104 Regula universalis de reperiendis compositionibus imparium numerorum

Cum autem regulas prescriptorum numerorum in tabulis ex frequenti usu quis sciverit et voluerit regulas, idest compositiones³⁶⁰, cuiuslibet numeri aliorum numerorum³⁶¹ trium vel plurium figurarum reperire, vel qui primus numerus, idest sine regula, extiterit cognoscere voluerit, describat numerum in tabula et descripto³⁶² provideat si numerus par fuerit³⁶³ vel impar. 105 Nam si par fuerit, ipsum compositum esse cognoscat. Si impar aut³⁶⁴ compositus aut primus erit. Sunt enim numeri pares compositi aut³⁶⁵ ex paribus et imparibus, aut ex paribus tantum. Quare regule ipsorum primo investigande sunt a paribus numeris, ut in suo demonstrabitur loco. Impares vero numeri componuntur ex imparibus tantum. Unde componentes³⁶⁶ ipsos per impares tantum investigantur, a quibus sumamus initium.

106 Cum itaque figura primi gradus cuiuslibet imparis numeri 5 extiterit, numerus a 5 compositum esse cognoscat, hoc est quod per 5 integraliter dividetur³⁶⁷. Si autem alia figura impar in primo gradu extiterit que facit totum numerum esse imparem, accipiat siquidem pensam ipsius per novenarium, que si fuerit zephyrum, tunc \({1 \over 9}\), et si 3 vel 6 pensa fuerit, tunc \({1 \over 3}\) in sua erit compositione³⁶⁸. 107 Si autem pensa nulla istarum extiterit, dividat ipsum³⁶⁹ per 7; et si aliquid inde superfuerit, dividat iterum numerum per 11; et si aliquid superfuerit, dividat³⁷⁰ ipsum per 13 et semper eat dividendo per primos numeros ordinate³⁷¹, secundum quod se habent in tabula superius descripta, donec aliquem primum³⁷² numerum invenerit³⁷³ per quem propositum numerum absque aliqua superatione possit dividere, vel donec ad eiusdem venerit radicem. Si³⁷⁴ per nullum ipsorum dividi potuerit, tunc ipsum primum esse iudicabit. 108 Si autem per aliquem predictorum primorum numerorum ipsum dividere absque superatione poterit, quod³⁷⁵ ex divisione provenerit dividat iterum³⁷⁶ per ipsum, et numerus qui ex divisione exierit iterum per eundem primum numerum dividat, hoc est quod ab eodem incipiet³⁷⁷ querere componentes ipsum³⁷⁸ per ordinem per reliquos primos numeros usque ad ipsius radicem, si ipse non habuerit compositionem. Et sic semper faciendo egrediatur donec omnes ipsius habuerit componentes.

109 Quibus perfecte habitis, ipsas³⁷⁹ sub quadam virgula, minores post maiores, summo studio studeat collocare. Et sic habebit regulam, idest compositionem³⁸⁰ cuiuslibet imparis numeri. Verbi gratia: sit numerus 805 cuius regula queratur. Cum prima ipsius figura sit 5, nimirum \({1 \over 5}\) in sua erit compositione. Quare dividat eum numerum per 5: exient 161, quorum pensa accepta³⁸¹, que est 8, ostendit³⁸² ipsa 161 nec per 3 nec per 9 posse dividi integraliter. 110 Unde dividat eum per 7: exient 23, qui numerus est sine regula. Aptet repertos componentes, scilicet 5 et 7 et 23 sub quadam virgula, et habebit \({1~~0~~\phantom{1}0 \over 5~~7~~23}\) pro 805 compositione, hoc est quintam septime unius³⁸³ vigesime tertie partis que est una octingentesima quinta, quia ducta multiplicatione³⁸⁴ de³⁸⁵ quinque in septem, scilicet 35, in viginti tria, surgit³⁸⁶ in 805. 111 Item si regulam³⁸⁷ de 957 invenire quesierit, dividat ipsa per 3, ideo quia 3 est pensa ipsius numeri: exibunt 319, que per 3 iterum dividenda non sunt, cum pensa ipsorum sit 4; et si diviserit eam per 7, superabunt 4; per 11 itaque dividuntur et est eorum undecima pars 29, qui numerus primus est. Collocata itaque reperta regula sub virgula, pro componentibus 957 habebitur \({1~~\phantom{1}0~~\phantom{1}0 \over 3~~11~~29}\), ut hic ostenditur³⁸⁸.