47 Incipit pars tertia¹³⁰

Si vis multiplicare 15 et tertiam et quartam unius integri, que sic scribuntur cum duabus separatis virgulis: \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) 15¹³¹, per 26 et¹³² quintam et sextam, que sic scribuntur: \({1 \over 6}\) \({1 \over 5}\) 26, describe questionem ut hic ostenditur et multiplica 15 per 3 que sunt sub prima virgula et adde 1 quod est super 3; erunt tertie 46, quas multiplica per 4 que sunt sub alia virgula: erunt duodecime 184, super quas adde multiplicationem de 1 quod est super 4 in 3, quia quarta equatur tribus duodecimis: erunt similiter duodecime 187, quas pone in questione super \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) 15. 48 Similiter

187 \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) 15 791 \({1 \over 6}\) \({1 \over 5}\) 26 \({1~~7~~8\phantom{0} \over 4~~9~~10}\) 410

¹³³ multiplica 26 per suas virgulas, hoc est per 5, et addes 1 quod est super 5; erunt <quinte 131, quas multiplica per 6 que sunt sub alia virgula: erunt trigesime 786, super quas adde multiplicationem de 1 quod est super 6 in 5: erunt> trigesime 791, quas pone super \({1 \over 6}\) \({1 \over 5}\) 26. Et multiplica 187 per 791: erunt 147917, que divides per omnes numeros qui sunt sub virgulis, scilicet per \({1~~0~~0~~0 \over 3~~4~~5~~6}\), qui coaptati revertuntur in¹³⁴ \({1~~0~~0\phantom{0} \over 4~~9~~10}\): exibunt \({1~~7~~8\phantom{0} \over 4~~9~~10}\) 410, ut in questione ostenditur.

49 Item si volueris multiplicare \({2 \over 9}\) \({3 \over 5}\) 16 cum \({2 \over 11}\) \({5 \over 8}\) 27, descripta questione multiplica 16 per 5 et

757 \({2 \over 9}\) \({3 \over 5}\) 16 2447 \({2 \over 11}\) \({5 \over 8}\) 27 \({3~~8~~4\phantom{1}~~8\phantom{1} \over 4~~9~~10~~11}\) 467

¹³⁵ adde 3, que omnia multiplica per 9 et adde multiplicationem de 2 que sunt super 9 in 5: erunt 757, que pone super \({2 \over 9}\) \({3 \over 5}\) 16. Item multiplica 27 per suas virgulas: erunt 2447¹³⁶, per que multiplica 757, et divides summam per omnes ruptos, scilicet per \({1~~0~~0~~0\phantom{1} \over 5~~8~~9~~11}\), et coapta ruptos: exibunt \({3~~8~~4\phantom{0}~~8\phantom{1} \over 4~~9~~10~~11}\) 467. Quam multiplicationem si per pensam de 7 probare volueris, accipe pensam de \({2 \over 9}\) \({3 \over 5}\) 16, que sic accipitur: 50 multiplicatur pensa de 16, que est 2, per 5 de virgula et superadduntur¹³⁷ 3 que sunt super 5; fiunt 13, quorum pensa, que est 6, multiplicatur per pensam de 9 que est 2; fiunt 12, super que additur multiplicatio de 2 que sunt super 9 in 5: fiunt 22, quorum pensa, que est 1, est pensa de \({2 \over 9}\) \({3 \over 5}\) 16. Et tot debet esse pensa¹³⁸ de 757, et ita est. Item accipe pensam de \({2 \over 11}\) \({5 \over 8}\) 27, que accipitur secundum quod accepimus ipsam de \({2 \over 9}\) \({3 \over 5}\) 16, et invenies pensam ipsorum esse 4, que 4 sunt pensa de 2447. 51 Multiplica ergo 1 per 4: erunt 4, que 4 sunt pensa summe, scilicet de \({3~~8~~4\phantom{0}~~8\phantom{1} \over 4~~9~~10~~11}\) 467. Et si \({3~~8~~4\phantom{0}~~8\phantom{1} \over 4~~9~~10~~11}\) in partes unius numeri reducere vis, multiplica 11 per 10 et eorum summam multiplica per 9 et hoc totum per 4; erunt 3960, qui numerus est denominatus. 52 Pone ergo ipsum sub quadam virgula et multiplica 8 que sunt super¹³⁹ 11 per 10, et addes 4 que sunt super 10, que omnia multiplica per 9 et adde 8 que sunt super 9, que per 4 et adde 3 que sunt super 4: erunt 3059, qui numerus est denominans. Quare pones eum super virgam et habebis \({3059 \over 3960}\) pro re quesita.

53 Item si vis multiplicare \({4 \over 9}\) \({1 \over 8}\) 17 per \({1 \over 17}\) \({1 \over 3}\) 28, multiplica integra per eorum virgas ordine suprascripto, et habebis pro superiori numero 1241 et pro inferiori numero 1448. Quos numeros debes insimul multiplicare et summam per omnes ruptos dividere, scilicet per \({1~~0~~0~~0\phantom{7} \over 3~~8~~9~~17}\). Et quia comunicatio est¹⁴⁰ inter numerum dividendum et dividentem, hoc est inter numeros multiplicantes et numeros qui sunt sub virga, debes imitari modum evitationis supradictum, 54 videlicet accipies \({1 \over 17}\) de 1241, scilicet 73, pro uno ex multiplicantibus¹⁴¹ numeris, propter quod relinquemus 17¹⁴² que sunt sub virga. Item accipies \({1 \over 8}\) de 1448, scilicet 181, pro alio et relinques¹⁴³ \({1 \over 8}\) de virgula. Ergo multiplicabis 73 per 181 et divides summam per reliquos numeros qui sunt sub virga, scilicet per \({1~~0 \over 3~~9}\): exibunt \({1~~3 \over 3~~9}\) 489 pro quesita multiplicatione, cuius summe probam accipies ex proba de 73 et de 181, cum eorum multiplicationis summa sit divisa. Nam pro \({3 \over 9}\) dices \({1 \over 3}\), pro \({1~~3 \over 3~~9}\) dices \({1 \over 3}\) et tertiam none.

55 Item habemus in quadam virga hec \({2~~3~~2~~5\phantom{0} \over 4~~6~~8~~10}\), quas pronuntiabis ita: pro \({5 \over 10}\) dices \({1 \over 2}\) et pro \({2 \over 8}\) dices quartam decime et pro \({3 \over 6}\) dices dimidium octave decime¹⁴⁴ et pro \({2 \over 4}\) dices¹⁴⁵ dimidium sexte octave decime¹⁴⁶, et hec contingunt propter comunitates quas habent superiores numeri cum inferioribus. Et notandum quod multe fractiones que sunt sub diversis virgis possunt reduci ad unam virgam, scilicet ad partes unius numeri, ut in suo demonstrabitur loco.

56 Sed hic qualiter due fractiones que sunt sub duabus virgis coniunguntur duxi necessarium demonstrare. Multiplicabis numerum qui fuerit sub prima virga per numerum qui fuerit sub secunda et quot provenient¹⁴⁷ pones sub quadam virga. Deinde multiplicabis numerum qui est super primam virgam per numerum qui est sub secunda, et numerum qui est super secundam multiplicabis¹⁴⁸ per numerum qui est sub prima, et has duas multiplicationes coniunges, et quot provenerint¹⁴⁹ pones super virgam et habebis optatum. 57 Verbi gratia: volumus addere \({1 \over 2}\) cum \({2 \over 5}\). Multiplica 2 per 5 que sunt sub virgis: erunt 10, que pone sub quadam virga, et multiplica 1 quod est super 2 per 5 et 2 que sunt super 5 per 2 que sub virga; erunt 5 et 4, scilicet 9, que 9 pone super virgam, et habebis \({9 \over 10}\) pro \({2 \over 5}\) \({1 \over 2}\).

58 Aliter: fac de uno integro decimas; erunt decime 10, quare pro \({1 \over 2}\) habebuntur \({5 \over 10}\) et pro \({2 \over 5}\) habebuntur \({4 \over 10}\), et sic pro \({1 \over 2}\) et \({2 \over 5}\) habentur \({9 \over 10}\), ut prediximus. Et quamvis per hos¹⁵⁰ duos modos possunt¹⁵¹ quelibet due fractiones duarum virgarum ad unam reduci virgam, tamen qualiter in fractionibus que habent sub virgis numeros comunicantes subtilius procedere edocebo. 59 Ut¹⁵² si volueris \({2 \over 9}\) \({1 \over 3}\) in unam virgam reducere, quia 3 et 9 que sunt sub virgis comunicant inter se et est ternarius eorum comunicatio, divide unum ex ipsis numeris, scilicet 3 vel 9 per 3, scilicet per eorum comunem mensuram, et quod proveniet multiplica per alium numerum, et provenient 9 pro numero denominato. 60 Verbi gratia: multiplicata quidem¹⁵³ tertia parte¹⁵⁴ de 3, scilicet 1 per 9, vel multiplicata tertia parte¹⁵⁵ de 9 per 3, nimirum¹⁵⁶ ex qualibet multiplicatione predictarum 9 provenient¹⁵⁷. Ponas ea¹⁵⁸ sub quadam virga, et multiplica 1 quod est super 3 per tertiam partem de 9: erunt 3, que serva in manu et multiplica 2 que sunt super 9 per tertiam partem de 3, scilicet per 1; erunt 2, que adde cum 3 servatis: erunt 5, que pone super virgam sub qua posita sunt 9, et habebis \({5 \over 9}\) pro \({2 \over 9}\) \({1 \over 3}\).

61 Item volumus addere \({5 \over 6}\) \({3 \over 4}\). Quia binarius est comunis de 4 et de 6, multiplica dimidium de 4 per 6 vel dimidium de 6 per 4 vel accipe dimidium multiplicationis de 4 in 6, et habebis 12, que pone sub quadam virga. Et multiplicabis¹⁵⁹ 3 que sunt super 4 per dimidium de 6 et 5¹⁶⁰ que sunt super 6 per dimidium de 4 et habebis 9 et 10, que insimul iunge: erunt 19, que 19 ponenda essent¹⁶¹ super 12 positis¹⁶² sub virga si essent minus quam 12; sed quia sunt plus, divides 19 per 12: exibunt \({7 \over 12}\) 1 pro coniunctione de \({5 \over 6}\) \({3 \over 4}\). 62 Et nota: cum sub duabus virgulis ponuntur numeri comunicantes vel ex quorum multiplicatione non proveniat ultra decem, tunc propter dictam doctrinam debes ipsas fractiones reducere ad unam virgam et ipsam¹⁶³ habere loco illarum duarum virgularum, ut in sequentibus demostrabo. Sed ponam prius in subscriptis tabulis duas fractiones quas aptare debes et ante eas ponam aptationes earum¹⁶⁴ et incipiam a \({1 \over 2}\) et \({1 \over 2}\) que sunt 1; deinde sequuntur¹⁶⁵ \({1 \over 3}\) \({1 \over 2}\) que sunt \({5 \over 6}\) et cetera, que in sequentibus tabulis¹⁶⁶ describuntur.

Nota quod in ista tabula debes sic operari: si vis scire quantum faciunt \({5 \over 6}\) \({3 \over 10}\) multiplica 5 per 10 et erunt etc; et 3 per 6 et erunt 68; et postea multiplica 6 per 10: erunt 60; a quibus 68 extrahe 60, remanent 8, qui numerus 8 sunt duo tertia unius quinti de sexaginta, et sic debes dicere quod \({5 \over 6}\) et \({3 \over 10}\) faciunt unum integrum et duo tertia unius 5 de uno integro, ut patet in principio. Item alia: \({5 \over 6}\) \({7 \over 10}\) faciunt unum integrum et due quinti unius integri et duo tertia unius quinti et sic de aliis