63 Modus alius proportionis in tribus numeris

Et si fuerit sicut \(AB\) ad \(AG\) ita \(DB\) ad \(DG\), fueritque \(AG\) ignotus, reliqui \(AB\) et \(AD\) sint noti; in hac proportione demonstrabo tertium numerum excedere non posse secundum sic: quoniam est sicut ¹¹⁰ \(AB\) ad \(AG\) ita \(BD\) ad \(GD\), erit ergo si diviseris sicut \(BG\) ad \(GA\) ita \(BG\) ad¹¹¹ \(GD\). Sed que eidem eandem proportionem habent, sibi invicem sunt equalia; ergo numeri \(GD\) et \(AG\) sibi invicem sunt equales, minor maiori, quod est impossibile; maior est enim \(GA\) quam \(GD\). 64 Unde non¹¹² potest salvari, nisi numerus \(BG\) sit zephirum, hoc est nichil; et tunc erit sicut zephirum et \(GA\) ad \(GA\)¹¹³ ita zephirum et \(GD\) ad \(GD\)¹¹⁴, hoc est sicut \(GA\) ad \(GA\) ita \(GD\) ad \(DG\). Est enim \(GD\) id in quo numerus \(AG\) excedit numerum \(AD\); quare numerus \(AB\) est equalis numero \(AG\), cum superhabundantia \(BG\) super \(GA\) sit nichil. Ergo cum notus est numerus \(AB\)¹¹⁵, notus est numerus \(AG\).

65 Aliter: quia est sicut \(AB\) ad \(AG\) ita \(BD\) ad \(GD\)¹¹⁶, erit cum convertetur sicut \(AB\) ad \(DB\) ita \(GA\) ad \(GD\). Ponamus \(AB\) esse 8 et \(AD\) esse 2, quare \(BD\) est¹¹⁷ 6; quare est sicut 8 ad 6 ita \(AG\) ad \(GD\). Sed 8 ad 6 sicut 4¹¹⁸ ad 3; ergo si extraxerimus 3 de 4, remanebit 1; quare est sicut 1 ad 3 ita \(AD\) ad \(DG\). 66 ¹¹⁹ Quare si multiplicationem¹²⁰ de 2¹²¹ in 3 diviseris per 1, venient 6 pro numero \(GD\); cui si addatur \(DA\), scilicet 2, erit numerus \(GA\) equalis numero \(AB\), ut predixi. Nec est enim necessarium ponere ignotum aliquem numerorum \(AB\) et \(AD\), quia si notus est numerus \(AG\), notus et numerus \(AB\), cum sit ei equalis, et si noti sunt numeri \(AG\) et \(AB\), notus erit et numerus \(AD\), cum possit esse qualem vis numerus¹²² minor numero \(AG\).

67 Modus alius proportionis in tribus numeris

Sit¹²³ vero proportio \(AG\) ad \(AD\) sicut proportio \(BG\) ad \(GD\), et sit ignotus primus numerus \(AG\), reliqui vero \(AB\) et \(AD\) sint noti. Quoniam est sicut \(BG\) ad \(GD\) ita \(GA\) ad \(DA\), erit cum permutaveris sicut \(BG\) ad \(GA\) ita \(GD\) ad \(DA\); et cum composueris, erit sicut \(BG\), \(GA\) ad \(GA\), hoc est sicut \(BA\) ad \(GA\) ita \(GD\), \(DA\), hoc est \(GA\), ad \(DA\); quare numeri \(AB\), \(AG\), \(AD\) continui proportionales sunt. 68 Ergo cum ignotus sit numerus \(AG\), multiplicabitur \(AD\) in \(AB\), cuius summe¹²⁴ radix est numerus \(AG\). Et si fuerit ignotus numerus \(AB\), divides quadratum numeri \(AG\) per \(AD\); et e¹²⁵ contra si ignotus fuerit numerus \(AD\), nec non et si duo illorum fuerint ignoti, poteris per reliquum ipsos invenire. 69 Verbi gratia: sit numerus \(AD\) 8; ponam \(AG\) 12 ad libitum et multiplicabo 12 in se et summam¹²⁶ dividam per 8: provenient 18 pro numero \(AB\). Et si secundus fuerit 12, ponam ad libitum unum ex reliquis, in quo dividam quadratum numeri \(AG\); et si maior eorum fuerit notus, faciam ex eo sicut feci de minori.

70 Modus alius proportionis in tribus numeris

Ponam etiam ut sit sicut \(AG\) ad \(AD\) ita \(BD\) ad \(GD\), et sit notus uterque numerorum \(AD\) et \(AB\); reliquus vero \(AG\) sit ignotus. Et quoniam est sicut \(AG\) primus ad \(AD\) secundum ita \(BD\) tertius ad \(GD\) quartum, erit ergo multiplicatio \(AD\) in \(DB\) equalis multiplicationi \(AG\) in \(GD\). 71 Sit ergo 6 numerus ¹²⁷ \(AB\), et numerus \(AD\) sit 2; quare \(DB\) est 4, et sic ex \(AD\) in \(DB\) veniunt 8, quibus multiplicatio \(GA\) in \(GD\) est equalis¹²⁸. Et quoniam est notus numerus \(AD\), quadratum ipsius medietatis, scilicet 1, adde cum 8: erunt 9, de quorum radice, scilicet de 3, extrahe dimidium \(AD\): remanebunt 2 pro numero \(GD\), quibus si addatur numerus \(DA\) habebis 4 pro numero \(AG\).

72 Et si fuerit ignotus numerus \(AB\), invenietur cum multiplicationem \(AG\) noti in \(GD\) notum diviseris per \(AD\) notum; tunc procreabitur inde numerus \(BD\)¹²⁹, qui est 4, cui si addatur numerus \(AD\), erit 6 numerus \(AB\).

73 Et si numerus \(AD\) fuerit ignotus tantum, quia est sicut \(AG\) ad \(AD\) ita \(BD\) ad \(GD\), erit cum dividetur¹³⁰ sicut \(AG\) primus ad \(GD\) ita \(DB\) ad \(GB\) quartum¹³¹. Quare multiplicabis \(AG\) notum, scilicet 4, per 2: erunt 8, quibus equatur multiplicatio \(GD\) secundi in \(DB\) tertium. 74 Quare si acciperis quadratum dimidii \(GB\), qui est 1, et addes eum cum 8, erunt 9, super¹³² radicem quorum si addideris¹³³ 1, scilicet dimidium numeri \(GB\), habebis 4 pro numero \(DB\); que si auferatur de numero \(AB\), remanebunt 2 pro numero \(AD\). 75 In hac autem proportione, si unus¹³⁴ numerus fuerit notus¹³⁵ tantum, poteris per ipsum reliquos invenire. Verbi gratia: quia est sicut \(AG\) ad \(AD\) ita \(BD\) ad \(GD\), ergo erit sicut \(AD\) ad \(AG\) ita \(DG\) ad \(DB\); sed cum diviseris, erit sicut \(AD\) ad \(DG\) ita \(DG\) ad \(GB\); ergo numeri \(AD\), \(DG\)¹³⁶, \(GB\) continui proportionales sunt. Primum quidem si numerus \(AD\) fuerit notus, ponam \(DG\) ad libitum, cuius quadratum dividam per \(AD\) notum, et sic perveniet numerus \(GB\). 76 Similiter si fuerit notus numerus \(GB\), ponam ad libitum et numerum \(GD\) et multiplicabo \(GD\) in se, et quod provenerit dividam per \(GB\) et veniet numerus \(AD\). Et si fuerit notus numerus \(AG\), accipiam ex eo ad libitum aliquem numerum, qui sit numerus \(GD\). Similiter et pro numero \(AD\) ponam numerum qualem voluero, in quo dividam quadratum numeri \(GD\) et proveniet numerus \(GB\).

77 Modus alius proportionis in tribus numeris

Ponam etiam ut sit sicut \(AG\) ad \(AD\) ita \(DG\) ad \(GB\), et sit ignotus numerus \(AG\); ex reliquis autem numerus \(AD\) sit 4 et numerus \(AB\) sit 10. Quoniam est sicut \(AG\) ad \(AD\) ita \(DG\) ad \(GB\)¹³⁷, erit ergo sicut compositus numerus ex \(AG\) et \(AD\) primus ad \(AD\) secundum ita compositus ex \(DGB\) tertius ad \(GB\)¹³⁸ quartum; 78 quare id quod provenit ex \(AD\) in \(DB\), quod est 24, equatur ei quod provenit ex \(AG\) et \(AD\) in \(GB\). Producatur enim recta \(BA\) in \(E\), et sit \(AE\) equalis numero \(AD\); erit¹³⁹ tota \(EB\) 14, que est divisa¹⁴⁰ in duo super \(G\), ita quod multiplicatio \(EG\)¹⁴¹ in \(GB\) est 24¹⁴². 79 Dividatur ergo linea \(EB\) in duo equa super punctum \(F\): erit \(BF\) 7, de quorum quadrato si auferatur multiplicatio \(BG\) in \(GE\) remanebunt 25 pro quadrato linee \(GF\); quare \(GF\) est 5, que¹⁴³ auferantur ex \(FB\): remanebunt 2 pro numero \(GB\), quibus extractis ex numero \(AB\) habebuntur 8 pro numero \(AG\).

80 Et si numerus \(AB\) fuerit ignotus, reliqui vero \(AD\) et \(AG\) sint noti; quia est sicut \(AG\) notus ad \(AD\) notum ita \(DG\) notus ad \(GB\) ignotum, multiplicabis ergo \(AD\) in \(DG\), scilicet 4 per 4, et divides per \(AG\)¹⁴⁴: venient 2 pro \(GB\), quibus additis cum \(AG\) erit totus \(AB\) 10.

81 Sed sit ignotus numerus \(AD\) tantum; et quia est sicut \(AG\) notus ad \(AD\) ita \(DG\) ad \(GB\) notum, multiplicatio ergo ex \(AG\) in \(GB\), que est 16, equatur multiplicationi \(AD\) secundi in tertium \(DG\); que multiplicatio cum sit equalis quadrato medietatis numeri \(AG\), scimus numerum \(AD\) dimidium esse numeri \(AG\); ergo \(AD\) est 4.

82 Modus ultimus proportionis in tribus numeris

Sit itaque sicut \(AG\) ad \(AD\) ita \(DB\) ad \(GB\). In hac¹⁴⁵ autem proportione invenietur semper quod primus¹⁴⁶ numerus est equalis superfluo tertii numeri super secundum; quod demonstrabitur ita: quia est sicut \(AG\) ad \(AD\) ita¹⁴⁷ \(DB\) ad \(GB\), erit si permutabitur¹⁴⁸ et dividetur sicut \(AD\) ad \(DG\) ita \(BG\) ad \(DG\). Que ergo eidem eandem proportionem habent, sibi invicem equalia sunt; equalis ergo est numerus \(AD\) numero \(GB\), ut predixi. 83 Unde si ignotus fuerit numerus \(AG\) tantum, extrahes numerum \(AD\) ex numero \(BA\) et remanebit notus numerus \(AG\). Et si fuerit numerus \(AB\) ignotus, addes numerum \(AD\) super numerum \(AG\): habebis numerum \(AB\). Et si fuerit ignotus numerus¹⁴⁹ \(AD\), extrahes numerum \(AG\) ex numero \(AB\): residuum erit numerus \(AD\). 84 Et notandum: cum¹⁵⁰ predictorum¹⁵¹ trium numerorum¹⁵² omnes tres numeri ponantur ignoti et summa eorum ponatur nota, tunc inveniendi erunt tres numeri qui sint in ipsa quam volueris proportione, et eos insimul iunges; et si id quod provenerit fuerit equale summe quesite, habebis utique propositum; sin autem cadet proportionaliter, videlicet sicut inventa fuerit ad quesitam, ita unusquisque trium inventorum numerorum erit ad suum consimilem.