³ illarum per aliam, et multiplicavi quodlibet exeuntium in se ipsum, et minui minus ex maiori, et remanent⁷⁴⁴ 2⁷⁴⁵ dragme. Pone minorem partem rem et maiorem 10 diminuta re, et divide⁷⁴⁶ 10 minus re in rem et veniet⁷⁴⁷ \(A\), et ex re divisa in 10 minus re veniet \(B\). 498 Iam scis quia ex \(A\) ducta in \(B\) provenit 1; quare si ⁷⁴⁸ multiplicetur quadratus numeri \(A\) in quadratum numeri \(B\) venit quadratus unitatis, scilicet 1. Quare ponamus pro numero \(B\) radicem unius census et pro numero \(A\) radicem unius census et duarum dragmarum, et multiplica \(B\) in se; veniet census, et \(A\) in se; veniet census et 2 dragme. 499 Diminuto ergo censu, scilicet quadrato numeri \(B\), ex censu et duabus dragmis, hoc est ex quadrato numeri \(A\), remanebunt itaque 2 dragme. Multiplica ergo quadratum numeri \(B\) per quadratum numeri \(A\), scilicet censum per censum et duas dragmas, venient census census et duo census, qui equantur uni dragme. 500 Deinde ponamus quadratum \(CE\) qui sit equalis ⁷⁴⁹ censui census, quare unumquodque latus ipsius erit census, et addamus linee \(DE\), que est census, lineam⁷⁵⁰ \(EH\), que sit 2⁷⁵¹; et iaceat \(EH\) in directo linee \(DE\), et compleatur figura rectiangula \(GH\), que provenit ex \(GE\) in \(EH\), hoc est ex censu in 2⁷⁵². 501 Quare superficies \(GH\) est 2 census; ergo tota superficies \(CH\) est census census et duo census, et equantur uni dragme, quia ex \(ED\) in \(DH\) provenit dragma, scilicet ex censu in censum et duas dragmas. 502 Dividamus \(EH\) in duo equalia in \(F\), et erit \(EF\) 1; et quia ex \(CD\)⁷⁵³ in \(DH\) provenit 1 et \(DE\) equalis est \(CD\)⁷⁵⁴, ergo ex \(DE\) in \(DH\) provenit 1; cui si addamus quadratum unitatis \(EF\), habebitur pro quadrato numeri \(DF\) 2; super quorum radicem si addideris unitatem \(HF\) erit⁷⁵⁵ totus \(DH\) radix 2 et una dragma, hoc est quadratus numeri \(A\). 503 Cuius radix, que est numerus \(A\), ducatur in rem⁷⁵⁶: veniunt 10 minus re; quare si multiplicaverimus quadratum rei, scilicet⁷⁵⁷ census, in quadratum numeri \(A\), scilicet in radicem 2 dragmarum et in dragmam, veniet quadratus 10 minus re, hoc est 100 dragme et census diminutis 20 rebus. 504 Sed⁷⁵⁸ ex multiplicatione census in radicem 2 et⁷⁵⁹ 1 provenit radix⁷⁶⁰ duorum censuum census et unus census, que equantur dragmis 100 et censui diminutis 20 rebus. Adde ergo 20 res utrique parti et tolle ab utraque parte censum, remanebunt radix duorum censuum census et 20⁷⁶¹ res que equantur 100 dragmis. 505 Sed ut redigamus⁷⁶² hec omnia ad censum unum, multiplica ea per radicem \({1 \over 2}\) dragme; quia cum multiplicamus radicem 2 censuum census in radicem \({1 \over 2}\) dragme provenit census, et cum multiplicamus 20 res in radicem \({1 \over 2}\) provenit radix 200 censuum⁷⁶³, et cum multiplicatur 100 in radicem \({1 \over 2}\) provenit radix 5000 dragmarum; ergo census et radix 200 censuum⁷⁶⁴ equatur radici de 5000 dragmarum.