1 Incipit capitulum quintum de divisionibus integrorum numerorum

Volentibus scire dividere quoslibet numeros¹ per quoslibet numeros², necessarium est eis ut addiscant prius dividere omnes numeros per numeros qui sunt a binario usque in decenarium; et cum hoc scire non possint³ donec quasdam introductiones divisionum quorundam numerorum per ipsos cordetenus sciant, eorum⁴ divisiones in sequentibus paginis in tabulis⁵ declarantur. Sed edoceatur⁶ primum qualiter cuncta minuta numerorum perfecte scribantur.

2 Cum super quemlibet numerum quedam virgula protracta fuerit et super ipsam quilibet⁷ alius numerus descriptus fuerit, superior numerus partem vel partes inferioris numeri affirmat; nam inferior denominatus et superior denominans appellatur. 3 Ut si super binarium protracta fuerit virgula et super ipsam unitas descripta sit, ipsa unitas unam partem de duabus partibus unius integri affirmat, hoc est medietatem, sic: \({1 \over 2}\). Et⁸ si⁹ super ternarium ipsa unitas posita fuerit sic: \({1 \over 3}\), denotat tertiam¹⁰; et si super septenarium sic: \({1 \over 7}\), septimam; et si super 10, decimam; et si super 19, nonam decimam partem unius integri affirmat, et sic deinceps. 4 Item si binarius super ternarium extiterit sic: \({2 \over 3}\), duas partes de tribus partibus unius integri affirmat, hoc est duas tertias. Et si super 7, duas septimas sic: \({2 \over 7}\); et si super 23, duas vigesimas tertias denotabunt, et sic deinceps. 5 Item si septenarius super novenarium positus fuerit sic: \({7 \over 9}\), septem nonas¹¹ unius integri affirmant; et si 7 super 97¹², septem nonagesimas septimas denotabunt. Item 13 posita¹³ super 29, tredecim vigesimas nonas affirmant. Et si 13 sunt super 347, tredecim trecentesimas quadragesimas septimas indicabunt, et sic de reliquis numeris est intelligendum.

6 Item si sub una eadem virgula plures numeri positi fuerint et super unumquemque ipsorum alii numeri describentur, numerus qui in capite virgule dextere partis super numerum positus fuerit, ipsius subpositi numeri partem vel partes ut prediximus denotabit. 7 Qui vero super secundum, ipsius secundi partes de partibus primi subpositi numeri declarat¹⁴. Qui autem super tertium, ipsius tertii partes¹⁵ partium secundi de partibus primi affirmat, et sic semper qui sequentur super virgulam partes partium cunctorum antecedentium sub virgula denotant¹⁶. 8 Ut si sub quadam virgula sint¹⁷ 2 et 7 et super 2 sit 1 et super 7 sint 4 ut hic cernitur: \({1~~4 \over 2~~7}\)¹⁸, denotantur quattuor septime et medietas unius septime. Si autem super 7 esset¹⁹ zephyrum sic: \({1~~0 \over 2~~7}\), medietas tantum unius septime denotaretur.

9 Item sub quadam alia virgula sint 2 et 6 et 10; et super 2 sit 1, et super 6 sint 5, et super 10 sint 7, ut hic ostenditur: \({1~~5~~7\phantom{0} \over 2~~6~~10}\), septem que sunt super 10 in capite virgule representant septem decimas²⁰, et 5 que sunt super 6 denotant quinque sextas unius decime partis, et 1 quod est super 2 denotat medietatem sexte unius decime partis, et sic singulariter de singulis intelligatur. 10 Tamen monendum est ut semper minores numeri sint versus sinistram sub eadem virgula; sed si plures fuerint virgule, rupti unius virgule non respondent ruptis alterius, et virgula que est maior pars integri semper est ponenda versus dexteram manum.

11 Dicuntur²¹ quidem fractiones que sunt in una virga esse in gradibus, et est primus gradus earum²² fractio que est in capite virge a dextera parte²³. Secundus²⁴ est fractio sequens versus sinistram partem²⁵. Verbi gratia in suprascripta virga²⁶, scilicet in²⁷ \({1~~5~~7\phantom{0} \over 2~~6~~10}\), sunt \({7 \over 10}\) in primo gradu ipsius virge et \({5 \over 6}\) sunt in secundo et \({1 \over 2}\) est in tertio²⁸, hoc est in ultimo gradu eiusdem virge; et sic quot sunt numeri sub virga, tot sunt gradus eiusdem.

12 Et si²⁹ in virga fuerint plures rupti et ipsa virga terminaverit in circulo, tunc fractiones eius aliter quam dictum sit denotabunt, ut in hac: \({2~~4~~6~~8 \over 3~~5~~7~~9}\textrm{o}\), cuius virge fractiones denotant octo nonas unius integri et sex septimas de octo nonis et quattuor quintas sex septimarum de octo nonis et duas tertias quattuor quintarum sex septimarum de octo nonis unius integri.

13 Et si hec virga terminaret ab alia parte in circulo sic³⁰: \(\textrm{o}{8~~6~~4~~2 \over 9~~7~~5~~3}\)³¹, denotaret tantum duas tertias de quattuor quintis de sex septimis de octo nonis unius integri. Item si virgule protraherentur super virgam in hunc modum \({1~~1~~1~~5 \over 5~~4~~3~~9}\) denotant³² fractiones eius quinque nonas et tertiam et quartam et quintam unius none. His itaque intellectis, introductiones predicte ut inferius cernitur describantur³³ et³⁴ cordetenus summo studio addiscantur.