92 Divisio de 780005 per 59

Si autem 780005 per 59 dividere voluerit, descriptis numeris, ponat 1 sub 8; ideo quia si²⁹⁸ relinquerimus 8 de 78 remanent 7, que si diviserimus per 6, propter hoc quod 59 sunt circa 60, exibit 1²⁹⁹ et amplius. Unde debemus ponere 1 sub 8, ut prediximus³⁰⁰. Quo posito multiplicet ipsum per 5: fiunt 5, que extrahat de³⁰¹ 7; remanent 2³⁰², que ponat super 7 et multiplicet eundem 1 per 9³⁰³, et extrahat ipsam multiplicationem de 28: remanent 19, et deleat 2³⁰⁴ vel dampnet posita super³⁰⁵ 7, et ponat dicta³⁰⁶ 19 super 78. Et ponat 3 sub 0 prescripta ratione quarti³⁰⁷ gradus, et multiplicet ipsa per 5: erunt 15 que extrahat de 19, remanent 4. Deleat ipsa 19 et in loco novenarii ponat ipsa 4. 93 Et multiplicet eadem³⁰⁸ 3 per 9 et extrahat de 40:

1 141 29322 59 13220 \({25 \over 59}\) 13220

³⁰⁹ remanent 13; deleat ipsa 4 et ponat ibi 1, et super 0 ponat 3. Post hec dividenda sunt 130 per 59, et danda 2 supradicta³¹⁰ ratione pro ea divisione et sub zephyro tertii gradus ponenda sunt ipsa 2, que 2 in 59 multiplicata et de 130 extracta, remanent 12. Quod idem est si multiplicentur³¹¹ dicta 2 per 5 et extraherentur³¹² de 13, et multiplicarentur per 9 et extraherentur³¹³ de 30. 94 Deleat itaque 13 et ponat 1 in loco ubi erant 3 de 13, et 2 ponat³¹⁴ super 0 tertii gradus. Post hec ponat 2 sub 0 secundi gradus, et multiplicet ipsa per 59 et extrahat de 120; remanent 2 super 0, et deleat in animo suo 120 que superfuerant de preterita divisione, et quod delere figuras dicitur vel dampnare³¹⁵ sufficit³¹⁶ eas in animo³¹⁷ deletas intelligere vel dampnatas³¹⁸. Post³¹⁹ hec copulet ipsa cum³²⁰ 5 que sunt in primo gradu numeri: fiunt³²¹ 25, que cum sint minus³²² 59, ponat 0 sub 5 primi gradus et 25 super virgulam de 59 ex parte descripta, ut in hac descriptione manifeste designatur.

95 Ut³²³ que³²⁴ de divisionibus dicta sunt lucidius innitescant³²⁵, quendam numerum per 97 dividamus, sitque 5917200³²⁶. Positis³²⁷ 97³²⁸ sub utroque zephyro, dividat numerum trium figurarum ultimarum numeri dividendi, scilicet 591, per 97, pro qua divisione eveniunt 6, ideo quia 97 propiora sunt 100 quam³²⁹ alio decenario numero. Unde debemus dividere 59, scilicet numerum duarum figurarum ultimarum, per 10, ex qua divisione proveniunt fere 6, scilicet decima minus; et cum 97 minus sint³³⁰ de 100, debemus accipere quandoque amplius decime³³¹. 96 Unde contingunt 6: ponat ipsa 6 sub primo gradu

59\(\phantom{72}\)2\(\phantom{0}\) 5917200 97 61002 \({6 \over 97}\) 61002

³³² numeri ipsarum trium figurarum, hoc est sub 1 quod est in quinto gradu totius numeri, et multiplicet ipsa 6 per 9 de 97: erunt 54, que extrahat de 59, scilicet ex numero duarum ultimarum figurarum; remanent³³³ 5 que ponat super 9, et multiplicet eadem 6 per 7 de 97: erunt 42, que extrahat de 51, scilicet de copulatione 5 super positorum³³⁴ cum 1 antecedente³³⁵; remanent 9, que ponat super 1 et posita 5 vel dampnet vel deleat in corde. 97 Et predicta 9 que posita sunt super 1³³⁶ remanent ex divisione de 591 in 97; quibus 9³³⁷ copulatis cum figura antecedente in gradibus, scilicet cum 7 que sunt in quarto gradu numeri, faciunt 97, que dividat per 97, scilicet per divisorem: exibit 1. Ponat 1 sub 7 et multiplicet illud³³⁸ per 9 de 97: erunt³³⁹ 9, pro quibus deleat 9 que superfuerant de 591 et multiplicet eundem 1 per 7; erunt 7, pro quibus relinquat 7 cum quibus 9 fuerant copulata, et cum nichil remaneat de ipsis 7 ad copulandum cum 2 antecedentibus³⁴⁰ sibi³⁴¹ et ipsa 2 minus sint de 97, ponat 0 sub ipsis 2 et copulet ipsa 2 cum 0 ei antecedente³⁴², et³⁴³ erunt 20. 98 Item cum ipsa 20 minus sint de 97, ponendum³⁴⁴ erit 0 sub dicto 0 cum 2 copulato³⁴⁵, scilicet sub ipso quod est in secundo gradu numeri³⁴⁶. Post hec copulet ipsa 20 cum 0 ei antecedenti, scilicet cum illo quod est in primo gradu: facient 200, que dividenda restant per 97, pro qua divisione ponenda sunt 2 sub 0 primi gradus prescripta ratione; et multiplicet ipsa per 9 et extrahat de 20 superius copulatis: remanent 2, que ponat super 0 secundi gradus et intelligat copulationem ipsorum³⁴⁷ cum 0 antecedente quod est in primo gradu, que sunt 20, de quibus extrahat multiplicationem eorundem 2 in 7: remanebunt 6, que ponat super virgulam de 97 ex parte descripta, et habebit pro quesita divisione \({6 \over 97}\) 61002.

99 Cum satis de divisione numerorum in numeris duarum figurarum qui sunt sine regulis, idest hasam, dictum esse videatur, nunc vero eorundem divisiones in eis que sunt compositi, idest cum regulis, ostendantur. Et quamvis per compositos numeros tanquam per primos omnes numeros dividere valeamus, tamen levius et subtilius in sequenti ostenditur doctrina, scilicet ut reperiantur ipsorum regule, scilicet numeri ex quibus componuntur, et³⁴⁸ ponantur³⁴⁹ sub quadam virgula, ut semper minores sequantur maiores versus sinistram, ut supra in hoc eodem capitulo edocetur. 100 Post hec dividat numerum quem voluit³⁵⁰ dividere per minorem ex componentibus divisorem, hoc est per minorem numerum vel figuram que fuerit sub virgula; et si aliquid superhabundaverit ponat ipsum super eandem figuram vel numerum, et exiens numerus ex divisione dividatur per antecedentem numerum vel figuram in virgula³⁵¹, et superfluum si fuerit ponat super ipsum antecedentem numerum vel figuram. 101 Et sic semper per ordinem per antecedentes componentes numeros exeuntes ex divisione, donec ad finem ipsarum³⁵² devenerit, dividere studeat; et superflua super eas ponendo³⁵³, et exeuntem numerum ex divisione ultime compositionis, idest ultimi numeri sub virgula existentis, ante ipsam ponere consuescat. Et sic habebit divisionem quorumlibet numerorum factam per quemlibet compositum numerum quorumlibet graduum.

102 Nam antequam hoc³⁵⁴ demostrationibus declaretur³⁵⁵, compositiones compositorum numerorum invenire, nec non et eos³⁵⁶ que sunt sine regulis cognoscere³⁵⁷, demonstrare duximus necessarium. Et cum numeri duarum figurarum qui sunt sine regulis in quadam tabula superius sint demonstrati, compositorum regule³⁵⁸ duarum similiter figurarum³⁵⁹ singulariter sub virgulis ostendantur; aliorum vero graduum compositiones per regulam reperire ostendemus.