598 Et quia hee tres partes posite insimul iuncte non sunt 10, sicut⁹²⁴ 1 est ad summam ipsarum trium partium ita res aliqua⁹²⁵ sit ad 10; et erit multiplicatio ipsius rei in summam ipsarum trium partium sicut multiplicatio de 1 in 10. Quare multiplica dragmam per rem, et venit⁹²⁶ res; et multiplica rem⁹²⁷ in radicem radicis de \({1 \over 4}\) 1 minus \({1 \over 2}\): veniet radix radicis census census \({1 \over 4}\) 1 minus \({1 \over 2}\) census; et multiplica rem in radicem de \({1 \over 4}\) 1 minus \({1 \over 2}\): venit radix census \({1 \over 4}\) 1 minus \({1 \over 2}\) rei; 599 et sic habes rem et radicem radicis census census \({1 \over 4}\) 1 minus \({1 \over 2}\) census et radicem census \({1 \over 4}\) 1 minus \({1 \over 2}\) rei, que equatur 10 dragmis. Proice itaque ab utraque parte⁹²⁸ rem minus medietate rei et radicem census \({1 \over 4} 1\)⁹²⁹, <habebis 10 minus \({1 \over 2}\) rei et minus radice census \({1 \over 4}\) 1> que equantur radici radicis census census \({1 \over 4}\) 1 minus medietate census. 600 Multiplica ergo utramque partem in se, et ex⁹³⁰ multiplicatione 10 minus \({1 \over 2}\) rei et minus radice census \({1 \over 4}\) 1 habebuntur 100 et census \({1 \over 2}\) 1 et radix census census \({1 \over 4}\) 1, diminutis 10 rebus et diminuta radice 500 censuum, que equantur multiplicationi radicis radicis census census \({1 \over 4}\) 1 minus medietate census⁹³¹; que multiplicatio est radix census census \({1 \over 4}\) 1 minus \({1 \over 2}\) census. Adde ergo utrique parti \({1 \over 2}\) census et 10⁹³² res et radicem 500 censuum, et tolle ab utraque parte radicem census census \({1 \over 4}\) 1, et erunt duo census et 100 dragme equales 10 rebus et radici⁹³³ 500 censuum. 601 Dimidia ergo omnia que habes ut reducas ea ad censum unum, et venient census et 50⁹³⁴ equales 5 rebus et radici 125 censuum⁹³⁵. Dimidia ergo radices et radicem 125 censuum, que sunt \({1 \over 2}\) 2 et radix \({1 \over 4}\) 31, et multiplica eas in se: venient \({1 \over 2}\) 37 et radix \({1 \over 4}\) 781, de quibus abice 50 que sunt cum censu; remanebit radix \({1 \over 4}\) 781 diminutis dragmis \({1 \over 2}\) 12, quorum radicem abice ex medietate radicum, scilicet de \({1 \over 2}\) 2 et radice \({1 \over 4}\) 31: remanebunt \({1 \over 2}\) 2 et radix \({1 \over 4}\) 31, diminuta radice differentie que est inter \({1 \over 2}\) 12 et radicem \({1 \over 4}\) 781; et hec sunt maior pars.

602 Minorem vero partem invenimus esse 5 diminuta radice differentie que est inter 50 et radicem 3125 dragmarum. Unde si has duas inventas partes⁹³⁶ extraxeris de 10, remanebunt pro media parte \({1 \over 2}\) 2 et radix differentie que est inter 50 et radicem de 3125, et radix differentie que est inter \({1 \over 2}\) 12 et radicem \({1 \over 4}\) 781, diminuta ex his omnibus radice \({1 \over 4}\) 31. Et nota quod cum diximus superius radicem radicis census census \({1 \over 4}\) 1 minus medietate census, tunc intelleximus radicem acceptam ex radice census census \({1 \over 4}\) 1 minus medietate census. Unde cum multiplicatur in se illa radix radicis, provenit radix census census \({1 \over 4}\) 1, sublata inde medietate census.

603 Possumus enim ad inventionem medie partis ex tribus partibus que fiunt de 10 per hanc aliam viam pervenire, videlicet ut ponamus pro ipsa media parte duas dragmas et pro prima radicem rei, et multiplicemus radicem rei in se et veniet res, et multiplicemus duas dragmas in se, venient 4 dragme. 604 Aggrega ea et habebis rem⁹³⁷ et 4 dragmas, que equantur multiplicationi maioris partis in se; quare maior pars erit radix rei et 4 dragmarum. Et quia proponitur quod multiplicata minori parte in maiorem partem est sicut media in se, multiplicemus radicem rei, scilicet minorem partem, in radicem rei et 4 dragmarum; veniet radix census et 4 rerum⁹³⁸, que equantur 4 dragmis, scilicet multiplicationi duarum dragmarum in se. 605 Multiplica iterum hec in se, et erit census et 4 res equales 16 dragmis. Dimidia itaque res; erunt 2, que⁹³⁹ multiplica in se et adde cum dragmis 16; erunt 20, de quorum radice abice medietatem radicum: remanebit radix 20 minus 2 dragmis pro quantitate rei. Quorum radix est minor pars, quia posuimus eam radicem rei; pars vero maior, que est radix rei et 4 dragmarum, erit radix radicis 20 et 2⁹⁴⁰ dragmarum; et media pars est 2 dragme.

606 Et quia hee tres partes invente non sunt 10, erit proportio coniuncti ipsarum ad 10 sicut proportio 2 dragmarum ad id quod provenit mediane parti. Quod ponamus esse rem, et ideo multiplicatio rei in ipsas tres partes erit sicut multiplicatio 2 in 10. Ergo multiplicemus rem in radicem 20 minus 2 dragmis, radice eorum inde accepta: veniet radix 20 censuum census minus 2 censibus, radice inde accepta. Et multiplicemus rem in 2: venient 2 res; et multiplicemus iterum rem in radicem <radicis> 20 et duarum dragmarum: veniet radix radicis 20 censuum census et duorum censuum, que omnia equantur 20 dragmis. 607 Abice ergo ab utraque parte 2 res⁹⁴¹: erunt 20 minus 2 rebus equales radici radicis 20 censuum census minus 2 censibus et radici radicis 20 censuum census et 2⁹⁴² censuum. Multiplica igitur 20 minus 2 rebus in se, venient 400 et 4 census minus 80 rebus; et multiplica radicem 20 censuum census minus 2⁹⁴³ censibus accepta inde radice, et radicem 20 censuum census et 2⁹⁴⁴ censuum accepta similiter inde radice, in se, et erunt 8 census et radix 80 censuum census, que equantur 400 dragmis et 4 censibus diminutis 80 rebus. 608 Adde ergo utrique parti 80 res et tolle ab utraque parte 4 census: remanebunt 80 res et radix 80 censuum census et 4 census equales 400 dragmis. Redige ergo radicem 80 censuum census et 4 census ad censum, et est ut multiplices ea per radicem \({5 \over 256}\) minus \({1 \over 16}\) dragme. Quare multiplica 80 res in radicem⁹⁴⁵ \({5 \over 256}\) minus \({1 \over 16}\): veniet radix 125 censuum minus 5 rebus que sunt cum censu; et multiplica 400 per radicem⁹⁴⁶ \({5 \over 256}\)⁹⁴⁷ minus \({1 \over 16}\): veniet radix 3125 minus 25 dragmis, que equantur censui et radici 125 censuum, sublatis inde 5 rebus. 609 Dimidia ergo radicem 125 censuum minus 5 rebus: veniet radix \({1 \over 4}\) 31 minus \({1 \over 2}\) 2. Multiplica ea in se, venient \({1 \over 2}\) 37 minus radice \({1 \over 4}\) 781, super que adde radicem 3125 minus 25, et scias quia radix de 3125 est duplum radicis \({1 \over 4}\) 781: venient \({1 \over 2}\) 12 et radix \({1 \over 4}\) 781, de quorum radice abice radicem \({1 \over 4}\) 31 minus \({1 \over 2}\) 2: remanebunt dragme \({1 \over 2}\) 2 et radix dragmarum \({1 \over 2}\) 12 et radicis \({1 \over 4}\) 781 minus radice \({1 \over 4}\) 31 pro quantitate rei; et hec sunt pars media.

610 Volo demonstrare quomodo accepta radix radicis 20 censuum census minus 2 censibus et ⁹⁴⁸ accepta radix radicis 20 censuum census et 2 censuum multiplicentur in se. Sit itaque linea \(AB\) radix accepta radicis 20 censuum census minus 2 censibus et \(BG\) sit radix accepta de radice 20 censuum census et 2 censuum, et volumus scire quantum⁹⁴⁹ veniat ex \(AG\) quantitate ducta in se. 611 Iam scis quod quadrata quantitatum \(AB\) et \(BG\) cum duplo \(AB\) in \(BG\) equantur quadrato quantitatis \(AG\); ergo multiplicemus \(AB\) in se, et venit radix 20 censuum census minus 2 censibus; et ducamus \(BG\) in se, veniet radix 20 censuum census et 2 census. Aggrega hec insimul: venient 2 radices 20 censuum census, que sunt una radix 80 censuum census. 612 Et multiplica quadratum quantitatis \(AB\) in quadratum quantitatis \(BG\), et habebis quadratum multiplicationis ex \(AB\) in \(BG\). Sed multiplicatio quadrati \(AB\) in quadratum \(BG\) veniunt 16 census census hoc modo: cum multiplicatur radix 20 censuum census per radicem 20 censuum census veniunt 20 census census, et cum multiplicantur 2⁹⁵⁰ census additi in duos census diminutos veniunt 4 census census diminuti. 613 Quibus extractis ex 20⁹⁵¹ censibus census remanent 16 census census, quorum radix, scilicet 4 census, est id quod provenit ex \(AB\) in \(BG\); quorum duplum si addamus super radicem 80 censuum census habebuntur utique 8 census et radix 80 censuum census pro multiplicatione quantitatis \(AG\) in se, et hoc volui demonstrare.

614 Et si dicemus: divisi 10 in duas partes et de maiori parte extraxi duas radices eius et super minorem addidi duas radices eius, et que provenerunt fuerunt equalia. Pone pro minori parte 5 minus re et pro maiori 5 et⁹⁵² rem, et accipe 2 radices de 5 et re, que sunt radix 20 et 4⁹⁵³ rerum, et abice eam de⁹⁵⁴ 5 et re⁹⁵⁵: remanebunt 5 et res, diminuta radice 20 dragmarum et 4 rerum. 615 Deinde adde super 5 minus re 2 radices eius, que sunt una radix de 20 minus 4 rebus, et erunt 5 minus re et radix de 20⁹⁵⁶ minus 4 rebus, que equantur 5 et rei minus radice 20 dragmarum et 4⁹⁵⁷ rerum. Tolle ab utraque parte⁹⁵⁸ 5 et adde utrique parti rem et radicem 20 dragmarum et 4⁹⁵⁹ rerum, et erunt radix 20 minus 4 rebus et radix 20 et 4 rerum equales 2 rebus. 616 Multiplica quidem utramque partem in se, et venient ex multiplicatione 2 rerum in se 4 census, et ex multiplicatione radicis 20 minus 4 rebus et radicis 20 et 4 rerum in se veniunt 40 et radix 1600 dragmarum minus 64 censibus. Que multiplicatio sic fit: ducitur primum radix 20 minus 4 rebus in se, veniunt 20 minus 4 rebus; et ducitur radix 20 et 4 rerum in se, et veniunt 20 et 4 res. 617 Congrega ea, et erunt 40 dragme; et multiplica radicem 20 minus 4 rebus in radicem 20 et 4⁹⁶⁰ rerum, et veniet una radix 400 dragmarum minus 16 censibus. Duplica eam, et erunt 2 radices 400 dragmarum minus 16 censibus, que sunt una radix 1600 dragmarum minus 64 censibus; et sic pro quesita multiplicatione, ut dictum est, habentur 40 dragme et radix 1600 minus 64 censibus, que equantur 4 censibus. 618 Tolle ergo ab utraque parte 40, et erunt 4 census minus 40 dragmis que equantur radici 1600 dragmarum minus 64 censibus. Multiplica ergo radicem 1600 minus 64 censibus in se: venient 1600 dragme minus 64 censibus; et multiplica 4 census minus 40 in se, et venient 16 census census et 1600⁹⁶¹ dragme minus 320 censibus, que equantur dragmis 1600 minus 64⁹⁶² censibus. 619 Adde ergo utrique parti 320 census et tolle ab utraque parte 1600 dragmas: remanebunt 16 census census equales 256 censibus. Divide hec omnia per censum, et venient 16 census equales 256 dragmis. Divide ergo 256 per 16, et exibunt 16 pro quantitate census, quorum radix, que est 4, est res; quare si addantur 4 super 5 et tollantur 4 de 5 habebuntur 9 pro maiori parte et 1 pro minori.

620 Aliter: tolle de 5 et re duas radices eius et adde super 5 minus re 2 radices eius: erunt⁹⁶³ 5 et res diminutis 2 radicibus 5 et rei equales dragmis 5 minus re et⁹⁶⁴ duabus radicibus dragmarum 5 minus re. Tolle ergo ab utraque⁹⁶⁵ parte 5 et adde utrique parti rem et duas radices dragmarum 5 et rei, et erunt 2 res equales duabus radicibus 5 et rei et duabus radicibus 5 minus re. 621 Dimidia ergo hec omnia, et erunt radix 5 et rei et radix 5 minus re equales rei. Unde si multiplicaverimus rem in se, veniet census equalis⁹⁶⁶ multiplicationi radicis 5 et rei et radicis 5 minus re in se; ex qua multiplicatione proveniunt 10 et radix 100 dragmarum diminutis 4 censibus. Tolle ergo ab utraque parte 10: remanebit census diminutis 10 dragmis equales radici 100⁹⁶⁷ dragmarum minus 4 censibus. 622 Multiplica ergo census minus 10 in se, et venient census census et 100⁹⁶⁸ dragme minus 20 censibus; et multiplica radicem 100 minus 4 censibus in se, venient 100 minus 4 censibus, que equantur censui census et 100 dragmis diminutis 20 censibus. Tolle ergo ab utraque parte 100 et adde utrique parti 20 census, remanebit census census equalis 16 censibus; quare census est 16, et radix eius est 4, ut superius invenimus.

623 Et scias quod cum⁹⁶⁹ superius invenimus radicem 5 minus re cum radice 5 et rei equari uni rei, potuimus aliter quam processimus⁹⁷⁰ procedere; videlicet ut tollatur radix 5 et⁹⁷¹ rei ab utraque parte, et erit tunc res minus radice 5 et rei⁹⁷² equalis radici 5 minus re. Tunc si multiplicaverimus utramque⁹⁷³ partem in se, que provenerint erunt equalia. 624 Unde multiplicemus rem minus radice 5 et rei: venient census et 5 dragme et res minus radice 20 censuum et 4⁹⁷⁴ cuborum. Verbi gratia: duc rem in se, provenit census; et duc radicem 5 et rei in se, veniunt dragme 5 et res; et sic habemus censum et 5⁹⁷⁵ dragmas et rem. 625 Deinde duc duplum rei in diminutam radicem de 5 et rei; et hoc est multiplicare radicem 4 censuum per radicem 5 et rei, de qua multiplicatione provenit radix 20 censuum et 4⁹⁷⁶ cuborum diminuta; ergo⁹⁷⁷ census et res et dragme 5, diminuta radice 20 censuum et 4⁹⁷⁸ cuborum, equatur multiplicationi radicis 5 minus re ducta in se, scilicet dragmis 5 minus re. 626 Addamus ergo utrique parti rem et radicem 20 censuum et 4⁹⁷⁹ cuborum, et tollamus ab utraque parte 5: remanebit census et 2⁹⁸⁰ res equales radici 20 censuum et 4⁹⁸¹ cuborum. Multiplicemus etiam utramque⁹⁸² partem in se, et venient census census et 4⁹⁸³ cubi et 4⁹⁸⁴ census equales 20 censibus et 4⁹⁸⁵ cubis. Age ergo in eis secundum alzebra, et invenies census census equari 16 censibus; quare census est 16 et radix eius est 4, ut dictum est.

627 Est enim alius modus, quem demostrare nequivimus donec intelligatur quod quando duo numeri sunt, et tollatur ab uno eorum una vel plures radices eius et super alium addatur equalis multitudo radicum ipsius, et que provenerint fuerint equalia, tunc equabuntur in numero veniente ex multiplicatione radicis unius eorum in radicem alterius. Sicut modo evenit de 1 et de 9; quia extractis 2 radicibus de 9 remanserunt 3, quibus 3 equatur 1 cum duabus suis radicibus; et hec tria veniunt ex multiplicatione radicis de 1, que est 1, in radicem de 9, que est 3. 628 Et ego ostendam hec in figura: ponam tetragonum \(AG\) pro maiori numero, et aptabo super lineam \(GD\) quadratum aliud \(DE\), quod erit equale quadrato \(AG\), cum ambo sint super unum latus et anguli qui ad \(G\) sint recti; et tollam ex quadrato \(AG\) quantaslibet⁹⁸⁶ radices eius, ut dicamus 2; et sint superficies \(AC\). 629 Quare si superficies \(AC\)⁹⁸⁷ est 2 radices quadrati \(AG\), erit recta \(CD\)⁹⁸⁸ 2⁹⁸⁹ ex numeris; et accipiam in recta \(GE\) rectam⁹⁹⁰ \(EH\) equalem recte \(CD\) et per punctum \(H\) protraham⁹⁹¹ rectam \(HI\)⁹⁹² equidistantem utrique rectarum \(DG\) et \(EF\), et protraham lineam \(KC\) in punctum \(L\). Et quoniam equalis est recta \(GE\) recte \(GD\) et est equalis recta \(CD\) recte \(EH\), erunt et \(GC\) et \(GH\) sibi invicem equales. 630 Equilaterum est ergo quadrilaterum \(CH\) et⁹⁹³ etiam ⁹⁹⁴ rectiangulum, cum anguli \(G\), \(H\) sint recti et recta \(HM\) equidistet recte \(GC\); quare quadratum est quadrilaterum \(CH\), et ponam illum pro minori numero. Et quia equalis est recta \(EH\) recte \(DC\), quot unitates sunt in numero \(CD\), tot unitates sunt in numero \(EH\); quare quot radices in superficie⁹⁹⁵ \(AC\) ex⁹⁹⁶ quadrato \(AG\), tot radices sunt in superficie \(EM\) de⁹⁹⁷ quadrato \(CH\). 631 Et quia \(BG\) equalis est ex \(GE\), equalis erit superficies \(KG\) superficiei \(CE\). Sed superficies \(KG\) est id quod remanet ex quadrato \(AG\) extractis ab eo radicibus que sunt in superficie⁹⁹⁸ \(AC\), et superficies \(CE\) est id quod provenit ex coniuncto quadrati \(CH\) et radicum ipsius que sunt in superficie \(ME\). Ergo cum ex \(AG\) quadrato tolluntur tot⁹⁹⁹ radices eius quot sunt unitates in numero \(DC\)¹⁰⁰⁰, 632 et super quadratum \(CH\) adduntur tot radices eius quot unitates sunt in numero \(EH\), et numerus¹⁰⁰¹ \(EH\) equalis est numero \(CD\), concordant sibi invicem in superficie \(KG\) vel in superficie \(CE\), cum ambe ipse sibi invicem superficies sint equales. 633 Et quia superficies \(KG\) provenit ex ductu \(GC\) in \(BG\), et \(GC\) est radix quadrati \(CH\) et \(BG\) est radix quadrati \(AG\), numerus \(AG\), diminutis ab eo radicibus que sunt in superficie \(AC\), equatur cum numero \(CH\) cum adduntur ei radices eius que sunt in numero \(EM\), in numero veniente ex multiplicatione radicis unius in radicem alterius; et hoc volui demonstrare.

634 Et postquam hec demonstrata sunt, dividam 10 in duas partes et ponam minorem partem censum, maiorem vero 10 minus censu, et addam super minorem partem 2 radices eius, et erit census et 2 res que equantur multiplicationi radicis minoris partis in radicem maioris, hoc est¹⁰⁰² multiplicationi radicis census in radicem 10 minus censu, que multiplicatio est radix 10 censuum diminuto censu census; et hec est radix differentie que est inter censum census et 10 census. 635 Deinde multiplicemus censum et 2 res in se, venient census census et 4¹⁰⁰³ cubi et 4 census; et multiplicemus radicem 10 censuum minus censu census in se, venient inde 10 census minus censu census, qui equantur censui census et 4 cubis et 4 censibus. Age itaque in eis secundum alzebra, et erunt 2 census census et 4 cubi equales 6 censibus. 636 Dimidia¹⁰⁰⁴ hec omnia, et erit census census et 2 cubi equales 3 censibus. Divide hec omnia per censum: exibit¹⁰⁰⁵ census et 2¹⁰⁰⁶ res equales 3 dragmis. Age ergo in his secundum alzebra, et invenies rem esse 1, quod multiplica in se: veniet 1 pro quantitate census. Et quia nos posuimus¹⁰⁰⁷ minorem partem censum et census est 1, ergo minor pars est 1; reliquum quod est usque in 10, scilicet 9, est maior pars.

637 Et si volumus uti figura suprascripta possumus alio modo procedere, et est ut ponas quadratum \(AG\) maiorem partem et quadratum \(CH\) minorem. Abscidatur¹⁰⁰⁸ a maiori \(AG\) 2¹⁰⁰⁹ radices eius, que sunt superficies \(AC\); quare \(DC\) erit 2, et quia \(HE\) equalis est \(CD\), erit similiter \(HE\) 2; quare superficies \(EM\) continet 2 radices quadrati \(CH\). 638 Ergo cum adduntur super quadratum \(CH\) 2¹⁰¹⁰ radices eius, scilicet superficies \(ME\), provenit inde superficies \(CE\); et cum tolluntur ex quadrato \(AG\) et¹⁰¹¹ radices eius, scilicet superficies \(AC\), remanet superficies \(KG\) que est equalis superficiei \(CE\); sunt enim super equas bases et in eisdem equidistantibus. 639 His itaque intellectis, faciam quadratum \(CH\) censum et quadratum \(AG\) 10 minus censu¹⁰¹², et addam¹⁰¹³ super censum \(CH\) superficies \(DM\) et \(ME\) que sunt 4 radices eius, cum unaqueque linearum \(DC\) et \(EH\) sit 2; super que omnia addam quadratum \(FM\)¹⁰¹⁴ quod est 4 dragme, cum unaqueque linearum \(FL\)¹⁰¹⁵ et \(ML\) sit 2. 640 Est enim \(FL\)¹⁰¹⁶ equalis \(DC\) et \(ML\) recte \(HE\), et sic totum quadratum \(DE\) constat ex censu \(CH\) et ex 4 radicibus eius et ex 4 dragmis; et est quadratum \(DE\) equalis quadrato \(AG\), scilicet 10 dragmis minus censu. 641 Ergo census et 4 res et 4 dragme equantur 10 dragmis minus censu. Adde ergo utrique parti censum et tolle ab utraque¹⁰¹⁷ parte 4 dragmas: erunt 2 census et 4 res equales 6 dragmis; quare dimidium eorum, scilicet census et 2 radices, equantur 3 dragmis. 642 Est enim superficies \(CE\) census et 2¹⁰¹⁸ radices eius; ergo superficies \(CE\) est 3 dragme, et provenit ex \(CG\) in \(GE\), hoc est¹⁰¹⁹ ex \(GH\) in \(GE\). Ergo ex \(GH\) in \(GE\) veniunt 3, quibus si addatur quadratum numeri \(HN\), quod est 1, habebuntur 4 pro quadrato numeri \(GN\). Ergo \(GN\) est 2, de quibus si tollatur \(HN\) remanebit \(GH\) 1, quo in se multiplicato reddit 1 pro censu \(CH\), hoc est pro minori parte; quo extracto de 10, remanent 9¹⁰²⁰ pro maiori parte.

643 Item divisi 10 in duas partes et divisi 10 per unamquamque ipsarum partium et multiplicavi unum exeuntium in alium, et provenerunt \({1 \over 4}\) 6. Notandum est primum quod quando ex aliquo numero fiunt 2¹⁰²¹ partes et per unamquamque ipsarum partium dividitur ille numerus, erit multiplicatio unius exeuntium in alium sicut aggregatio earundem. 644 Ad quod demonstrandum, dividatur aliquis numerus \(A\) in duas partes, que sint \(B\), \(G\); et dividatur \(A\) per \(B\) et veniet \(E\), et \(A\) per \(G\) veniet \(D\). Dico quod multiplicatio \(D\) in \(E\) est sicut aggregatio \(D\) cum \(E\). Quod sic probatur: cum dividitur \(A\) per \(B\) provenit \(E\), ergo cum multiplicatur \(B\) per \(E\) provenit \(A\). Similiter cum dividitur \(A\) per \(G\) provenit \(D\), ergo cum multiplicatur \(G\) per \(D\) provenit \(A\). 645 Multiplicatio quidem ¹⁰²² ex \(B\) in \(E\) est sicut multiplicatio \(G\) in \(D\)¹⁰²³; quare est sicut \(B\) ad \(G\) ita \(D\)¹⁰²⁴ ad \(E\). Coniunctim ergo sicut \(B\) et \(G\) ad \(G\) ita \(D\) et \(E\) ad \(E\); permutatim ergo sicut \(D\) et \(E\) ad \(B\) et \(G\) ita \(E\) ad \(G\). Sunt enim numeri \(B\), \(G\) equales numero \(A\); ergo est sicut \(D\) et \(E\) ad \(A\) ita \(E\) ad \(G\). 646 Sed sicut \(E\) ad \(G\) ita ductum ex \(D\) in \(E\) ad ductum ex \(D\) in \(G\). Sed ex ductu¹⁰²⁵ \(D\) in \(G\) provenit \(A\); ergo est sicut \(E\) ad \(G\) ita productum ex \(D\) in \(E\) ad¹⁰²⁶ \(A\). Fuit etiam sicut \(E\) ad \(G\) ita coniunctum ex \(D\) et \(E\) ad \(A\); ergo coniunctum ex \(D\), \(E\) ad \(A\) est sicut ductum ex \(D\) in \(E\) ad \(A\). Quare equalis est multiplicatio \(D\) in \(E\) coniuncto¹⁰²⁷ eorundem, et hoc volui demonstrare.

647 Possunt enim hec aliter investigari si immemor non fueris de his que superius demostrata sunt, videlicet cum omnium duorum numerorum unusquisque dividatur per alium et multiplicetur unum ex¹⁰²⁸ exeuntibus in alium, quod inde semper provenit 1¹⁰²⁹; etiam et quando aliquis numerus divisus fuerit¹⁰³⁰ in duas partes, et dividatur ipse numerus per unam illarum duarum partium, quod id quod provenit ex divisione addit semper 1 super id quod provenit ex divisione alterius partis in ipsam partem. 648 Et quia hec ita sunt, ponamus aliquem numerum \(A\) divisum in partes \(B\), \(C\); et dividatur \(C\) per \(B\) et veniet res, et dividatur \(A\) per \(B\) et veniet 1 plus; et dividatur \(B\) per \(C\) et veniet denarius, et \(A\) per \(C\) et veniet 1 plus. Ergo cum dividitur \(A\) per \(B\) provenit res et dragma, et cum dividitur \(A\) per \(C\) provenit denarius¹⁰³¹ et 1. 649 Dico quod multiplicatio rei et dragme per denarium et dragmam est equalis congregationi eorundem. Verbi gratia: ex agregatione quidem eorum proveniunt 2 et res et denarius, que etiam proveniunt ex multiplicatione unius ipsarum partium in aliam; quia cum ducitur dragma in dragmam provenit 1, et ex re in denarium provenit 1, et sic habes 2; 650 et ex ductu¹⁰³² 1 quod est cum denario in rem, provenit res. Similiter ex ductu¹⁰³³ 1 quod est cum re in denarium, provenit denarius¹⁰³⁴; et sic habes 2 et rem et denarium pro multiplicatione rei et dragme in denarium et dragmam, sicuti habuisti pro agregatione eorum. 651 Et postquam hec manifesta sunt et aperta, dicemus: divisi 10 in duas partes et per unamquamque ipsarum divisi 10 et provenerunt \({1 \over 4}\) 6. Age in his secundum quod in consimili questione superius dicta sunt, et invenies. Vel pone pro una partium 2 minus re et pro alia 8 et rem, et multiplica unam ipsarum in aliam¹⁰³⁵ et illud totum per \({1 \over 4} 6\)¹⁰³⁶, et quod provenerit oppone cum 100 que proveniunt ex ductu¹⁰³⁷ 10 in se, et age secundum alzebra, et invenies rem esse nichil. Quare una ipsarum duarum partium erit 2 et alia¹⁰³⁸ 8. 652 Et si posuerimus unam illarum duarum partium 2 et rem, aliam¹⁰³⁹ 8 minus re, et multiplicabimus 2 et rem in 8 minus re et illud totum ducemus per \({1 \over 4} 6\), quod provenerit erit equale 100 dragmis. Unde cum agimus secundum alzebra in his, inveniemus rem esse 6, quibus additis cum 2 et extractis de 8, venient 2 pro una partium et 8 pro alia.

653 Et si dicemus: feci duas partes de 10 et per unamquamque ipsarum divisi 20, et provenerunt \({1 \over 2}\) 12. Quia 10 sunt medietas¹⁰⁴⁰ de 20, accipe \({1 \over 2}\) de \({1 \over 2}\) 12: erunt \({1 \over 4}\) 6; quia in qua proportione sunt 10 ad 20, in eadem est numerus qui provenit quando dividuntur 10 in duas partes et dividuntur 10 per unamquamque ipsarum duarum partium, ad numerum qui provenit ex divisione 20 in easdem partes, ut inferius demonstrabo. Quare dic: divisi 10 in duas partes et divisi 10 per unamquamque ipsarum, et provenerunt \({1 \over 4}\) 6. Age in his ut supra dictum est, et invenies unam partem de 10 esse 2 et aliam 8.

654 Et ut demostremus que promisi in hac questione, sint duo numeri \(A\), \(B\), et dividatur \(A\) in duas partes, que sint \(C\), \(D\); et dividatur \(A\) per \(C\), veniet \(E\); et dividatur \(A\) per \(D\), veniet \(F\); et dividatur \(B\) per\(C\), veniat \(G\); et dividatur \(B\) per \(D\), veniat \(H\). Dico quod est sicut \(A\) ad \(B\) ita \(E\), \(F\) ad numeros \(G\), \(H\). Quod sic probatur: quia cum dividitur¹⁰⁴¹ \(A\) per\(C\) provenit \(E\); ergo ex \(C\) in \(E\) provenit \(A\). 655 Similiter cum dividitur \(B\) per \(C\) provenit \(G\); ergo ex \(C\) in \(G\) provenit \(B\). Sed ex \(C\) in \(E\) provenit \(A\), quare est sicut \(A\) ad \(B\) ita \(E\) ad \(G\). Similiter, quia cum numeri \(F\), \(H\) multiplicantur per \(D\) faciunt numeros \(A\), \(B\); quare est sicut \(A\) ad \(B\) ita \(F\) ad \(H\). 656 Fuit enim sicut \(A\) ad \(B\) ita \(E\) ad \(G\); ergo est sicut \(A\) ad \(B\) ita numeri \(E\), \(F\) ad numeros \(G\), \(H\). Unde si \(A\) ponamus 10 et \(B\) 20, et dividantur 10 in duas partes, et in unamquamque ipsarum dividantur 10, et veniant numeri \(E\), \(F\); et dividantur 20 per easdem partes de 10, et veniant numeri \(G\), \(H\), qui sint \({1 \over 2}\) 12, ut propositum fuit, 657 erit itaque, ut demostratum est, sicut \(A\) ad \(B\) ita \(E\), \(F\) ad \(G\), \(H\), scilicet ad \({1 \over 2}\) 12. Sed \(A\) ex \(B\) est medietas; quare numeri \(E\), \(F\) ex numeris \(G\), \(H\), scilicet ex \({1 \over 2}\) 12, sunt \({1 \over 2}\), scilicet \({1 \over 4}\) 6, ut predixi. Et si numerus \(B\) esset plus vel minus de 10, semper in qua proportione essent 10 ad ipsum numerum, in eadem essent numeri \(E\), \(F\) ad numeros \(G\), \(H\). Unde potes secundum hunc modum in omnibus similibus questionibus procedere.

658 Sed si vis sine inventione numerorum \(E\), \(F\) in inventione duarum partium de 10 aliter procedere, ponamus iterum numeros \(A\), \(B\); et ex \(A\) fiant 2¹⁰⁴² partes, que sint \(C\)¹⁰⁴³, \(D\), in quibus dividamus numeros \(A\), \(B\), et venient numeri \(E\), \(F\) et \(G\), \(H\) ut supra. Dico¹⁰⁴⁴ quod multiplicatio \(C\)¹⁰⁴⁵ in \(D\) producta in summam numerorum¹⁰⁴⁶ \(G\), \(H\) est sicut multiplicatio \(A\) in \(B\). 659 Quod sic probatur: quia, ut dictum est, cum multiplicatur \(C\) in \(G\) provenit \(B\), si addiderimus numerum \(D\) in multiplicatione, erit multiplicatio \(C\) in \(D\)¹⁰⁴⁷ ducta in \(G\)¹⁰⁴⁸ sicut multiplicatio \(D\) in \(B\). Item quia cum dividitur \(B\) per \(D\) provenit \(H\)¹⁰⁴⁹, ergo si multiplicetur \(D\) per \(H\) provenit \(B\). Unde si in comune addiderimus numerum \(C\), erit multiplicatio \(D\) in \(H\) ducta in \(C\), hoc est multiplicatio \(C\) in \(D\) ducta in \(H\), sicut multiplicatio \(C\) in \(B\). 660 Fuerit etiam multiplicatio\(C\) in \(D\) ducta in \(G\) sicut \(D\) in \(B\); ergo multiplicatio \(C\) in \(D\) ducta in coniunctum ex numeris \(G\), \(H\) est sicut id quod provenit ex \(C\) in \(B\) et ex \(D\) in \(B\). Sed numeri \(C\), \(D\) sunt sicut \(A\); ergo multiplicatio \(C\) in \(D\) ducta in summa numerorum \(G\), \(H\) est sicut \(A\) in \(B\), et hoc volui demonstrare. 661 Unde ponamus \(A\) 10 et \(B\) 20, et dividantur 10 in duas partes, que sint \(C\), \(D\), in quibus cum dividuntur 20 proveniunt \({1 \over 2}\) 12, qui sint¹⁰⁵⁰ numeri \(G\), \(H\); et ponamus numerum \(C\) rem, quare numerum \(D\) erit 10 diminuta re; et multiplicemus \(C\) per \(D\), scilicet rem in 10 minus re: venient 10 res diminuto censu; 662 quibus ductis in \({1 \over 2}\) 12, scilicet in numeros \(G\), \(H\), erit illud quod provenerit equale 200 dragmis, scilicet multiplicationi numeri \(A\) in numerum \(B\), hoc est de¹⁰⁵¹ 10 in 20. Oppone ergo in his et¹⁰⁵² restaura secundum algebra, et invenies unam partem esse 2 et aliam 8. Vel pone unam partem de 10 quinque¹⁰⁵³ et rem et aliam 5 minus re, et multiplica unam earum in aliam: erunt 25 minus censu, que duc in \({1 \over 2}\) 12, et habebis similiter equale 200 dragmis.

663 Et si dicemus: de 10 feci duas partes et per unamquamque partium divisi 20, et multiplicavi unum exeuntium numerorum in alium et proveniunt 25. Pone iterum numeros \(A\), \(B\) et ex \(A\) fiant 2 partes, que sint\(C\), \(D\), et per unamquamque ipsarum dividantur¹⁰⁵⁴ \(A\) et \(B\) et proveniant¹⁰⁵⁵ numeri \(E\), \(F\) et \(G\), \(H\). Iam scis per ea que dicta sunt quod¹⁰⁵⁶ est sicut \(B\) ad \(A\) ita numeri \(G\), \(H\) ad numeros \(E\), \(F\). 664 Unde si \(B\) duplus est ex \(A\), dupli sunt \(G\), \(H\) ex \(E\), \(F\); et est etiam sicut \(A\) ad \(B\) ita \(E\) ad \(G\) et \(F\) ad \(H\)¹⁰⁵⁷; unde si dupli sunt \(G\), \(H\) ex \(E\)¹⁰⁵⁸, \(F\), duplus est \(G\) ex \(E\) et \(H\) ex \(F\). Multiplicatio ergo \(G\) in \(H\) erit quadrupla multiplicationis \(E\) in \(F\). 665 Et si tripli sunt numeri \(G\), \(H\) ex \(E\), \(F\), erit multiplicatio \(G\) in \(H\) nonupla multiplicationis \(E\) in \(F\); et si numeri \(G\), \(H\) medietas fuerint numerorum \(E\), \(F\), erit multiplicatio \(G\) in \(H\) quarta pars multiplicationis \(E\) in \(F\); et sic intelligas in quolibet casu. 666 Unde si ponamus \(B\) 20 et \(A\) 10, erunt numeri \(G\), \(H\)¹⁰⁵⁹ dupli numerorum \(E\), \(F\); quare ex \(G\) in \(H\) provenit quadruplum numeri venientis ex \(E\) in \(F\). Sed ex \(G\) in \(H\) propositum est venire 25; quare quarta eorum pars, scilicet \({1 \over 4}\) 6, veniet ex \(E\) in \(F\). Demonstratum est enim quod multiplicatio \(E\) in \(F\)¹⁰⁶⁰ est sicut agregatio \(E\) cum \(F\); ergo numeri \(E\), \(F\) sunt \({1 \over 4}\) 6. Unde revertere ad questionem, et dic: ex 10 feci 2 partes et per unamquamque divisi 10, et provenerunt \({1 \over 4}\) 6. Age post hec secundum quod dictum est superius, et invenies.

667 Aliter: adiaceant numeri prescripti ordine eodem, et multiplicetur \(C\) in \(D\) et veniat \(K\), ex \(G\) in \(H\) veniat \(L\)¹⁰⁶¹. Dico quod multiplicatio \(K\) in \(L\) est sicut multiplicatio \(B\) in se, et erit \(B\) medius in proportione¹⁰⁶² inter \(K\) et \(L\). 668 Quod sic probatur: quia cum \(B\) dividitur per \(C\) provenit \(G\), si multiplicatur¹⁰⁶³ \(C\) in \(G\) provenit \(B\). Comuniter addatur numerus \(D\): erit multiplicatio \(C\) in \(G\) ducta in \(D\) sicut \(D\) in \(B\). Sed multiplicatio \(C\) in \(G\) ducta in \(D\) est sicut multiplicatio \(C\) in \(D\) ducta in \(G\). Sed ex \(C\) in \(D\) provenit \(K\); ergo multiplicatio \(C\) in \(D\) ducta in \(G\)¹⁰⁶⁴ est sicut \(K\) in \(G\), quare multiplicatio \(K\) in \(G\) est sicut multiplicatio \(D\) in \(B\). 669 Comuniter addatur in multiplicatione numerus \(H\), et erit multiplicatio \(B\) in \(D\) ducta in \(H\) sicut multiplicatio \(K\) in \(G\) ducta in \(H\). Sed ex \(G\) in \(H\) provenit \(L\); ergo ex \(K\)¹⁰⁶⁵ in \(L\) provenit sicut ex¹⁰⁶⁶ \(B\) in \(D\) ducta in \(H\). Sed ex \(D\) in \(H\) provenit \(B\), quia cum dividitur \(B\) per \(D\) provenit \(H\); ergo ductus \(B\) in \(D\) productus¹⁰⁶⁷ in \(H\) est sicut \(B\) in se. Ergo ex \(K\) in \(L\) provenit sicut ex \(B\) in se, et hoc volui demostrare.

670 Nunc revertamur ad questionem, et dic: divisi 10 in duas partes, que sint \(C\) et \(D\)¹⁰⁶⁸, et in ipsis divisi numerum \(B\), qui sit 20, et provenerunt numeri \(G\), \(H\); et multiplicavi \(G\) in \(H\) et provenit \(L\) qui¹⁰⁶⁹ est 25. Deinde pone \(C\) rem, quare \(D\) erit 10 minus re; et multiplica rem in 10 minus re et illud totum duces in \(L\), scilicet in 25, et quod provenit erit equale 400 dragmis, scilicet multiplicationi \(B\)¹⁰⁷⁰ in se. 671 Vel pone \(C\) 5 minus re et \(D\) erit 5 et res, et multiplica 5 minus re in 5 et rem, et illud totum per 25, et habebis similiter equale 400 dragmis. Vel aliter: quia multiplicatio \(K\) in \(L\) est sicut \(B\) in se, numeri \(K\), \(B\), \(L\) in continua proportione sunt; est enim sicut \(L\) ad \(B\) ita \(B\) ad \(K\). 672 Unde si multiplicaverimus \(B\) in se et summam, que est 400, diviserimus per \(L\), scilicet¹⁰⁷¹ per 25, venient 16 pro numero \(K\). Sed numerus \(K\) provenit ex \(C\) in \(D\), et numeri \(C\), \(D\) sunt 10. Ergo dic: divisi 10 in duas partes et multiplicavi unam earum per aliam et provenerunt 16. Age in his secundum alzebra, et invenies unam illarum partium esse 2 et aliam 8.

673 Rursus divisi 10 in duas partes, et per unam illarum divisi 40 et per aliam 50, et multiplicavi unum exeuntium numerorum in alium, et provenerunt 125. Quia 40 quadrupla sunt de 10, et¹⁰⁷² 50 sunt quincupla, multiplica 4 per 5; venient 20, in¹⁰⁷³ quibus divide 125: venient \({1 \over 4}\) 6, qui sunt id quod provenit quando ex 10 fiunt due partes et dividitur¹⁰⁷⁴ 10 per unamquamque ipsarum. 674 Age deinceps ut dictum est; vel pro una duarum partium de 10 pone 5 et rem, pro alia 5 minus re; multiplica unam earum in aliam: venient 25 diminuto censu, que multiplica per 125 et quod provenerit erit equale 2000 dragmis, scilicet multiplicationi de 40 et de 50; et sic studeas operari in similibus.

675 Et si dicemus tibi: de 10 feci duas partes et per unamquamque earum divisi 10, et quod ex utraque divisione provenit duxi in se et¹⁰⁷⁵ provenit \({1 \over 4}\) 20. Accipe radicem de \({1 \over 4}\) 20, que est \({1 \over 2}\) 4, et erit illud quod provenit ex ipsis duabus divisionibus suprascriptis; operare deinceps ut supra. 676 Et si dixerit: divisi¹⁰⁷⁶ 10 in duas partes et per unamquamque divisi 10, et quod provenit multiplicavi in se, et provenerunt 30 dragme. Pone pro una duarum partium 5 et¹⁰⁷⁷ rem et pro alia 5 minus re, et duc¹⁰⁷⁸ unam earum in aliam¹⁰⁷⁹, et erunt 25 diminuto censu, que multiplica in se; erunt 625 et census census diminutis 50 censibus, que multiplica per 30: erunt 18750¹⁰⁸⁰ et 30 census¹⁰⁸¹ census diminutis 1500 censibus, que equantur 10000 dragmis que proveniunt ex quadrato de 10 multiplicato in se. 677 Adde ergo utrique parti 1500 census et tolle ab utraque parte 10000¹⁰⁸²: remanebunt 30 census census et 8750¹⁰⁸³ dragme equales 1500 censibus. Reduc ergo hec omnia ad censum census, et est ut dividas ea per 30, et erit census¹⁰⁸⁴ census et dragme \({2 \over 3}\) 291 equales 50 censibus. 678 Dimidia ergo census et medietatem eorum multiplica in se; venient 625, de quibus abice \({2 \over 3}\) \(291\); remanebunt \({1 \over 3} 333\)¹⁰⁸⁵, quorum radicem abice de 25: remanebunt 25 diminuta radice \({1 \over 3}\) 333 pro quantitate census, quorum radix erit res. Quam rem adde cum 5 et tolle eam de¹⁰⁸⁶ 5 et habebis quesitum.

679 Item divisi 10 in duas partes et per unamquamque divisi 40, et quod provenit multiplicavi in se et provenerunt 625. Pone pro una parte 5 et rem et pro alia 5 minus re, et duc unam earum in aliam et illud totum per 25, scilicet per radicem de 625; et quod provenit equabitur 400¹⁰⁸⁷ dragmis, scilicet multiplicationi de 10 in 40. Age deinceps ut supra, et invenies unam ipsarum partium 2, aliam 8.

680 Divisi 10 in duas partes, et per unam illarum divisi 10 et quod provenit multiplicavi per aliam partem, et provenerunt \({1 \over 4}\) 20. Pone unam illarum duarum partium rem¹⁰⁸⁸ et aliam 10 diminuta re. Et divide 10 per rem; exibunt 10 divisa per rem, que multiplica per 10 minus re: veniet 100 minus 10 rebus divisa per rem, que equantur \({1 \over 4}\) 20. 681 Multiplica ergo hoc totum per rem: venient 100 minus 10 rebus, que equantur rebus \({1 \over 4}\) 20. Adde ergo utrique parti 10 res: erunt res \({1 \over 4}\) 30 equales 100 dragmis. Divide ergo 100 per \({1 \over 4}\) 30: venient \({4~~3 \over 11~~11} 3\) pro quantitate rei. Residuum quod est usque in 10, scilicet \({7~~7 \over 11~~11} 6\), est alia pars.

682 Et si dicemus tibi: trigesiplum¹⁰⁸⁹ cuiusdam census multiplicavi per 30 et quod provenit fuit equale additioni 30 dragmarum et trigesipli¹⁰⁹⁰ eiusdem census. Pone pro ipso censu rem, et multiplica 30 res per 30: venient 900 res, que equantur 30 rebus et 30¹⁰⁹¹ dragmis. Tolle ab utraque parte 30 res: remanebunt 870 res equales 30 dragmis. Divide ergo 30 per 870: veniet \({1 \over 29}\) dragme pro quantitate rei¹⁰⁹² .