5 De extractione \({1 \over 4}\) de \({1 \over 3}\)

Et si volueris \({1 \over 4}\) de \({1 \over 3}\) extrahere, tria que sunt super \({1 \over 4}\), hoc est quartam de 12, extrahe de 4, que sunt super \({1 \over 3}\), hoc est de tertia de 12; remanebit 1, quod divide per 12 inventa, vel per 3 et per 4 que sunt sub virgis, exibit pro residuo dicte extractionis \({1 \over 12}\), hoc est \({1~~0 \over 2~~6}\). Et si \({1 \over 3}\) per \({1 \over 4}\) dividere vis, divide 4 que sunt super \({1 \over 3}\) per 3, et habebis \({1 \over 3}\) 1 pro eo quod contingit integre parti. 6 Verbi gratia: proportio de \({1 \over 3}\) ad \({1 \over 4}\) est sicut proportio duodecupli de \({1 \over 3}\) ad duodecuplum de \({1 \over 4}\), hoc est sicut 4 est¹¹ ad 3 ita \({1 \over 3}\) ad \({1 \over 4}\). Quare divisio \({1 \over 3}\) per \({1 \over 4}\) provenit illud quod ex divisis 4 per 3. Vel aliter: cum dicitur divide \({1 \over 3}\) per \({1 \over 4}\), tunc intelligitur quarte parti contingere tertiam integri. 7 Quare quadruplo quarte partis, scilicet¹² parti integre, contingit quadruplum unius tertie, scilicet \({1 \over 3}\) 1, ut predixi. Et si \({1 \over 4}\) per \({1 \over 3}\) dividere vis ut scias quid inde contingat uni parti integre, divide¹³ 3 posita super \({1 \over 4}\) per 4 posita super \({1 \over 3}\); exibunt \({3 \over 4}\). Nam proportio de \({1 \over 4}\) ad \({1 \over 3}\) est sicut proportio de 3 ad 4, vel cum tertie parti contingit \({1 \over 4}\), tribus tertiis, scilicet parti integre, contingent¹⁴ \({3 \over 4}\).

8 Item

12 10 \({4 \over 5}\) \({2 \over 3}\)   \({1~~2 \over 3~~5}\) 1

¹⁵ si volueris addere \({2 \over 3}\) cum \({4 \over 5}\), invenias similiter in quo numero reperiantur \({4 \over 5}\) \({2 \over 3}\) sic: multiplicabis 3 per 5 que sunt sub virgulis; erunt 15, et in ipso numero reperiuntur \({4 \over 5}\) \({2 \over 3}\). Quare accipe \({2 \over 3}\) de 15, que sunt 10, et \({4 \over 5}\) de 15, que sunt 12, et adde insimul; erunt 22, que divide per 15; exibit \({7 \over 15}\) 1 pro adiunctione de \({2 \over 3}\) et \({4 \over 5}\).

9 Aliter de eodem¹⁶

Item aliter: describes \({4 \over 5}\) \({2 \over 3}\) ut in margine ostenditur, et multiplica 2 que sunt super 3 per 5: erunt 10, que pone super \({2 \over 3}\); et 4 que sunt super 5 per 3: erunt 12, que pone super \({4 \over 5}\) in questione. Adde ergo 10 cum 12, erunt 22 ut supra, que divide per ruptos qui sunt sub virgulis, scilicet per \({1~~0 \over 3~~5}\); exibit¹⁷ \({1~~2 \over 3~~5}\) 1, ut in questione ostenditur, hoc est \({7 \over 15}\) 1, ut per alium modum repertum est.

10 Verum¹⁸ si \({2 \over 3}\) de \({4 \over 5}\) extrahere volueris, invenies 10 et 12 superius repertis per qualem volueris modum de prescriptis duobus modis, et extrahe 10 de 12; remanent 2, que divide per ruptos, videlicet per \({1~~0 \over 3~~5}\); exibunt \({2~~0 \over 3~~5}\), hoc est \({2 \over 15}\) pro residuo quesite extractionis. Et si \({4 \over 5}\) per \({2 \over 3}\) dividere vis, divide 12 per 10: exibit \({1 \over 5}\) 1, et tot contingit uni parti integre ex ipsa divisione. Et si \({2 \over 3}\) per \({4 \over 5}\) dividere vis, divide 10 per 12; exibunt \({5 \over 6}\)¹⁹.