85 Incipit de proportione quattuor numerorum

Cum quattuor numeri \(A\), \(B\), \(G\), \(D\) proportionales fuerint: ut \(A\) ad \(B\) ita \(G\) ad \(D\), erit permutatim sicut \(B\) ad \(A\) ita \(D\) ad \(G\), et sicut \(G\) ad \(A\) ita \(D\) ad \(B\), et multiplicatio \(A\) in \(D\) equatur multiplicationi \(B\) in \(G\). Quare si fuerit ignotus numerus \(D\) divides factum ex \(B\) in \(G\) per \(A\), et si \(A\) fuerit ignotus divides per \(D\) factum ex \(B\) in \(G\), et si fuerit ignotus numerus \(B\) vel \(G\), per notum ipsorum divides factum ex \(A\) in \(D\). 86 Sed si proponatur¹⁵³ quod summa numerorum \(A\), \(B\) sit 14 et numerus \(G\) sit 22 et numerus \(D\) sit 6, et vis scire quantum sit numerus \(A\) vel numerus \(B\); quia est sicut \(A\) ad \(B\) ita \(G\) ad \(D\), erit ergo ut \(A\), \(B\) ad \(B\) ita \(G\), \(D\)¹⁵⁴ ad \(D\); 87 quare multiplicabis coniunctum ex \(A\) et \(B\), scilicet 14, per \(D\), hoc est per 6; erunt 84, que divide per coniunctum ex \(G\), \(D\), hoc est per 28: venient 3 pro numero \(B\), quibus extractis ex 14 remanent 11 pro numero \(A\). Similiter procedes si numeri \(A\) et \(B\) , nec non et summa ignotorum \(G\), \(D\) fuerit nota.

88 Item si fuerit ignotus unusquisque numerorum \(A\), \(G\), sed summa eorum sit nota, et sint etiam noti numeri \(B\), \(D\); erit sicut summa \(B\), \(D\) nota ad notum \(D\) ita \(A\), \(G\) notum ad \(G\) ignotum; quare multiplicabis coniunctum ex \(A\), \(G\) in \(D\) et divides per coniunctum ex numeris \(B\), \(D\), et quod provenerit erit numerus \(G\), quo extracto ex summa numerorum \(A\), \(G\), remanebit numerus \(A\) notus. Similiter facies cum ignoti fuerint numeri \(B\), \(D\) et eorum summa sit nota, nec non et unusquisque numerorum \(A\), \(G\) sit notus.

89 Item sit sicut \(A\) ad \(B\) ita \(G\) ad \(D\) et sit summa numerorum \(B\), \(G\) nota, sed unusquisque eorum sit ignotus, et sint etiam noti numeri \(A\), \(D\), quorum \(A\) sit 6 et \(D\) sit 9, et summa numerorum \(B\), \(G\) sit 21. Quia factus ex \(A\) in \(D\), scilicet 54, equatur facto ex \(B\) in \(G\), oportet ut dividantur 21 in duas partes, quarum una multiplicata per aliam facient 54. 90 Ergo ex quadrato medietatis de 21, scilicet de \({1 \over 4}\) 110, extrahes 54, et radicem residui, que est \({1 \over 2}\) 7, extrahe de \({1 \over 2} 10\)¹⁵⁵: remanent 3 pro uno ex numeris \(B\), \(G\); quibus extractis de 21 remanent 18 pro alio numero; erit enim sicut 6 ad 3 ita 18 ad 9, vel sicut 6 ad 18 ita 3 ad 9. Eodemque modo procedes cum summa numerorum \(A\), \(D\) ignotorum fuerit nota cum numeris \(B\), \(G\). 91 Procedit¹⁵⁶ enim ex hoc talis questio, quod quidam emit rotulos 6 nescio pro quot bizantiis, sed pro bizantiis 9 habuit rotulos nescio quot¹⁵⁷ eadem ratione¹⁵⁸, sed summa rotulorum et bizantiorum fuerit 36; de quibus extrahendi sunt rotuli 6 et bizantii 9: remanent 21 pro summa duorum ignotorum numerorum, qui adsimulantur numeris \(B\), \(G\).

92 Sit item proportio numeri \(AB\) ad numerum \(G\) sicut proportio \(DE\) ad numerum \(Z\) et sint ignoti numeri \(AB\) et \(G\); numeri autem \(DE\), \(Z\) sint noti, et sit notum superfluum numeri \(AB\) super \(G\), quod sit numerus \(AC\). Et quia maior est numerus \(AB\) quam \(G\), maior erit numerus \(DE\) quam \(Z\). Sumatur itaque ex numero \(DE\) numerus \(FE\) equalis numero \(Z\); 93 et quia est sicut \(AB\) ad \(G\) ita \(DE\) ad \(Z\), erit itaque sicut \(AB\) ad \(CB\) ita \(DE\) ad \(FE\). Quare si diviseris, erit sicut \(AC\) notus ad \(CB\) ignotum ita \(DF\) notus ad \(FE\) notum. Quare multiplicabis \(AC\) primum¹⁵⁹ per \(EF\) quartum et divides per \(DF\) tertium, et proveniet¹⁶⁰ \(CB\), scilicet \(G\) notus; quo addito cum \(AC\) noto¹⁶¹, erit notus totus numerus \(AB\).

94 Similiter si fuerint noti numeri \(AB\) et \(G\), et numeri \(DE\) et \(Z\) sint ignoti, sed sit notum id in quo numerus \(DE\) excedit¹⁶² numerum \(Z\), quod sit numerus \(DF\). Accipiam ergo ex numero \(AB\) numerum \(CB\) equalem numero \(G\): remanebit \(AC\) notus¹⁶³, eritque¹⁶⁴ proportio noti \(DF\) ad ignotum \(FE\) sicut \(AC\) noti ad \(CB\)¹⁶⁵ notum; quare multiplicabitur \(DF\) in \(CB\)¹⁶⁶ et summa dividetur per \(AC\), et quod exierit erit numerus \(FE\), hoc est numerus \(Z\), super quem si additus fuerit numerus \(DF\) erit notus numerus \(DE\).

95 Sed sint ignoti numeri \(AB\) et \(DE\), et uterque numerorum \(G\), \(Z\) sit notus, nec non et superfluum \(AB\) supra \(DE\), quod sit \(AC\). Quoniam est sicut \(AB\) ad \(G\) ita \(DE\) ad \(Z\), permutatim ergo erit sicut \(AB\) ad \(DE\)¹⁶⁷ ita \(G\) ad \(Z\). Sit itaque numerus \(G\) 9, et numerus \(Z\) sit 3, et superfluum \(AB\) super \(DE\), hoc est \(AC\), sit 8. Et quoniam est sicut \(G\) ad \(Z\) ita \(AB\) ad \(DE\), erit ergo sicut superfluum \(G\) super \(Z\), scilicet 6, ad superfluum \(AB\) super \(DE\), scilicet ad 8, sic¹⁶⁸ \(Z\) ad numerum \(DE\). 96 Quare multiplicabis numerum \(Z\) per 8; erunt 24, que divides per 6: veniunt 4 pro numero \(DE\), cui addito numero¹⁶⁹ \(AC\) habebuntur 12 pro numero \(AB\). Aliter: erit sicut 6 ad 8 ita numerus 9¹⁷⁰ ad numerum \(AB\); quare multiplicabis 8 per 9 et divides per 6: venient 12, de quibus si auferatur numerus \(AC\), remanebunt 4 pro numero \(DE\)¹⁷¹, ut predixi.

97 Sed sint numeri \(AB\) et \(Z\) ignoti, et unusquisque numerorum \(DE\) et \(G\) sit notus, nec non et superfluum \(AB\) super \(Z\), quod sit \(AC\); et quia est sicut \(AB\) ad \(G\) ita \(DE\) ad \(Z\), erit multiplicatio \(AB\) in \(Z\), hoc est ex \(AB\) in \(CB\) nota¹⁷², cum sit¹⁷³ equalis multiplicationi notorum \(DE\) in \(G\); cui multiplicationi si addatur quadratus numeri \(IC\), scilicet dimidii numeri \(AC\)¹⁷⁴, provenit¹⁷⁵ notus quadratus numeri \(IB\); quare radix ipsius est \(IB\), de qua si auferatur \(IC\) notus remanebit \(CB\), scilicet \(Z\), notus. 98 Si addatur \(AC\) notus, erit etiam notus numerus \(AB\). Que etiam demonstrentur in numeris: ex \(G\) quidem in \(DE\), scilicet¹⁷⁶ ex 9 in 4, fiunt 36¹⁷⁷, quibus si addatur quadratus medietatis numeri \(AC\), qui numerus \(AC\) sit 9, erunt \({1 \over 4}\) 56; quorum radix, que est \({1 \over 2}\) 7, est numerus \(IB\); de quo si auferatur numerus \(IC\) remanebunt 3 pro numero \(CB\), hoc est pro numero \(Z\); cum quibus si addantur 9, idest numerus \(AC\), erunt 12 pro toto numero \(AB\).

99 Item sit sicut \(A\) ad \(B\) ita \(G\)¹⁷⁸ ad \(D\), et sit summa quadratorum ¹⁷⁹ numerorum \(A\), \(B\) 225, et numerus \(G\) sit 4 et numerus \(D\) sit 3. Addes quadratum de 4 cum quadrato de 3, scilicet 16 cum 9: erunt 25; proportio enim de 25 ad 9 est sicut proportio de 225 ad quadratum numeri \(B\). 100 Quare multiplicabis 9 per 225 et divides per 25: exibunt 81 pro quadrato numeri \(B\)¹⁸⁰; quare numerus \(B\) est 9. Ex his autem colliges omnia evenire in quadratis quattuor numerorum proportionalium que diximus in numeris simplicibus, etiam et eadem provenient in cubis ipsorum.