4 Incipit pars prima de multiplicatione numerorum integrorum cum uno rupto sub una virgula

Si volueris⁸ multiplicare 11 et dimidiam⁹ per 22 et tertiam, describe maiorem numerum sub minori, scilicet \({1 \over 3}\) 22 sub \({1 \over 2}\) 11, ut hic ostenditur. Deinde fac dimidias¹⁰ de \({1 \over 2}\) 11, ideo quia¹¹ ruptus qui est cum 11 est medietas, quod sic fit: multiplicabis 11 per 2 que sunt sub virgula post ipsa 11 et desuper addes¹² 1 quod est super virgulam de 2: erunt medie 23. Vel duplica \({1 \over 2}\) 11: erunt 23. Describe¹³ 23 super \({1 \over 2}\) 11, ut in descriptione ostenditur. 5 Eademque ratione multiplicabis 22 per

23   \({1 \over 2}\) 11   67   \({1 \over 3}\) 22 summa \({5 \over 6}\) 256

¹⁴ suam virgulam, hoc est per 3 que sunt sub virgula post 22: erunt tertie 66, cum quibus adde 1 quod est super 3: erunt tertie 67, que serva super \({1 \over 3}\) 22, et hoc fuit triplicare \({1 \over 3}\) 22. Et multiplicabis dimidias¹⁵ 23 per tertias 67: erunt sexte 1541, quas¹⁶ divides per ruptos qui sunt sub virgulis amborum numerorum, scilicet per 2 et per 3. Que divisio sic fit: multiplica 2 per 3; erunt 6, in quibus divide 1541; exibunt integra \({5 \over 6}\) 256 pro quesita multiplicatione, ut in prescripta¹⁷ descriptione demostratur.

6 Nam querenti quare ex multiplicatione medietatum in tertias proveniant sexte, respondes: quia cum semel tertia accipitur, hoc est¹⁸ cum multiplicatur 1¹⁹ per tertiam, provenit tertia. Quare cum multiplicatur medietas unius²⁰ per tertiam, scilicet cum accipitur medietas tertie, sextam provenire necesse est. Et ideo ex multiplicatione medietatum in tertias proveniunt sexte. Rursus cum secundum alium intellectum multiplicavimus duplum de \({1 \over 2}\) 11, scilicet 23, per triplum de \({1 \over 3}\) 22, scilicet per 67, tunc habuisse sexcuplum summe multiplicationis eorum demonstrabo. 7 Ex multiplicatione quidem de \({1 \over 3}\) 22 in \({1 \over 2}\) 11 provenit summa quesita. Quare si multiplicatur \({1 \over 3}\) 22²¹ per duplum de \({1 \over 2}\) 11, hoc est per 23, provenit duplum quesite summe. Ergo si multiplicatur triplum de \({1 \over 3}\) 22, hoc est 67 per 23, scilicet per duplum de \({1 \over 2}\) 11, nimirum triplum dupli, hoc est sexcuplum summe quesite proveniet. Quare sexta pars summe multiplicationis eorum est summa quesita, quod oportebat ostendere.

8 Et scias quia ideo multiplicavimus 2 per 3 quando per 2 et per 3 dividere debebamus²², quia multiplicatio illorum non surgit ultra decenarium numerum; et sic debes facere de omnibus numeris quorum multiplicationes non ascendunt ultra decem. Verbi gratia: ut cum debueris dividere aliquem numerum per 2 et per 2, divides ipsum per 4, ideo quia bis 2 faciunt 4; 9 et si debueris ipsum numerum dividere per 2 et per 4, divides eum per 8; et si per 2 et per 5, divides eum per 10; et si per 3 et per 3, divides eum per 9. Et si per 3 et per 5 numerum aliquem dividere volueris, dividas eum per²³ \({1~~0 \over 3~~5}\), ideo quia multiplicatio de 3 in 5 surgit in 15, qui numerus maior est de 10; unde melius est ut dividas per²⁴ \({1~~0 \over 3~~5}\) quam per 15.

10 De eodem

Item si volueris multiplicare \({1 \over 2}\) 12 per \({3 \over 5}\) 23, describe questionem ut hic ostenditur, et²⁵ multiplicabis 12 per 2 que sunt sub virgula et addes 1 quod est super ipsa 2: erunt medie 25. Item multiplicabis 23²⁶ per 5 que sunt sub virgula et addes 3 que sunt super ipsa 5: erunt quinte 118. Multiplicabis ergo medias 25 per quintas 118: erunt medie quinte, scilicet decime 2950²⁷, quas²⁸ divides per 2 et per 5 que sunt sub virgulis, hoc est per 10. 11 Vel debes 2950 dividere

25   \({1 \over 2}\) 12   118   \({3 \over 5}\) 23 summa \({0 \over 10}\) 295

²⁹ per 10 quia ex duplo de \({1 \over 2}\) 12 in quincuplum de \({3 \over 5}\) 23, scilicet de 25 in 118, provenit decuplum multiplicationis de \({1 \over 2}\) 12 in \({3 \over 5}\) 23: exibunt integra 295³⁰ et nichil aliud, ut superius in questione demonstratur. 12 Potes enim summam dicte multiplicationis aliter reperire, scilicet ut ante quam multiplices 25 per 118, divide 25 per 5 de virgula, cum per ipsa integraliter possint dividi: exibunt 5 que serva. 13 Et divide 118 per 2 que sunt sub virgula, cum eorum medietas sit integra³¹: exibunt 59, que multiplica per 5 servata, que³² fuerunt quinta pars de 25; erunt 295, que sunt summa dicte multiplicationis, ut superius repertum est. Et hec talis evitatio³³ multum est consideranda, per quam evitatur labor multiplicandi et dividendi. Gravius enim est multiplicare 25 per 118 quam 5 per 59; quorum multiplicationem, scilicet de 5 in 59, non oportet per aliquem ruptum dividere.

14 Unde cum debueris multiplicare aliquem numerum per aliquem numerum et debueris summam illorum per aliquem³⁴ numerum vel numeros dividere per quem vel per quos aliquem illorum numerorum³⁵ possis integraliter dividere, studebis³⁶ semper dividere hos quos integraliter dividere poteris ante quam multiplices; deinde multiplicabis residuum numerorum ad invicem et divides per ruptum vel per ruptos qui remanebunt ex evitatione, quod in sequentibus demonstrare curabimus. 15 Sed primum volo demonstrare unde talis evitatio procedat. Quia ex multiplicatione de 25 in 118 provenit decuplum multiplicationis de \({1 \over 2}\) 12 in \({3 \over 5}\) 23, ut habetur per ea que³⁷ in antecedente multiplicatione diximus³⁸, ergo ex multiplicatione quinte partis de 25 in 118 proveniet quinta decupli multiplicationis³⁹ de \({1 \over 2}\) 12 in \({3 \over 5}\) 23, scilicet duplum⁴⁰ ipsius multiplicationis. Quare si multiplicetur quinta de⁴¹ 25, scilicet 5, per dimidium de 118, scilicet per 59⁴², provenit⁴³ summa⁴⁴ multiplicationis⁴⁵ de \({1 \over 2}\) 12 in \({3 \over 5}\) 23.

16 De eodem

Rursus si volueris multiplicare \({2 \over 3}\) 13 per \({5 \over 7}\) 24, descriptis numeris ut hic ostenditur, multiplica 13 per 3 et adde 2 que sunt super ipsa 3: erunt tertie 41.

pensa per 9 ⑤ 41   \({2 \over 3}\) 13   ② 173 pensa ① \({5 \over 7}\) 24 \({1~~5 \over 3~~7}\) 337

⁴⁶ Item multiplica 24 per eorum⁴⁷ virgulam, hoc est per 7 et adde 5: erunt septime 173, quas multiplica cum⁴⁸ 41; erunt vigesime prime 7093. Quas divide per 3 et per 7 que sunt sub virgulis, positis sub una virgula sic: \({1~~0 \over 3~~7}\); exibunt⁴⁹ integra \({1~~5 \over 3~~7}\) 337⁵⁰. De hac enim multiplicatione non potes aliquid evitare, ideo quia 41 vel 173 nec per 3 nec per 7 integraliter dividuntur⁵¹.

17 Si autem per pensam novenarii cognoscere volueris utrum recta fuerit hec multiplicatio vel non, accipe pensam de 13 per eundem novenarium, que est 4, et multiplica eam per 3 que sunt sub virgula post ipsa 13: erunt 12, et adde 2 que sunt super ipsa 3; erunt 14, de quibus accipe pensam, que est 5, et serva eam. Et vide de 41 si pensa ipsorum est 5, sicut modo servasti; quia tunc scies ipsa 41 recta esse, si pensa eorum fuerit⁵² 5. 18 Pensa enim de 41 est 5, ut oportet; quare servabis 5 super 41 vel post ipsa. Postea videbis per eandem pensam novenarii de 173 si recta sunt, videlicet multiplicabis pensam de 24, que est 6, per 7 que sunt sub virgula et addes 5 que sunt super ipsa 7: erunt 47, quorum pensam⁵³, que est 2, serva, quia talis debet esse pensa de 173, et ita est. 19 Quare pones⁵⁴ 2 super 173 et multiplicabis pensam de 41 per pensam de 173, scilicet 5 per 2; erunt 10, de quibus extrahe pensam: remanet 1, quod est pensa summe multiplicationis. Servabis enim ipsum 1 super summam multiplicationis, scilicet super \({1~~5 \over 3~~7}\) 337. 20 Et multiplicabis pensam de 337, que est 4, per 7 que sunt sub virgula post 337, et superadde 5; erunt 33, quorum pensam⁵⁵, que est 6, multiplicabis per 3 que sunt sub⁵⁶ eadem virgula post 7⁵⁷, et adde 1 quod est super ipsa 3: erunt 19, quorum pensa est 1, ut pro pensa summe multiplicationis super 337 in questione servatum est. Ergo recta est dicta multiplicatio⁵⁸. Nam ordo probandi est: cum inceperis multiplicare, debes incipere probare. 21 Ut in hac multiplicatione, cum habuisti 41 ex multiplicatione de 13 in 3 duobus superadditis, debuisti statim per pensam⁵⁹ cognoscere si ipsa 41 recta essent; similiter et⁶⁰ cum habuisti 173, debuisti cognoscere per pensam si recta essent⁶¹. Iterum cum multiplicasti 41 per 173, debuisti cognoscere per pensam si eorum multiplicatio recta esset. Et cum habuisti summam, scilicet,\({1~~5 \over 3~~7}\) 337, debuisti cognoscere similiter secundum quod superius demonstravimus si illa divisio recta esset.

22 De eodem

Iterum si volueris multiplicare \({1 \over 4}\) 16 per \({2 \over 5}\) 27, descripta questione

65 ②   \({1 \over 4}\) 16   137 ④ ① \({2 \over 5}\) 27 \({0~~1 \over 5~~4}\) 445

⁶² multiplica 16 per eorum virgulam, scilicet per 4 et adde 1; erunt quarte 65⁶³, quem numerum proba⁶⁴ per pensam sic: ut si per pensam septenarii probare volueris, divides 16 per 7; remanebunt 2, que multiplica per 4 de virgula et adde 1 quod est super 4: erunt 9, que divide per 7; remanent 2, et tot debent⁶⁵ remanere de 65 si dividantur per 7, et tot remanent⁶⁶. Ergo pensa de 65 est 2, que serva super⁶⁷ 65. 23 Deinde multiplica 27 per eorum virgulam⁶⁸: erunt quinte 137, quas pone super \({2 \over 5}\) 27 et vide per pensam de 7 si ipsa 137 recta sint sicuti vidisti de 65, et reperies quod pensa de 137 debet esse 4 et ita est, quia si diviseris 137 per 7, nimirum 4 remanebunt. 24 Quare servabis 4 super 137 pro ipsorum pensa. Deinde multiplicabis 65 per 137: erunt vigesime 8905. Que multiplicatio si recta fuerit, ita per eandem septenarii pensam cognosces: multiplicabis servatam pensam de 65, scilicet 2, per pensam de 137, que est 4; erunt 8, que divides per 7: remanet 1, et tot debet remanere de 8905 si dividantur per 7, et ita fit. Unde cognoscimus quod recta est illa multiplicatio. Postea divide 8905 per ruptos qui sunt sub virgulis, hoc est per 4 et per 5 positos⁶⁹ sub una virgula. Tamen divide prius per 5, ideo quia 8905 integraliter per 5 dividuntur: exibunt \({0~~1 \over 5~~4}\)⁷⁰ 445 pro summa quesite multiplicationis.

25 Que divisio si recta est ita debes⁷¹ cognoscere: divides 445 per 7; remanent 4, que multiplica per 4 que sunt sub virgula post ipsa⁷² 445 et adde 1 quod est super ipsa 4: erunt 17, que divide per 7; remanent 3, que multiplica per 5 que sunt sub virgula post 4 et adde zephyrum quod est super 5⁷³: erunt 15, que divide per 7; remanet 1. Quod 1 cum sit pensa de 8905, scimus quod prescripta divisio recta est. Et scias quia 5 que sunt sub virgula divisionis post 4, cum super ipsa sit 0, nichil representant. Ergo descripta multiplicatio est \({1 \over 4}\) 445. Posuimus enim ipsa 5 sub virgula ut inveniretur pensa.

26 Aliter promtius potes hanc eandem multiplicationem evitando reperire, scilicet ut dividas 65 reperta per 5 que sunt sub virgula; exibunt 13, que multiplica per 137, et divides per 4 de alia virgula⁷⁴: exibunt similiter \({1 \over 4}\) 445, ut superius reperta sunt. Nam semper cum debemus aliquem numerum per 4 et per⁷⁵ 5 dividere, hoc est per \({1~~0 \over 4~~5}\), si ipse numerus habuerit \({1 \over 5}\), consuescimus ipsum prius per 5 quam per 4 dividere propter integram⁷⁶ ipsius divisionem, sicuti modo fecimus de 8905. Et si numerus ipse per 4 integraliter dividitur, consuevimus ipsum prius per 4 quam per 5 dividere. 27 Et si numerus ille neque per 4 neque per 5 integraliter dividi possit, consuevimus ipsum dividere per \({1~~0\phantom{0} \over 2~~10}\), ideo⁷⁷ quod quattuor quinque faciunt 20, quorum regula est \({1~~0\phantom{0} \over 2~~10}\). Et hoc facimus propter pulchriorem locutionem, quia pulchrius est dicere \({1~~0\phantom{0} \over 2~~10}\) quam \({1~~0 \over 4~~5}\), quamvis idem sint⁷⁸. 28 Similiter debes intelligere de quibusdam aliis numeris, scilicet cum debueris dividere aliquem numerum per 3 et per 4, hoc est per \({1~~0 \over 3~~4}\), qui numerus non dividatur per aliquem ipsorum integraliter, divides eum per \({1~~0 \over 2~~6}\), quod est pulchrius. Item cum debueris dividere per 4 et per 4, hoc est per \({1~~0 \over 4~~4}\), divides eum per \({1~~0 \over 2~~8}\). Et cum debueris dividere per 3 et per 6, hoc est per \({1~~0 \over 3~~6}\), divides per \({1~~0 \over 2~~9}\), ideo quia tantum facit⁷⁹ multiplicatio de 2 in 9 quantum de 3 in 6. 29 Item cum debueris dividere per 4 et per 6, hoc est per \({1~~0 \over 4~~6}\), divides per \({1~~0 \over 3~~8}\). Et cum debueris dividere per \({1~~0 \over 5~~6}\), divides per \({1~~0\phantom{0} \over 3~~10}\). Et cum debueris dividere per \({1~~0 \over 5~~8}\), divides per \({1~~0\phantom{0} \over 4~~10}\). Et cum debueris dividere per \({1~~0 \over 6~~6}\), divides⁸⁰ per \({1~~0 \over 4~~9}\), ideo quia utraque virgula, scilicet \({1~~0 \over 6~~6}\) et \({1~~0 \over 4~~9}\), est regula de 36⁸¹. 30 Sed nos diligimus plus extremos numeros qui sunt a decem et infra in compositionibus numerorum et ideo pulchrius est \({1~~0 \over 4~~9}\) quam \({1~~0 \over 6~~6}\), et hoc idem intelligas de precedentibus. Verum si dividere volueris aliquem numerum per aliquos alios numeros⁸² infra decenarium existentes preter hos quos superius coaptare docuimus⁸³, cum ipsi coaptari non possint, divides ipsum per ipsos; ut si debueris dividere eum per 5 et per 7, divides ipsum per \({1~~0 \over 5~~7}\), et sic intelligas de reliquis.

31 De eodem⁸⁴

Rursus⁸⁵ si volueris multiplicare \({3 \over 8}\) 18 per \({4 \over 9}\) 24,

pensa est per 11   147 ④   \({3 \over 8}\) 18   220 ⓪ ⓪ \({4 \over 9}\) 24 \({4~~1 \over 8~~9}\) 449

⁸⁶ descripta⁸⁷ questione multiplica 18 per eorum virgulam, hoc est per 8 et adde 3: erunt 147. Item multiplica 24 per 9 et adde 4; erunt 220, que multiplica per 147 et divide per ruptos: exibunt⁸⁸ \({4~~1 \over 8~~9}\) 449, quorum pensa est 0 per 11. 32 Nam si de \({4~~1 \over 8~~9}\) que partes sint⁸⁹ unius integri scire volueris, multiplica 1 quod est super 9 per 8 et adde 4: erunt 12, que serva pro numero denominante; et multiplica 9 per 8 que sunt sub virgula: erunt 72 pro denominato, que divide per servata 12: exibunt 6, de quibus 6 dicas \({1 \over 6}\), et talis pars sunt 12 de 72. Similiter⁹⁰ \({4~~1 \over 8~~9}\) sunt \({1 \over 6}\) unius integri.

33 Dicam hoc pulcrius: quia ex multiplicatione de 8 in 9 surgunt 72, fac septuagesimas secundas de uno integro; erunt 72, de quibus accipe nonam et quattuor octavas unius none: erunt 8 et 4, scilicet 12, ut habentur ex multiplicatione de 1 quod est super 9 in 8, additis 4 que sunt super 8. Ergo \({4~~1 \over 8~~9}\) sunt \({12 \over 72}\) . 34 Quare proportio de \({4~~1 \over 8~~9}\) ad unum integrum est sicut 12 ad 72. Sed proportio de 12 ad 72 est sicut proportio duodecime partis de 12 ad duodecimam partem Euclide reperitur, sicut⁹¹ totus ad totum ita⁹² pars est ad partem. Est enim 1⁹³ de 6 sexta pars, que habetur pro⁹⁴ \({4~~1 \over 8~~9}\); ergo summa prescripte multiplicationis est⁹⁵ \({1 \over 6}\) 449.

35 Aliter possumus hanc eandem summam evitando⁹⁶ reperire, scilicet cum debeas multiplicare 147 per 220 et postea dividere per 8 et per 9, multiplica tantum tertiam partem⁹⁷ de 147⁹⁸, que est 49, per quartam partem de 220, hoc est per 55, et divides summam per tertiam partem de 9, hoc est per 3, et per quartam⁹⁹ de 8, hoc est per 2. Ergo divides eorum summam per 6: exibunt \({1 \over 6}\) 449, ut superius repertum est¹⁰⁰.

36 Et nota¹⁰¹ cum numerus denominans comunicat cum denominato¹⁰², scilicet numerus qui est super virgam cum numero qui est sub virga, tunc debent aptari dividendo eos per maiorem numerum qui est comunis utrisque¹⁰³, a quo ipsi sunt comunicantes. Verbi gratia: habemus \({6 \over 9}\); sunt enim 6 cum 9 comunicantes et est eorum comunis mensura ternarius. 37 Quare divides utrumque eorum per 3, et quod ex divisione superioris pervenerit, scilicet 2, pones¹⁰⁴ super quandam virgam et quod egredietur ex divisione inferioris pones¹⁰⁵ sub ipsa et habebis \({2 \over 3}\) pro \({6 \over 9}\). Item de \({5 \over 10}\) est quinarius, scilicet numerus denominans, comunis mensura eorum. Quare si dividantur utrique numeri per 5, scilicet 5 et 10, proveniet \({1 \over 2}\) pro aptatione de \({5 \over 10}\); et hoc intelligas in similibus.

38 ^[1] Est enim modus inveniendi maximam comunitatem quam inter se habent numeri comunicantes, ut dividas maiorem per minorem, et si ex¹⁰⁶ ipsa divisione nichil superaverit, tunc minor numerus erit maxima eorum comunis mensura, ut in \({12 \over 72}\). Et si ex ipsa divisione aliquid superfuerit, serva illud pro residuo primo in quo divides minorem¹⁰⁷ numerum; ex qua divisione si nichil superfuerit, tunc residuum primum¹⁰⁸ erit comunis mensura numerorum; ut in \({10 \over 22}\), quorum comunis mensura est 2, quia divisis 22 per 10 remanent 2, in quibus 10 integraliter dividuntur. 39 Et si ex divisione minoris numeri per primum residuum¹⁰⁹ aliquid superfuerit, vocabis illud residuum secundum, in quo si maior numerus integraliter dividatur, tunc residuum secundum erit comunis mensura¹¹⁰ numerorum, ut in \({12 \over 20}\), quorum comunis mensura est 4, quia divisis 20¹¹¹ per 12 remanent 8, in quibus divisis 12 remanent 4, in quibus 12¹¹² integraliter dividuntur. 40 Et si ex divisione maioris numeri aliquid superfuerit, vocabisque eum residuum tertium, in quo divides minorem numerum; et sic semper facies donec aliquod residuum proveniat in maiori numero per quod integraliter dividatur minor, vel donec in minori proveniat residuum per quod dividatur maior; et illud residuum erit comunis mensura et maxima, ut in Euclide apertis¹¹³ demonstrationibus declaratur.