49 Incipit differentia tertia in proportione trium numerorum

Et si proponatur quod proportio \(BA\) ad \(GA\) sit⁷⁷ sicut superhabundantia maioris numeri super medium ad superhabundantiam medii super minorem, hoc est sicut \(BG\)⁷⁸ ad \(GD\), et sit ignotus quilibet numerorum \(AB\), \(AG\), \(AD\); dico quod numeri \(AB\), \(AG\), \(AD\) sunt⁷⁹ continue proportionales. 50 Quod probabitur ita: quoniam est sicut \(AB\) ad \(AG\) ita \(BG\) ad \(GD\), hoc est sicut totus ad totum ita pars ad partem, quare erit sicut⁸⁰ pars ad partem ita residuum ad residuum, ut in quinto Euclidis ostenditur. Ergo erit sicut \(BG\) ad \(GD\) ita \(AG\) ad \(AD\). 51 Sed sicut \(BG\) ad \(GD\) ita \(AB\) ad \(AG\); quare est sicut \(AB\) ad \(AG\) ita \(AG\) ad \(AD\). Ergo numeri \(AB\), \(AG\), \(AD\) continui proportionales sunt; unde si⁸¹ aliquis illorum erit ignotus, poteris eum reperire per modum superius demonstratum in numeris tribus continue proportionalibus.

52 Sed sit sicut \(BA\) ad \(GA\) ita \(DG\)⁸² ad \(GB\), et sit primum ignotus numerus \(GA\), reliqui vero \(AB\) et \(AD\) sint noti, ex quibus \(AB\) sit 12 et \(AD\) sit 2. Et quia est sicut \(AB\) ad \(AG\) ita \(DG\) ad \(GB\), erit cum permutaveris sicut \(AG\) ad \(AB\) ita \(BG\) ad \(GD\); et cum composueris⁸³, erit <sicut> coniunctus ex numeris \(AG\) et \(AB\) primus ad \(AB\) secundum ita \(BD\) tertius ad \(GD\) quartum. 53 Multiplicatio⁸⁴ ex \(AB\) secundi in \(BD\) tertium est nota, quia surgit ex 12 in 10, cuius multiplicationis summa est 120, cui equatur multiplicatio coniuncti ex \(AG\) et \(AB\) in \(GD\)⁸⁵. Quare si⁸⁶ numero \(AB\) addatur numerus \(BE\) qui sit equalis numero \(AG\) et auferatur ex numero \(BE\) numerus \(EZ\) qui sit equalis numero \(GD\), remanebit numerus \(ZB\) equalis numero \(AD\), qui est 2. 54 Quare totus numerus \(AZ\) est 14, cui additus est numerus \(ZE\). Dividatur ergo numerus \(AZ\) in duo equa super \(I\); erit ergo multiplicatio \(AE\) in \(EZ\), que est 120, cum quadrato numeri \(ZI\), qui est 49, equalis quadrato numeri \(IE\); quare radix eorum, que est 13, est numerus \(IE\). De quibus si auferatur numerus \(ZI\), qui est 7, remanebunt 6 pro numero \(ZE\), hoc est pro \(GD\); cui si addatur numerus \(AD\), habebis⁸⁷ 8 pro numero \(AG\).

55 Et si \(AB\) tantum fuerit ignotus, quia erit sicut \(AB\) ignotus ad \(GA\) notum ita \(DG\) notus ad \(GB\) ignotum, quare multiplicatio noti \(AG\) in notum \(DG\), scilicet de 8 in 6, equatur multiplicationi \(AB\) ignoti in \(GB\) ignotum. Dividatur ergo \(AG\) in duo equa super \(E\); et quia numerus \(AG\) divisus est in duo equa et ei additus est numerus \(GB\), erit multiplicatio \(AB\) in \(GB\) cum quadrato numeri \(EG\) equalis quadrato numeri \(EB\). 56 Est ⁸⁸ enim multiplicatio \(AB\) in \(GB\) 48 et quadratus numeri \(EG\) est 16, quibus insimul iunctis reddunt 64, quorum radix, que est 8, est numerus \(EB\); quibus si⁸⁹ addatur numerus \(EA\) erit totus numerus \(AB\) 12.

57 Sit itaque numerus \(AD\) ignotus, reliqui vero \(AG\) et \(AB\) sint noti; et quia est sicut \(AB\) ad \(AG\)⁹⁰ ita numerus \(DG\) ad \(GB\), erit multiplicatio \(AB\) in \(GB\)⁹¹, scilicet 48, equalis multiplicationi \(AG\) noti in \(DG\) ignotum. Quare divide 48 per \(AG\), scilicet per 8: exibunt 6 pro numero \(DG\), quibus extractis ex numero \(AG\) remanebunt 2⁹² pro numero \(AD\).