4 Incipit pars prima de multiplicatione duarum figurarum contra duas⁴

Numerus se ipsum multiplicare dicitur quando similis per similem multiplicatur, ut 12 per 12 vel 26 per 26. Numerus numerum multiplicare dicitur quando numeri se invicem multiplicantes fuerint ad invicem inequales, ut 12 per 37 et 46 per 59. Denique nos primum numeros secundi gradus ut promisimus, scilicet a 10 usque in centum in semetipsos multiplicare doceamus.

5 Cum autem vis multiplicare aliquem numerum secundi gradus per aliquem numerum eiusdem gradus, sive equales sint⁵ numeri sive inequales, scribes numerum⁶ sub numero ita ut similis gradus sit sub simili gradu, et⁷ si numeri sunt inequales sit maior sub minore; et incipiat multiplicationem a primo gradu numerorum in tabula prescriptorum. 6 Siquidem multiplicet figuram primi gradus superioris numeri in tabula prescripti per figuram primi gradus subterioris, et scribantur unitates super primum gradum numerorum prescriptorum et per unamquamque decenam retineat in manu sinistra unum. 7 Deinde multiplicet figuram primi gradus superioris numeri per figuram secundi gradus, scilicet per ultimam subterioris numeri, et econtra figura primi gradus subterioris multiplicetur⁸ per ultimam figuram superioris, et addantur in manu cum servatis decenis; et iterum unitates scribantur super secundum gradum, et retineantur in manu decene. 8 Item multiplicetur ultima figura superioris numeri per ultimam subterioris et quod ex multiplicatione evenerit cum servatis decenis in⁹ manu superaddatur, et unitates in tertio gradu et decene si fuerint in quarto ponantur, et habebitur multiplicatio quorumlibet numerorum a decem usque in centum.

9 Verbi gratia¹⁰: ut si quesierit multiplicationem de 12 in 12, scribantur 12

descriptio prima 4   12   12

¹¹ bis in tabula dealbata in qua littere leviter deleantur sicuti in hac margine scriptum cernitur, primus gradus subterioris numeri sub primo superioris, hoc est figura binarii sub figura binarii, et secundus gradus subterioris sub secundo superioris, scilicet figura unitatis sub figura unitatis, et multiplicet binarium per binarium: erunt 4 que ponat super utrumque binarium ut in prima descriptione posita sunt. 10 Item¹²

secunda 44   12   12

¹³ multiplicentur superiora 2 per 1¹⁴ quod¹⁵ est in secundo gradu inferioris numeri: erunt 2 que serventur in manu. Et multiplicet iterum 2 subterioris numeri per 1 superioris: erunt 2, que addat cum duobus superius servatis: erunt 4, que ponat super unitatem utramque. 11 Facient¹⁶ ipsa¹⁷ 4 secundum gradum post priora¹⁸ posita 4 que fecerant primum gradum, ut in

ultima 144   12   12

¹⁹ secunda descriptione describitur. Et adhuc multiplicetur 1 de superiori numero per 1 de subteriori: faciet²⁰ 1, quod 1 scribatur in tertio gradu, scilicet post 44 descripta²¹, ut in tertia²² et ultima descriptione ostenditur. Et in²³ tot ascendit multiplicatio de 12 in se ipsa²⁴, scilicet 144.

12 Iterum ut lucidius clarescat, 37 per 37 multiplicentur. Scribantur

prima 9   37   37 secunda 69   37   37 tertia proba est 1 1369   37   37

²⁵ quidem 37 sub 37 ut superius de 12 diximus, et multiplicentur 7 per 7: erunt 49. Ponantur itaque 9 super utrumque²⁶ 7 ut in prima descriptione ostenditur, et pro quattuor decenis²⁷ que sunt in 49 serventur 4 in manu. Et multiplicentur 7 de superiori numero²⁸ per 3 de inferiori et 7 de inferiori per 3 de superiori et iungantur insimul: erunt 42, quibus additis cum 4 superius servatis²⁹ erunt 46. 13 Scribantur unitates de 46, que sunt 6, super utraque³⁰ 3, ut in secunda descriptione denotatur, et 4 pro quattuor decenis que sunt in 46 in manu serventur. 14 Et adhuc multiplicentur 3 de superiori numero per 3 de inferiori³¹: erunt 9, que addat³² cum 4 modo in manu servatis: erunt 13. Ponantur 3 de 13 in tertio gradu et 1 in quarto, ut continetur in tertia et ultima descriptione.

15 Que³³ multiplicatio si recta est ita cognoscitur. Iungantur quidem figure que sunt in superioribus 37, scilicet³⁴ 3 cum 7: erunt 10, de quibus demantur 9: remanebit 1, quod servetur. Eodemque modo colligantur figure de 37 inferioribus et demantur inde 9: remanebit similiter 1. 16 Multiplicetur ergo 1 quod remansit de superioribus 37 per 1 quod remansit de inferioribus: faciet 1, quod vocetur pensa vel probatio et servetur in tabula super ipsam multiplicationem, ut in tertia descriptione cernitur. Postea colligantur figure que sunt in summa multiplicationis, et de collecta quantitate demantur 9 quotiens potuerit³⁵, et si 1 remanebit sicuti³⁶ pro pensa servatum est recta utique erit multiplicatio. 17 ^[1] Verbi gratia: ut si iunxerimus figuras que sunt in summa multiplicationis, scilicet 1 et 3 et 6 et 9, erunt³⁷ 19, de quibus extrahe bis novenarium: remanebit 1 ut pro pensa³⁸ prediximus debere³⁹ remanere. Vel de dictis 19 dele 9 que sunt in primo gradu ipsorum: remanebit similiter 1. Et nota: cum addis figuras de 37, scilicet 3 cum 7, tunc dividis 37 per 9, de qua divisione remanet 1 sicut remansit ex 10 que procreata fuerunt⁴⁰ ex addictione 3 et 7 cum ex eis extracta fuerunt 9. Nam residuum quod remanet ex quovis numero diviso per 9 est summa que procreatur ex additatione⁴¹ omnium figurarum facientium ipsum numerum.

18 Et notandum rursus cum aliquis numerus dividitur in partes et unaqueque partium multiplicatur per aliquem numerum, sunt ille multiplicationes in unum collecte equales multiplicationi totius numeri divisi in numerum in quem multiplicate fuerunt omnes partes ipsius. 19 Ergo multiplicationes de 36 per⁴² 37 et de 1 per 37 in unum coniuncte equantur multiplicationi de 37 in 37. Sed ex multiplicatione de 36 in 37 provenit numerus qui creatus est ex aliqua multitudine novenariorum, cum 36 sint concreta⁴³ ex novenariis. Quare numerus surgens ex 36 in 37, si divisus fuerit per 9, nichil ex eo remanebit indivisibile. 20 Item multiplicatio de 1 in 37 est equalis summe multiplicationis de 1 in 36 et de 1 in 1. Sed ex multiplicatione de 1 in 36 provenit numerus qui integraliter dividitur per 9; multiplicatio ergo de 1 in 1, scilicet 1, remanet indivisibilis per 9. Ergo de 37 in 37⁴⁴ divisa per⁴⁵ 9 remanet 1, quod 1⁴⁶ habetur ex collectione figurarum omnium que sunt in summa de 37 in 37, ut superius invenimus. Vel ex dicta summa proice 9, remanebunt 136, de quibus deme 3 et 6 cum coniuncta faciant 9: remanebit similiter 1 indivisibile⁴⁷ de 1369 divisis per 9.

21 Item si multiplicare vis⁴⁸ 98 per 98, scribantur ut predixi⁴⁹ 98 sub 98 et multiplicentur 8 per 8: erunt 64. Ponantur 4 super utraque⁵⁰ 8 et serventur⁵¹ pro decenis⁵² in manu 6, et multiplicentur 8 per 9; erunt 72, et iterum econtra multiplicentur 8 de inferiori per 9 de superiori; erunt similiter 72, que iungantur cum aliis 72 et cum 6 in manu servatis: erunt 150. Et cum non sit unitas in predictis 150, ponendum est zephyrum super utraque 9, et serventur pro decenis in manu 15. 22 Et

proba est 1 9604   98   98

⁵³ multiplicentur 9 per 9; erunt 81 que addantur cum 15 in manu servatis: erunt 96, de quibus 96⁵⁴ scribantur 6 in tertio gradu et 9 in quarto, ut in hac descriptione cernitur. Modo videamus si hec multiplicatio recta est. Iungantur figure de superiori 98, scilicet 9 cum 8, et demantur⁵⁵ 9, remanebunt 8. Iterum illud idem fiat de inferioribus 98, remanebunt similiter 8. Et multiplicentur 8 per 8, erunt 64, de quibus extrahantur omnes novene que sunt in eisdem 64: remanebit pro pensa 1.

23 Vel aliter: iungantur figure que sunt in predictis⁵⁶ 64, scilicet 6 cum 4, erunt 10, de quibus demantur 9: remanebit similiter 1. Postea colligantur figure que sunt in summa multiplicationis, scilicet 9 et 6 et 0 et 4. Tamen non est necesse ut figura novenarii colligatur in aliqua simili⁵⁷ probatione, cum novenarius semper eici vel extrahi precipiatur. Unde colligantur 6 et 0 et⁵⁸ 4; erunt 10, de quibus demantur 9: remanebit 1 pro pensa, sicuti remanere oportebat.

24 Cum autem volueris multiplicare aliquem numerum de secundo gradu in se non habentem unitates, scilicet⁵⁹ in primo gradu, ut in 10 et 40 vel 90, in quorum capitibus zephyrum semper esse necesse est, sic erit faciendum: scribat⁶⁰ numerum bis, ut supra dixi⁶¹, et multiplicabitur⁶² secundus gradus per secundum tantum, et anteponantur⁶³ summe duo zephyra⁶⁴, et sic habebimus summam⁶⁵ cuiuslibet dictarum multiplicationum. 25 Utpote si queratur⁶⁶ multiplicatio de

4900 70 70

⁶⁷ 70 in 70, scribantur itaque utraque 70 supradicto modo, et multiplicetur figura septenarii que est in secundo gradu superioris⁶⁸ numeri per 7 inferioris; erunt 49, ante quem⁶⁹ numerum ponantur duo zephyra, scilicet pro his que sunt ante utraque 7: faciunt⁷⁰ 4900, que sunt⁷¹ summa quesite multiplicationis.

26 Superscripta⁷² itaque via numeri secundi gradus per numeros eiusdem gradus multiplicantur, et quamvis nil aliud nisi quod dictum sit ibi dici possit, tamen ut lucidius clarescat quasdam proponam multiplicationes.

Si queratur multiplicatio⁷³ de 37 in 49, scribantur 49 sub 37, scilicet maior numerus sub minore⁷⁴ et⁷⁵ similis gradus sub simili gradu, ut in hac margine cernitur, et multiplicentur 7 per 9: erunt 63. 27 Ponantur⁷⁶ 3 super 7 et pro decenis serventur in manu 6, et multiplicentur 7 per 4 in cruce: erunt 28, que

proba est 4 1813   37   49

addantur⁷⁷ cum 6 in manu servatis: erunt⁷⁸ 34. Item multiplicentur 9 per 3; erunt 27, que addantur⁷⁹ cum 34: erunt 61. Ponatur⁸⁰ 1 super 3 et pro decenis serventur in manu 6. Et multiplicentur 3 per 4, erunt 12, que addat cum 6: erunt 18, que⁸¹ ponat post 13⁸² superius posita⁸³: egredientur pro summa dicte multiplicationis 1813, ut hic ostenditur.