7 Probatio²⁰

Si autem ipsam collectionem per pensam probare voluerit, accipiat pensam per novenarium de 4321 que est 1, sicuti in multiplicationibus docetur; que addat cum pensa de 506789 que²¹ est 8, erunt 9 de quibus²² demantur 9: remanet 0 quod est pensa. Et ita si acceperit pensam de summa iunctionis, scilicet de 511110, zephyrum²³ inveniet eam esse, ut oportet. 8 Demum ut ostendam²⁴ unde talis probatio procedat, sint duo numeri \(AB\) et \(BG\) quos insimul²⁵ addere volumus; erit ergo coniunctus ex eis numerus \(AG\). Dico quidem quod ex addita²⁶ pensa numeri \(AB\) cum pensa numeri \(BG\) provenit pensa \(AG\)²⁷. Sit primum quod unusquisque numerorum \(AB\) et \(BG\) ²⁸ dividatur integraliter per 9. Erunt itaque 9 comunis mensura numerorum \(AB\) et \(BG\), quare totus numerus \(AG\) dividetur²⁹ integraliter per 9. 9 Erit ergo pensa ipsius zephyrum, ut habetur ex additione probarum numerorum \(AB\) et \(BG\). Item³⁰ unus illorum dividatur integraliter per 9, alius non, et sit³¹ numerus \(AB\) ille qui integraliter dividitur per 9, et ex numero \(BG\) diviso per 9 remaneat numerus³² \(DG\): ergo numeri \(DB\) et \(BA\) dividuntur integraliter per 9, et totus ergo \(DA\) numerus per 9 dividetur³³. 10 Et quia numerus \(AG\) ³⁴ superhabundat numerum \(AD\) in numero \(DG\)³⁵ et numerus \(AD\) dividitur integraliter per 9, remanebit ergo ex toto \(AG\) numerus \(GD\)³⁶ indivisibilis per 9, qui provenit ex additione probe numeri \(AB\), que est zephyrum, cum proba numeri \(BG\), que est numerus \(DG\)³⁷. Rursus nullus numerorum \(AB\) et \(BG\) dividatur integraliter per 9, sed ex numero \(AB\) remaneat numerus \(AE\) et ex numero \(BG\) remaneat numerus \(DG\). Residui quidem, scilicet numeri \(EB\) et \(BD\), dividuntur integraliter per 9. 11 Quare et³⁸ totus \(ED\) divisibilis est, cum sit ex aliqua multitudine ³⁹ novenariorum concretus: remanent ergo indivisibiles numeri \(AE\) et \(DG\) ex toto numero \(AG\), qui sunt probe numerorum \(AB\) et \(BG\), ex quarum⁴⁰ coniunctione provenit pensa numeri \(AG\) ut oportebat ostendere.

12 Item si voluerit addere 25 et⁴¹ 461 et 6789⁴² et 58 et 491 et 10718⁴³, describantur

18542 25 461 6789 58 491 10718

⁴⁴ omnes numeri per ordinem, sicuti in positione positi sunt, et addat numerum figurarum que⁴⁵ sunt in capitibus cunctorum dictorum numerorum⁴⁶ incipiendo ab inferiori, scilicet 8 et 1⁴⁷ et 8 et 9 et 1 et 5, semper in manu sinistra colligendo: erunt 32; ponat 2 et retineat 3, super que colligat numeros figurarum que in secundo gradu numerorum sunt, scilicet 1 et 9⁴⁸ et 5 et 8 et 6 et 2; erunt 34: 13 ponat 4 et⁴⁹ retineat 3, super que⁵⁰ ascendat colligendo numerum figurarum tertii gradus, scilicet 7 et 4⁵¹ et 7 et 4; erunt 25: ponat 5 et retineat 2, super que⁵² addat numerum figurarum que sunt in quarto gradu, scilicet 0 et 6; erunt 8 que ponat. Post hec ponat 1 pro 1 quod restat in quinto gradu inferioris numeri, cum non sint⁵³ in reliquis numeris figure facientes eundem gradum; et sic habebit pro eorum collectione 18542, ut hic ostenditur.

14 Quam collectionem si probare voluerit⁵⁴, colligat omnes figuras que sunt in omnibus numeris, et colligendo semper relinquat novenas; et quod superfuerit relictis novenis pro pensa summe habeatur⁵⁵. Nam in multorum numerorum iunctione non indigemus probatione, cum non minus cito possimus recolligere summam quam pensam. 15 Volo demonstrare unde hic modus addendi provenit. Adduntur quidem primum omnes figure que sunt in primo gradu omnium numerorum quos addere volumus, ex qua coniunctione, cum omnes ipse figure sint unitates, colligitur numerus unitatum. Quare ponende sunt unitates in primo gradu et decene reservande ad secundum, cum decene sint de secundo gradu; quare cum ipsis decenis servatis addimus omnes numeros figurarum que sunt in secundo gradu numerorum omnium; et quot unitates ex eorum collectione proveniunt, tot decene habentur in summa collectionis. 16 Quare ponuntur unitates⁵⁶ in secundo gradu, cum ipse unitates decene sint, et pro unaquaque decena servatur unum ad tertium gradum; nam ex decem⁵⁷ decenis efficitur centenarius⁵⁸ numerus. Cum quibus unitatibus adduntur numeri tertii gradus omnium numerorum, et quicquid procreatur ex eorum collectione est ex numero tertii gradus, scilicet centenariorum. 17 Et ideo ponuntur unitates in tertio gradu, et servantur decene ad quartum; et ideo gradatim per continuos gradus colligendo et in continuis gradibus figuras ponendo, usque ad finem numerorum provenimus.